(物理教学2015.12)球面透镜齐明点及其应用
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一、齐明点的求解
如图1，真空中有一端面为球面的玻璃棒，球面半径为R，球心为O，材料折射率为n。在轴线上有一物点Q，经过该点的所有光线经球面折射后反向延长线严格交于Q′点。下面用两种方法求解Q点和Q′点的位置。
解法1：折射定律
如图2，记Q点和Q′点到球心的距离分别为u、v，折射点为M。
在△OQM和△OQ′M中分别由正弦定理得
球面反射成像、球面折射成像、薄透镜成像等均要求光线满足傍轴条件，即要求光束的发散角不能过大，这往往限制了成像元件在成像时的光通量。球面透镜存在一对特殊的点，经过其中一个点的所有光线经球面折射后的反向延长线能严格成像于另一点处，无需满足傍轴条件。这两个点称为球面透镜的一组齐明点。若将一个很小的物体，放在球面透镜的一个齐明点上，可以认为经球面镜折射，它将理想成像于另一点处。这个性质在高倍显微物镜中有重要应用。
若内外表面的半径分别为R1、R2，透镜中心厚度为d，由物点到外表面S2中心的距离
得外表面S2的半径为
两球心O1与O2间的距离为
3.齐明透镜组
若上一级透镜的像点恰好处于下一级透镜的物点处，即可形成齐明透镜组。利用齐明透镜组可以使光束的发散角进一步减小以达到傍轴条件，保证后续成像过程的精度和亮度。
在图4所示的透镜后，若要紧挨着放置下一级中心厚度也为d的弯月形齐明透镜，如图5，则下一级透镜内表面半径
外表面半径R4，由
解得
球心O3与O4间的距离为
值得注意的是，不是齐明透镜组中透镜的个数越多越好。利用多个齐明透镜组，虽不产生像差和彗差，但由于色散现象明显，会产生较大的色差，所以实际使用的齐明透镜往往不多于两个[1]。
例题[2]（有删改Βιβλιοθήκη Baidu：
（1）半径为R的透明球体，折射率为n，P为主轴上一点，位于球心左方R/n处，如图6所示。证明：从P点向右发出的任一条光线（不限于近轴）经球面折射后，将聚焦于一点。并求出该点Q的位置。P、Q称为齐明点；
和
分别解得
和
由折射定律，有
代入得
上式对任意θ成立，即
且
解得
，
解法2：费马原理
图2中，物点Q和像点Q′间（M与Q′间光程为负）的光程为
由费马原理，物点与像点间光程为定值，即光程S对θ的导数为零，即
整理为
以下解法同解法1。
二、齐明点的应用
高倍显微镜的物镜口径如果较大，入射光入射角较大，不满足傍轴条件，成像精度较差；如果口径较小，光通量较小，成像亮度较弱。利用球面透镜的齐明点可以缓解这对矛盾。
参考文献
[1]赵凯华,钟锡华.光学[M].北京:北京大学出版社,1984
[2]郑永令.国际物理奥赛的选拔与培训[M].上海：复旦大学出版社,2006
（ii）估算从第二个透镜出射的光的孔径角β；
（iii）设n1= 1.5，n2= 1.6，R1= 3.0 mm，d1= 2.0 mm，d2= 1.5 mm，求R2，R3，k的数值。
参考答案：
（1）略，见前文。
（2）（i） ，
（ii） ，其中
（iii）R2=9.5mm，R3=6.77mm，β=20.0°
（2）齐明点概念常用于显微镜的物镜中，以增大显微镜入射光的孔径。设某显微镜的接物镜的折射率为n1，半径为R1的半球，其平底面与物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。
（i）试设计物镜组第二个透镜的两球面的半径R2和R3及其构形（可作图说明），使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n2，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d1，透镜中央厚度为d2；
1.油浸物镜
实际使用时不能将样品放入玻璃内的齐明点处。一般将折射率与玻璃相同的油滴滴在样品上，再将半球形透镜浸入油滴中，调节透镜与样品的距离，即可使样品位于透镜的齐明点处。
如图3，若球面半径为R，透镜及油滴的折射率为n，则油浸物镜正常工作时油层的厚度应为
2.弯月形齐明透镜
与油浸物镜相比，弯月形齐明透镜使用更方便。如图4，样品处于弯月形齐明透镜内表面S1的球心O1处，若该点同时也是外表面S2的一个齐明点，则经过样品的光线在内表面S1处不发生偏折，经过外表面S2后依然精确地成像于一点。
球面透镜齐明点及其应用
李忠相（重庆市第一中学校 重庆 400030）
摘要球面透镜有一对齐明点，过其中一个点的所有光线经球面折射后的反向延长线能严格交于另一点。给出了用折射定律和费马原理两种求解齐明点的方法，同时介绍了齐明点在高倍显微物镜中的应用。
关键词齐明点 齐明透镜 折射定律 费马原理 非傍轴成像
如图1，真空中有一端面为球面的玻璃棒，球面半径为R，球心为O，材料折射率为n。在轴线上有一物点Q，经过该点的所有光线经球面折射后反向延长线严格交于Q′点。下面用两种方法求解Q点和Q′点的位置。
解法1：折射定律
如图2，记Q点和Q′点到球心的距离分别为u、v，折射点为M。
在△OQM和△OQ′M中分别由正弦定理得
球面反射成像、球面折射成像、薄透镜成像等均要求光线满足傍轴条件，即要求光束的发散角不能过大，这往往限制了成像元件在成像时的光通量。球面透镜存在一对特殊的点，经过其中一个点的所有光线经球面折射后的反向延长线能严格成像于另一点处，无需满足傍轴条件。这两个点称为球面透镜的一组齐明点。若将一个很小的物体，放在球面透镜的一个齐明点上，可以认为经球面镜折射，它将理想成像于另一点处。这个性质在高倍显微物镜中有重要应用。
若内外表面的半径分别为R1、R2，透镜中心厚度为d，由物点到外表面S2中心的距离
得外表面S2的半径为
两球心O1与O2间的距离为
3.齐明透镜组
若上一级透镜的像点恰好处于下一级透镜的物点处，即可形成齐明透镜组。利用齐明透镜组可以使光束的发散角进一步减小以达到傍轴条件，保证后续成像过程的精度和亮度。
在图4所示的透镜后，若要紧挨着放置下一级中心厚度也为d的弯月形齐明透镜，如图5，则下一级透镜内表面半径
外表面半径R4，由
解得
球心O3与O4间的距离为
值得注意的是，不是齐明透镜组中透镜的个数越多越好。利用多个齐明透镜组，虽不产生像差和彗差，但由于色散现象明显，会产生较大的色差，所以实际使用的齐明透镜往往不多于两个[1]。
例题[2]（有删改Βιβλιοθήκη Baidu：
（1）半径为R的透明球体，折射率为n，P为主轴上一点，位于球心左方R/n处，如图6所示。证明：从P点向右发出的任一条光线（不限于近轴）经球面折射后，将聚焦于一点。并求出该点Q的位置。P、Q称为齐明点；
和
分别解得
和
由折射定律，有
代入得
上式对任意θ成立，即
且
解得
，
解法2：费马原理
图2中，物点Q和像点Q′间（M与Q′间光程为负）的光程为
由费马原理，物点与像点间光程为定值，即光程S对θ的导数为零，即
整理为
以下解法同解法1。
二、齐明点的应用
高倍显微镜的物镜口径如果较大，入射光入射角较大，不满足傍轴条件，成像精度较差；如果口径较小，光通量较小，成像亮度较弱。利用球面透镜的齐明点可以缓解这对矛盾。
参考文献
[1]赵凯华,钟锡华.光学[M].北京:北京大学出版社,1984
[2]郑永令.国际物理奥赛的选拔与培训[M].上海：复旦大学出版社,2006
（ii）估算从第二个透镜出射的光的孔径角β；
（iii）设n1= 1.5，n2= 1.6，R1= 3.0 mm，d1= 2.0 mm，d2= 1.5 mm，求R2，R3，k的数值。
参考答案：
（1）略，见前文。
（2）（i） ，
（ii） ，其中
（iii）R2=9.5mm，R3=6.77mm，β=20.0°
（2）齐明点概念常用于显微镜的物镜中，以增大显微镜入射光的孔径。设某显微镜的接物镜的折射率为n1，半径为R1的半球，其平底面与物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。
（i）试设计物镜组第二个透镜的两球面的半径R2和R3及其构形（可作图说明），使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n2，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d1，透镜中央厚度为d2；
1.油浸物镜
实际使用时不能将样品放入玻璃内的齐明点处。一般将折射率与玻璃相同的油滴滴在样品上，再将半球形透镜浸入油滴中，调节透镜与样品的距离，即可使样品位于透镜的齐明点处。
如图3，若球面半径为R，透镜及油滴的折射率为n，则油浸物镜正常工作时油层的厚度应为
2.弯月形齐明透镜
与油浸物镜相比，弯月形齐明透镜使用更方便。如图4，样品处于弯月形齐明透镜内表面S1的球心O1处，若该点同时也是外表面S2的一个齐明点，则经过样品的光线在内表面S1处不发生偏折，经过外表面S2后依然精确地成像于一点。
球面透镜齐明点及其应用
李忠相（重庆市第一中学校 重庆 400030）
摘要球面透镜有一对齐明点，过其中一个点的所有光线经球面折射后的反向延长线能严格交于另一点。给出了用折射定律和费马原理两种求解齐明点的方法，同时介绍了齐明点在高倍显微物镜中的应用。
关键词齐明点 齐明透镜 折射定律 费马原理 非傍轴成像