渗透固结系数的变化对地面沉降计算的影响

渗透固结系数的变化对地面沉降计算的影响

张炳峰，王国体

合肥工业大学，安徽合肥 (230009)

摘 要：通过对经典Biot 渗流力学进一步的考察，讨论在土体饱和状态下，渗透系数随孔隙率变化而变化对固结系数的影响，从而考虑固结系数变化对固结度，沉降计算的影响。在已有的地面沉降计算方程中增加一个反映渗流系数和孔隙变化率关系的耦合方程。对阜阳市的实测沉降资料进行相应的分析计算和对比，其结果表明这个方程能很好的反映地面沉降过程。

关键词：渗流与应力耦合，地面沉降，固结系数

1. 引言 对地下水日益增加的开采，尤其是在松散冲积层、湖泊或浅海沉积地带，其后果之一是导致地表下降或沉陷，即地面沉降。由于地下水开采而导致较大的地面沉降，在高度发达地区是比较常见的。对地面沉降状况及补救办法的事例研究，对于将要面临同样问题的发展中地区是有帮助的。地下水开采引起的地下水压力变化将导致渗流介质体及其相关地质体受力状态的变化，进而导致渗流介质体变形(这方面最为典型的是地下水开采诱发地面沉降)；渗流介质体的变形过程中，其物性参数(孔隙度n 、压缩系数ε、渗透系数K 等)不再是经典理论中的常量，而是与力学状态有关的变量；如此，渗流问题的研究就必须既要考虑介质体的应力应变，又要考虑渗流特性的变异；这类问题，显然不是经典渗流理论所能解决的，然而Biot 三维固结理论能够较好的解决这一问题。

2. 地面沉降过程中渗流与应力耦合模型

2.1 经典Biot 渗流力学耦合方程分析

1941年，美国物理学和应用数学家Maurice Anthony Biot ，将Terzaghi 有效应力理论推广到了三维空间上的固结问题研究中，并在1942、1954和1956年，将该问题的研究进行了深入和完善，由此建立的Biot 孔弹性理论[1]，为流固耦合问题的研究奠定了理论基础。

Biot 孔弹性理论模型主要有四个基础方程组成：平衡方程(1式)、几何方程(2式)、本构方程(3式和4式)和渗流方程(5式)； 在三维空间上，基本方程可写为以下模型。

平衡方程： 0ij

j ij X x σρ∂+=∂ （i,j=1,2,3） （1）

几何方程： ,,()/2ij i j j i u u ε=+ ，112233v εεεε=++ （2）

本构方程： 2ij ij ij v ij p G σσαδεε′=−+ （3）

///3v ii n p Q p H H αεσ∆=−=− （4） 渗流方程： 21t ij p K p Q t t

εα∂∂∇=−∂∂ （5） 322(1)33(12)3(12)G G E K H H H H

λµαµµ′+−====−− （6） 1/R=1/Q+α/H （7）

模型中p,n ∆为孔隙水压力和孔隙变化量；ρ为体力密度；δ为Kronecker 常数；K ij 为渗

透系数；σij , σij /，εij 为总应力、有效应力和总应变；α为孔隙水压系数；G ，λ为剪切模量和拉梅系数；H 、R (Q ，α)为Biot 常数，物理意义为：1/R 度量了由于水压力变化引起的水容量变化，1/H 度量了由于水压力变化引起的介质整体体积的变化。α是水充分排出时，排出的水量与介质体积应变之比，而1/Q 是多孔介质体积不变的情况下，在水压力作用下挤进多孔介质中的水量。其中Q ，R ，H ，α之间关系，有6式和7式，式中的E 、K /分别为弹性模量和体积模量。与经典渗流问题的数学模型(基本是拉普拉斯方程、傅里叶热传导方程和二阶非线性抛物型方程[2])相比，耦合渗流模型要相对复杂得多，但它是研究介质变形条件下渗流问题的有效工具。

2.2地面沉降过程中渗流与应力耦合模型

虽然Biot 理论是较完善的耦合理论，并已得到了广泛应用[3-13]；但在Biot 理论用于研究渗流问题的初期，并没有考虑到渗透系数K 是变量[3-5]。在耦合渗流理论的研究进程中，对孔隙水压力P 的变化导致介质变形进而影响渗透系数K (或渗透率)的问题，逐渐受到重视，并成为目前耦合渗流研究的主要发展方向之一，对于K 随P 值的变化，由于K 不是本构方程中的参变量，现在一般是利用K 与n 的关系 K (n )来间接反映, K (n )可以是理论公式[6-7]，也可以是建立经验关系式[8-10]。上述研究，使得P 值及其时间变化过程对渗流的影响，可在耦合渗流模型中可得到全面刻画，故我们可以增加一个反映K 与n 的关系的耦合方程（8）：

()00()0110,a n n an a n k n k e k e k k e +∆∆=== （8） 另外注意有效应力σ′等于总应力与水压力p w 之差，并且静水压力为常数，考虑渗流方程容易得到三向固结时的固结系数C V3：

0()033(12)a n n v w k e E C v γ+

∆=− （9）

由于Biot 固结理论在三维条件下计算困难，故在一般沉降计算中代入公式（9），考虑其固结系数变化，对计算进行简化处理。在地面沉降的一般计算中，考虑地下水位逐年下降，有效应力不断增加这一因数，在粘性土层计算中，土层的年累计压缩量要进行叠加计算。

粘性土变形量计算：

任意时刻粘性土层变形量有：

2324208[1]1v C t V h w t a S h m e e π

γπ=∆−+ 粘 （10）

对于砂性土考虑地下水位下降，其变形为瞬时完成，采用经典的弹性公式计算。含水沙层变形量的计算公式：

w t h m P m S E E γ

∆∆== 砂 （11）

任意节点柱体总压缩变形量

t t t S S S =+总砂粘 （12） 由公式（9）所得到的固结系数C V3随着n ∆的变化而变化，将公式（9）中的C V3代入到公式（10）中，考虑到固结系数随着应力变化而变化对固结沉降计算的影响，这样可以避免Biot 计算的复杂，导致计算量的加大，而且可以比较好反映出现实的固结沉降过程。以下以阜阳地区为例，具体结果如下。