随机波动模型及其扩展

其中C E[ yt 2C ] / {E[ yt C ]}2 而h, , 0,1,1,...表示ht的ACF。当C 2时，C就为 yt C 的
峰度，在正态分布下为3.
一般地有
C (C 1/ 2)(1/ 2) / {(C / 2 1/ 2)}2, C 0
而当{ t }服从自由度为的t分布时，有
是刻画当期收益与
1
未来收益波动的相关性。实证表明，参数c，d， 和 都具有
较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。
含有前期观测影响的SV模型
考虑前期观测对当前波动的影响，将基本SV模型扩展为：
ht
yt te 2
n
ht ht1
i
ln
y2 t i
t
i 1
其中{ t }和{t }是互不相关的白噪声序列，且{t }和{ht }不相
模型下，扰动部分t服从均值为0方差为1的正规化GED，这时
f
( t
)
cesp{
(1 /
1 2
(
t
)c
c)211/c
}
,
0
c
2
其中 [22/c (1 / c) ]1/2
(3 / c)
这里c为自由度，当c 2时，GED为正态分布，c 2时期峰度
大于3，为厚尾分布。
一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描
述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长
记忆性。
含有外生因素的SV模型
金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的
影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应，
成交量等。Watanabe在分析东京股市收益时，将基本SV模型 扩展为：
yt
a
b1 yt1
b2
yt 2
c
2 t
dDt
7.1 基本SV模型及其统计性质
▪ 随机波动：波动率是衡量某一段时间内金融产品价格变动 程度的数值。随机波动侧重于指时间序列的随机部分。在 金融学中，随机波动性定义为一个连续的差分模型中随机 维纳部分的标准差或协方差。
▪ 随机波动率模型：是把收益率的扰动项假设为不可观测， 服从一个随机过程的变量，是一个动态波动特征的模型。
离散SV模型
基本的离散SV 模型如下：
yt tt ,t 1, 2,...,T
(7 1a)
ln
2 t
ln
2 t 1
t
(7 1b)
其中yt 表示消去均值后第t期的收益，{ t }和{t }
是相互独立的，t是一个鞅差分序列，绕动项
t和t可以是同期相关的。一般假定t : i.iN (0,1)，
t : i.iN (0,2 )且2未知。，为常数，为持
exp(ht
/ 2)t ,t
:
i.i.d.(0,1)
ht ht1 Dt yt1 t ,t : i.i.d.(0,1)
其中t exp(ht / 2)表示测度序列的波动，Dt是表示周末效应
的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取1，其余时间取0。
上式中的c
t2项是刻画风险溢价的，而
yt
C
(C 1/ 2)(C / 2)(1/ 2)( / {(C / 2 1/ 2)(C / 2 / 2)}
2)
其中 C / 2，C 0。
b.{ht }的ACF 性质
当 h2较小，或h, 接近1，则{ht}的ACF与(C)有如下关系：
(C)
h,
exp(
C2 4
2 h
)
1
C
exp( C 2 4
2 h
其中 ln 2 ,t
ln
2 t
E[ln
2 t
], t
:
i.i.d
.(0,
2
)。
如果{t}服从标准正态分布，{ln t2}服从对数 2分布。根据相关文献
结果此时有：
E[ln
2 t
]
1.27,Var
(ln
2 t
)
2
2
4.93
7.2 扩展的SV模型
厚尾SV模型
①SV t模型
假定SV 模型的扰动部分服从自由度为的t分布，则为
关。，， i为常数。n为模型中待定阶数，可通过AIC准
则或模型的均方误差（RMSE）准则(使RMSE值最小)来确
பைடு நூலகம்
定。该模型可以很好的描述股票市场的波动集群性和波动
持续性现象。和SV 模型相比，在描述金融波动性方面有一
)]
exp(a2
2 h
/
2)
其中a为常数， h2是{ht}的方差。
d .如果{t }服从正态分布，{ t }存在有限方差，则{ yt }的方差为
Var(
yt
)
2
2
exp(
2 h
/
2)
2
e.若{
t
}具有四阶矩，则{
yt
}的峰度为
exp(
2 h
)，这里
是{
t
}的峰度。
f .{yt}的所有奇数阶矩为零。
)
1
,
1
当{t}服从t分布时，C随着 趋于无穷而递减。对于正态
的{ t }，上式的近似式使(C )取得最大值。
（3）模型的线性表示
随机波动模型的一个重要的性质是它可以转化为一个线性表达式。
令zt ln yt2，对(7 2a)式两边平方取对数，可得
zt
ln
yt2
ln
2
h
t
ln
2 t
或写为zt ln yt2 h t t
续性参数，反映了当前波动对未来波动的影响，
1。
如果取ht lnt2则以上SV模型可写成：
ht
yt te 2
(7 1c)
ht ht1 t
(7 1d )
这里ht可以扩展为一个ARMA过程。
另一种SV 模型的形式如下：
ht
yt te 2
(7 2a)
ht ht1 t , 1 (7 2b)
式中 是比例参数，表示平均波动水平。
SV模型的统计性质
对于（7-1）和（7-2）构成的基本随机波动模型有如下统计性质：
（1）一般性质
a.{ yt }是鞅差分过程（基于{ t }是鞅差分序列）。
b.{ht }平稳则意味着{ yt }平稳。
c.如果{t }服从正态分布，则由对数正态分布的性质有
E[exp(aht
（2）自相关函数
a.如果{ t }和{t }相互独立，{t }服从正态分布，则{ yt }绝
对值得C次幂的ACF为
(C)
E[ yt C yt C ] {E[ yt C ]}2 E[ yt 2C ] {E[ yt C ]}2
exp( C 2 4
2
h h,
)
C
exp( C 2 4
2 h
)
1
1,C 0.5,C 0
SV t模型，扰动部分t服从均值为0，方差为1的正规
化t分布，即
f
(t )
[ (
1
2)]2
(( 1) / 2) [1
2 t
1
]2
( / 2) 2
其中参数为自由度。当4 时，t分布的峰度大于
3, 时就变成正态分布， 4时其峰度不存在。
②SV -GED模型
另一种峰度大于3的分布是广义误差分布(GED)，在SV GED