哈密尔顿图1

《哈密尔顿图》教学设计

所属学科、专业: 理学--数学类

所属课程：《离散数学》

授课题目：哈密尔顿图

适用对象：计算机科学与技术专业、数学与应用数学专业本科生

选用教材：《离散数学》(第四版)，耿素云等编著，北京大学出版社，2008.

------------------------------------------------------------------------------ 一、教学背景

本节课是《哈密尔顿图》的第一课时，主要学习哈密尔顿图的定义和判定条件.在此之前，学生已经学习了图论的基本概念，有了初步的图论建模的思想方法，并且在前一节课刚学过与哈密尔顿图类似的欧拉图，因此学生对本节课的学习有相当的兴趣和积极性．

二、教学目标

知识目标：使学生理解哈密尔顿图的定义，掌握常见的判断哈密尔顿图的充分条件和必要条件；

能力目标：通过把实际问题转化为哈密尔顿图求解，提高用图论方法建模的能力．三、重难点分析

教学重点：哈密尔顿图的定义和判定条件；

教学难点：如何判断哈密尔顿图．

四、教学方法

探究式、启发式教学；任务驱动法

五、教学设计方案

本节课的教学设计遵循理论联系实际、循序渐进的教学原则，由实际问题出发，创设情境，激发学生兴趣；针对学生普遍认为学习难度比较大的内容，如哈密尔顿图的判定条件，本课程主要采取诱导、启发的方式，采取PPT和板书相结合的方式进行教学；在新知识给出的同时，及时通过实例进行巩固，例子的设置由浅入深，使学生循序渐进地掌握课程内容．具体教学过程安排为：

（一）由哈密尔顿图的起源引入：

哈密尔顿图起源于一种数学游戏，它是由爱尔兰数学家哈密尔顿于1859年提出的“周游世界问题”，即用一个正十二面体的20个顶点代表世界上20个著名城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点．与哥尼斯堡七桥问题形成鲜明对照的是，没过多久,哈密尔顿先生就收到来自世界各地的表明已成功周游世界的答案．

教师提出问题，并适当介绍相关数学史，激发起学生兴趣，许多同学马上就开始跃跃欲

试．在教师引导下，大家一起在与正十二面体同构的平面图中，找出了一条经过所有顶点的初级回路．教师指出这就是一条哈密尔顿回路，存在哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图.

（二）新课

1、哈密尔顿图定义

定义8.5 经过每个顶点一次且仅一次的通路(回路)称为哈密尔顿通路(回路),存在哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图．

讲解定义，并与欧拉图定义比较，给出例子，请学生判断．

例1判断下列图是否为哈密尔顿图.

指出:判断一个图是否为哈密尔顿图，就是判断能否将图中所有顶点都放置在一个初级回路(圈)上。在大部分情况下，还是采用尝试的办法．遗憾的是至今尚未找到一个另人满意的判定哈密尔顿回路和通路的充要条件，下面的一些哈密尔顿图的结果都只是充分条件或必要条件，而非充要条件．

2、哈密尔顿图的必要条件

定理8.6 设无向图G=是哈密尔顿图，V1是V的任意非空子集，则有p(G-V1)≤|V1|，其中p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及其关联的边)后所得图的连通分支数.

证明：任何一个哈密尔顿图都可以看成是一条哈密尔顿回路加上若干条边组成，而在一个初级回路上删除k个顶点，最多形成k个连通分支.

指出：不满足必要条件的图不是哈密尔顿图.例如

推论有割点的图不是哈密尔顿图.

指出：定理8.6是必要非充分条件，例如可以验证彼得森图满足定理中的条件，但不是

哈密尔顿图.

3、哈密尔顿图的充分条件

定理8.7设G是n(n 3)阶无向简单图，

(1)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n -1，则G中存在哈密尔顿通路；

(2)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n，则G是哈密尔顿图．

教师启发引导,提问学生,得出该定理是充分非必要的．例如：正五边形是哈密尔顿图，每两个顶点度数之和为4，点的数目等于5，不满足充分条件．

例2某地有5个风景点，若每个风景点均有两条道路与其它点相通．问游人可否经过每个风景点恰好一次而游完这5处？

解：将5个景点看成无向图的5个顶点，两景点间的道路看成是无向图的边，因为每个景点均有两条道路与其它景点相通，故每个顶点的度数均为2，从而任意两个不相邻的顶点的度数之和等于4，正好为总顶点数减1．由定理8.7，图中存在一条哈密尔顿通路，即存在一条过所有景点恰好一次的通路，于是本题有解．

(三) 课堂小结

哈密尔顿图的定义；哈密尔顿图判定的充分条件和必要条件.

六、教法反思

1、教学设计遵循理论联系实际、循序渐进的教学原则，通过实际问题情境的创设，激发学生的兴趣，使学生在问题解决的探索过程中掌握新知识；

2、适当的数学史知识和哈密尔顿图研究进展介绍融入课程，提高了学生的学习和研究兴趣；

3、图论建模思想方法贯穿始终，无形中提高了学生用图论知识解决实际问题的能力.