10.2二重积分的计算(1)

1
例 3 计算二重积分 xyd , 其中 D 是由抛物线 D
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解 如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选 择后者.
xyd D
1 2
2 [ y( y 2)2
1
y5 ]dy
例 3 计算二重积分 xyd , 其中 D 是由抛物线 D
a x0 b x
y 1(x)
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解 若视为X 型, 则
原积分
1 2
.
若视为Y 型, 则
1
y
y 1 x2 y2d y[ 1 x2 y2dx]dy, 1 1
D
其中关于 x 的积分计算比较麻烦, 故合理选择积
分次序对重积分的计算非常重要.
例 3 计算二重积分 xyd , 其中 D 是由抛物线 D
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
0
20
2
例 5 计算二重积分 e x ydxdy, 其中区域 D 是 D
由 x 0, x 1, y 0, y 1 围成的矩形.
解 如图, 因为 D 是矩形区域, 且 y
exy ex e y ,
1
所以
D
e x ydxdy 1e xdx 1e ydy
D
0
0
O
1x
(e x
1 0
xydx]dy
2
1
[
y
x2 ] y dy 21
2
1
[
y3 2
y ]dy 2
y4 [
8
y2 4
]
12
1
1 8
.
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解 如图, D 既是 X 型, 又是Y 型.若视为X
型, 则
11
原积分 [ y 1 x2 y2dy]dx 1 x
D
D1
D2
D3
例 1 计算 xyd ,其中 D是由直线 y 2, x 1及 D
y x 所围成的闭区域.
解一 如图, 将积分区域视为 X 型,
xyd
[2 2
1x
xydy]dx
D
2
1
[
x
y2 2
]
2 dx
x
Y=2 2
Y X=1
1
X=Y
1X 2
2
1
[2
x
x3 ]dx
2
[x2
x4 8
]
2 1
11 . 8
所围.
解 画出区域 D 的图形. 将 D表成 X 型区域,
得 D : 0 x 1, x y 1,
e y2dxdy
wk.baidu.com
1
dx
1e y2 dy.
0
x
D
因 e y2 dy 的原函数不能用初等
所以我
函数表示.需要变换积分次序.
将 D表成 Y 型区域, 得 D : 0 y 1,0 x y,
1 3
1
[(1
1
x2
y
2
)3
/
2
]
1 x
dx
1 1 (| x |3 1)dx 2 1 ( x3 1)dx 1 .
3 1
30
2
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解
若视为X
型, 则
原积分
1 2
.
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、交换二次积分次序 三、对称性、奇偶性的应用
一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解 如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选
择后者.
2 y2
xyd
[ 1 y2
xydx]dy
D
2 [ x2 1 2
y]
y y2
2
dy
1 2
2
[ y( y 2)2 y5 ]dy
例 4 计算 e y2 dxdy, 其中 D 由 y x, y 1及 y轴 D
所围.
解 将 D表成 Y 型区域, 得
D : 0 y 1,0 x y,
e y2dxdy D
1
dy
y e y2dx
0
0
1 0
e
y2
x
y 0 dy
1 ye y2 dy 1 1 e y2 d( y2 ) 1 (e 1).
例 1 计算 xyd ,其中 D是由直线 y 1, x 2及 D
y x 所围成的闭区域.
解一
xyd D
118 .
例 1 计算 xyd ,其中 D是由直线 y 1, x 2及 D
y x 所围成的闭区域.
解一
xyd
1
1 8
.
D
解二 将积分区域视为 Y 型,
D
xyd
2
1
[ y 1
)(e
y
1 0
)
(e
1)2 .
例 6 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围
成的立体的体积.
解 设两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2 及
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解 如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选
择后者.
xyd 1 2 [ y( y 2)2 y5 ]dy
D
2 1
1[ y4 24
4 3
y3
2y2
y6 6
]
2 1
5
5 8
.
例 4 计算 e y2 dxdy, 其中 D 由 y x, y 1及 y轴 D
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x, y) 为曲顶柱体的体积．
z f (x, y)
z
应用计算“平行截
面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
A(x0 )
y 2(x)