机械系统动力学课件 (7)
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二自由度机械手动力学 机械振动研究的基本问题 单自由度系统的振动分类 单自由度无阻尼自由振动的动力学模型 单自由度无阻尼自由振动特性分析 单自由度扭转振动 固有频率的计算
1
本次教学内容
瑞利法（固有频率计算） 等效质量、等效刚度 单自由度有阻尼自由振动的动力学模型 单自由度有阻尼自由振动特性分析
(**)
17
(*)平方和（**）平方之和的振幅，（*）和（**）相比得相位。
四、单自由度有阻尼自由振动特性分析
1）有阻尼自由振动的运动规律
①弱阻尼状态：
x Ae
t
sin d t
②临界阻尼和强阻尼状态：非振动范畴
18
2）弱阻尼自由振动的特性 ①固有振动频率及周期
2 d n 2 n 1 2
x C1e in
1 2
, s2 in 1 2
e t C1 cos n 1 2 t iC1 sin n 1 2 t C2 cos n 1 2 t iC2 sin n 1 2 t e t b1 sin d t b2 cos d t Ae t sin d t
x(t 0) x0 , x(t 0) x0
x Aet sin d t Aetd cos d t
x0 A sin (*) x0 A sin Ad cos x0 Ad cos
( x0 x0 ) / d A cos
2
一、瑞利法
1）基本思想:无质量的弹性元件+集中质量，动能相等。 2）弹性元件各点弹性变形的基本假设。 3）等效质量 ms
me m 3
x
Байду номын сангаас
x
d
x
2）如何计算系统的动能？
x
x x
思考：1）弹簧上各点的变形模式是什么？
l
3
二、等效质量、等效刚度
1）等效质量 2）等效刚度
刚度：系统在某点沿指定方向产生单位位移（角位移）时，在该 点沿同一方向所要施加的力（力矩），称为系统在该点沿指定方 向的刚度。简言之，就是单位位移所需的力。
k11 k2 2
k1 k2 2 / 1
11
例3 如果以图示的A点水平位移为广义坐标，试写出其 等效质量。
x
x AB摇杆的角速度为： x / a B点的速度为： bx / a
设A点的速度为： 系统动能为：
1 1 1 2 2 2 E m1 x J x / a m2 bx / a 2 2 2
x0d tg 2 x0 x0
1
16
x0 x0 A x0 d
2
2
x0d tg x x 0 0
1
思考：如何得到振幅和初始相位？
x Ae
t
sin d t
d n fd 1 2 f 1 2 2 2
Td 2
d
2
n 1
2
T 1 2
19
②振幅 振幅衰减系数
A1 , A2 ,
Ai , Ai 1 ,
s2t
蠕动：非振动 C1>0，C2<0
14
2）临界阻尼状态： 1
x C1 C2t e
n
cc k c 2m m
t
蠕动：非振动
cc 2 km
取决于系统的固有特性
c 2m c c n cc c 2m
15
3）弱阻尼状态： 1
s1 in 1 2
2 s1 2 n
2 , s2 2 n
13
>1，强阻尼
n
=1，临界阻尼 <1，弱阻尼
s1 n 2 1 s2 n 2 1
阻尼比，相对阻尼系数
1）强阻尼状态： 1
x C1e C2e
s1t
1 n 1 2 2 2 mi vsi J sii me ve 2 i 1 2
4
①弹性元件的等效刚度
5
6
k1k2 F F F 思考：为什么弹簧串联的刚度是这种形式？ k x x1 x2 F F k1 k2 k1 k2
思考：为什么弹簧并联的刚度是这种形式？
10
例2 写出图示振动系统的等效刚度，其中12为刚性杆。
对3点（力作用点）力矩平衡：
k11a k2 2b
Q
2 k1a 1 k2b
a 1 2 1 ab
( a b) 2 k 2 2 a a a b 1 2 / 1 1 2 1 1 ab a b k2 k1 Q
等效质量为：
me m1 J / a2 m2 (b / a)2
12
三、单自由度有阻尼自由振动的动力学模型
c k x x x 0 m m
c 2 m
衰减系数
k m
2 n
2 x 2 x n x0 2 s2 2 s n 0
x est
或拉普拉斯变换
kx k1 x k2 x k k1 k2
7
②简单构件的等效刚度
8
9
例1 写出图示轴系的等效刚度
Gi J i 1 1 1 , Ki K K1 K 2 Li
K1 K 2 M K 2 M K1 K 2 1 K2 M
M K11
M K 2 2 1
C2 e in
1 2
x Ae
t
sin d t
b1 C1 C2 , b2 i(C1 C2 )
2 d n 2 n 1 2
2 x 2 0 x0 A x0 d
二自由度机械手动力学 机械振动研究的基本问题 单自由度系统的振动分类 单自由度无阻尼自由振动的动力学模型 单自由度无阻尼自由振动特性分析 单自由度扭转振动 固有频率的计算
1
本次教学内容
瑞利法（固有频率计算） 等效质量、等效刚度 单自由度有阻尼自由振动的动力学模型 单自由度有阻尼自由振动特性分析
(**)
17
(*)平方和（**）平方之和的振幅，（*）和（**）相比得相位。
四、单自由度有阻尼自由振动特性分析
1）有阻尼自由振动的运动规律
①弱阻尼状态：
x Ae
t
sin d t
②临界阻尼和强阻尼状态：非振动范畴
18
2）弱阻尼自由振动的特性 ①固有振动频率及周期
2 d n 2 n 1 2
x C1e in
1 2
, s2 in 1 2
e t C1 cos n 1 2 t iC1 sin n 1 2 t C2 cos n 1 2 t iC2 sin n 1 2 t e t b1 sin d t b2 cos d t Ae t sin d t
x(t 0) x0 , x(t 0) x0
x Aet sin d t Aetd cos d t
x0 A sin (*) x0 A sin Ad cos x0 Ad cos
( x0 x0 ) / d A cos
2
一、瑞利法
1）基本思想:无质量的弹性元件+集中质量，动能相等。 2）弹性元件各点弹性变形的基本假设。 3）等效质量 ms
me m 3
x
Байду номын сангаас
x
d
x
2）如何计算系统的动能？
x
x x
思考：1）弹簧上各点的变形模式是什么？
l
3
二、等效质量、等效刚度
1）等效质量 2）等效刚度
刚度：系统在某点沿指定方向产生单位位移（角位移）时，在该 点沿同一方向所要施加的力（力矩），称为系统在该点沿指定方 向的刚度。简言之，就是单位位移所需的力。
k11 k2 2
k1 k2 2 / 1
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例3 如果以图示的A点水平位移为广义坐标，试写出其 等效质量。
x
x AB摇杆的角速度为： x / a B点的速度为： bx / a
设A点的速度为： 系统动能为：
1 1 1 2 2 2 E m1 x J x / a m2 bx / a 2 2 2
x0d tg 2 x0 x0
1
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x0 x0 A x0 d
2
2
x0d tg x x 0 0
1
思考：如何得到振幅和初始相位？
x Ae
t
sin d t
d n fd 1 2 f 1 2 2 2
Td 2
d
2
n 1
2
T 1 2
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②振幅 振幅衰减系数
A1 , A2 ,
Ai , Ai 1 ,
s2t
蠕动：非振动 C1>0，C2<0
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2）临界阻尼状态： 1
x C1 C2t e
n
cc k c 2m m
t
蠕动：非振动
cc 2 km
取决于系统的固有特性
c 2m c c n cc c 2m
15
3）弱阻尼状态： 1
s1 in 1 2
2 s1 2 n
2 , s2 2 n
13
>1，强阻尼
n
=1，临界阻尼 <1，弱阻尼
s1 n 2 1 s2 n 2 1
阻尼比，相对阻尼系数
1）强阻尼状态： 1
x C1e C2e
s1t
1 n 1 2 2 2 mi vsi J sii me ve 2 i 1 2
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①弹性元件的等效刚度
5
6
k1k2 F F F 思考：为什么弹簧串联的刚度是这种形式？ k x x1 x2 F F k1 k2 k1 k2
思考：为什么弹簧并联的刚度是这种形式？
10
例2 写出图示振动系统的等效刚度，其中12为刚性杆。
对3点（力作用点）力矩平衡：
k11a k2 2b
Q
2 k1a 1 k2b
a 1 2 1 ab
( a b) 2 k 2 2 a a a b 1 2 / 1 1 2 1 1 ab a b k2 k1 Q
等效质量为：
me m1 J / a2 m2 (b / a)2
12
三、单自由度有阻尼自由振动的动力学模型
c k x x x 0 m m
c 2 m
衰减系数
k m
2 n
2 x 2 x n x0 2 s2 2 s n 0
x est
或拉普拉斯变换
kx k1 x k2 x k k1 k2
7
②简单构件的等效刚度
8
9
例1 写出图示轴系的等效刚度
Gi J i 1 1 1 , Ki K K1 K 2 Li
K1 K 2 M K 2 M K1 K 2 1 K2 M
M K11
M K 2 2 1
C2 e in
1 2
x Ae
t
sin d t
b1 C1 C2 , b2 i(C1 C2 )
2 d n 2 n 1 2
2 x 2 0 x0 A x0 d