三元一次方程组的解法及运用
人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。
三元一次方程组及其应用(学生用教案无答案)
三元一次方程组及其应用要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A． B． C．D．类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组3. 已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【巩固训练】：知识点1.三元一次方程组的概念1．下列是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧2x ＝5，x 2＋y ＝7，x ＋y ＋z ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝－2，x －2y ＋z ＝9，y ＝－3C.⎩⎨⎧x ＋y －z ＝7，xyz ＝1，x －3y ＝4D.⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＋z ＝1，x ＋z ＝9知识点2.三元一次方程组的解法2．将三元一次方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＋z ＝0，①3x ＋y －4z ＝11，②x ＋y ＋z ＝－2，③经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是( )A.⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2，7x ＋5y ＝3B.⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2，23x ＋17y ＝11C.⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，7x ＋5y ＝3D.⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，23x ＋17y ＝113．对于方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝6，①y －z ＝4，②x －y －2z ＝3.③(1)若先消去x ，可得含y ，z 的方程组是__ __；(2)若先消去y ，可得含x ，z 的方程组是__ 或 或 __；(3)若先消去z ，可得含x ，y 的方程组是__ 或 或 __．知识点3.利用三元一次方程组求待定系数4．当x ＝0，1，－1时，二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值分别为5，6，10，则a ＝__ __，b ＝__ __，c ＝__ __．5．在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝4；当x ＝1时，y ＝2.(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x ＝－2时，求y 的值．知识点4.三元一次方程组的简单应用6．某次知识竞赛共出了30道试题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小丰同学不答的题比答错的题多3道，他的总分为81分，则他答对了( )A ．19道题B ．20道题C ．21道题D ．22道题【易错点】忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组．7．解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧2x ＋y ＝4，①x ＋3z ＝1，②x ＋y ＋z ＝7；③ (2)⎩⎨⎧x ＋z －3＝0，①2x －y ＋2z ＝2，②x －y －z ＝－3.③8、如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放__ __个圆形物品．9．有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和等于8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99.求原来的三位数．10．某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，因为行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，而从乙地到甲地需要2.3 h，假设汽车在平地、上坡、下坡的行驶过程中的时速分别为30 km，20 km，40 km.问：从甲地到乙地的过程中，平地路、上坡路、下坡路各为多少千米．11．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入y元．(1)求x，y的值；(2)若营业员小丽某月的总收入不低于3 800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件？(3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．求某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元．【作业】：一、选择题1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）.A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C ．1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩ 2. 已知方程370x y --=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则k 的值为（ ）.A. 3B.4C.0D.-13. 下列说法正确的是（ ）.A.方程3220x y z ++=有唯一组解.B.若x 、y 、z 是非负数，则三元一次方程3x+5y+2z ＝0只有一组解.C. 方程4x+y+2z ＝7是三元一次方程.D.三元一次方程组有且只有一组解.4．已知代数式2ax bx c ++，当x ＝-1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为 （ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，则这对夫妇共有（ ）个子女.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支二、填空题7. 若12||(1)5210b a a x y z +--++=是一个三元一次方程，那么a ＝_______，b ＝________．8．已知2234x y y z x z +++===-，则x+2y+z ＝________． 9．当a ＝________时，方程组352,2718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解x 、y 互为相反数． 10．已知303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则x :y :z ＝________． 11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．12. 方程x+2y+3z ＝14 (x ＜y ＜z)的正整数解是 ．三、解答题13．解方程组：（1）:3:2:5:466x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩ （2）3222311410x y x x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩14. 已知等式(27)(38)810-+-=+对于一切有理数x都成立，求A，B的值．A B x A B x15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完，此时厂家需付甲、丙成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．。
三元一次方程组的解
三元一次方程组的解三元一次方程组是指含有三个未知数的一次方程组，我们可以通过一定的方法来求解这些方程的解。
下面就让我来为大家详细介绍一下三元一次方程组的解法。
一、初等变换法初等变换法是指通过对方程组进行加法、减法、乘法等基本运算，来得到方程组的解。
这种方法相对简单，适用于一些比较简单的方程组。
下面是一个使用初等变换法解三元一次方程组的例子：$x + y + z = 10$$2x - y + 3z = 5$$3x + 4y - 2z = 7$先将第2个式子加到第3个式子上，得到：$x + y + z = 10$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$再将第1个式子乘以2，得到：$2x + 2y + 2z = 20$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$将第1个式子减去第2个式子，得到：$x + 3y - z = 15$$2x - y + 3z = 5$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子乘以3，得到：$x + 3y - z = 15$$6x - 3y + 9z = 15$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子乘以2，得到：$x + 3y - z = 15$$12x - 6y + 18z = 30$$5x + 3y + z = 12$将第2个式子减去第1个式子的3倍，得到：$x + 3y - z = 15$$3x - 15z = 3$$5x + 3y + z = 12$再将第3个式子减去第1个式子的5倍，得到：$x + 3y - z = 15$$3x - 15z = 3$$4y - 4z = -63$由第2个式子得：$x = 5z + 1$将上面的式子带入第1个和第3个式子中，得到：$20z + 16y = 79$$25z + 14y = 47$解得 $y=-\dfrac{1}{2}$，$z=\dfrac{9}{5}$，最终得到：$x=3$，$y=-\dfrac{1}{2}$，$z=\dfrac{9}{5}$二、高斯消元法高斯消元法是求解三元一次方程组的一种比较常用的方法，它的主要思想是通过消元的方式，将方程组化成为一个上三角矩阵，然后就可以通过回带的方法来解方程组。
三元一次方程例题及解法
下面是一个三元一次方程的例题及解法：例题：解方程组{2x+3y+z=10,x-3y+2z=4,3x-y-z=5}解法：1.我们可以使用消元法或代入法来解这个方程组。
在这里，我们将使用代入法。
2.首先，从任意两个方程中选择一个变量，将其表示为其他变量的函数。
在这里，让我们选择第一个方程和第三个方程，将变量"x"表示为"y"和"z"的函数。
根据第一个方程，我们可以得到：x=(10-3y-z)/2将这个表达式代入第三个方程：3((10-3y-z)/2)-y-z=53.现在，我们只有一个未知数"y"和一个未知数"z"的方程：15-9y-3z-2y-2z=10化简这个方程：17y+5z=54.接下来，我们可以从第二个方程中解出变量"x"：将第二个方程重排：x=4-2z+3y5.最后，将"x"、"y"和"z"的表达式代入其中一个原始方程，例如第一个方程：2(4-2z+3y)+3y+z=10将这个方程化简：8-4z+6y+3y+z=106.再次进行化简：9y=2z+27.现在我们有两个未知数"y"和"z"的方程：17y+5z=59y=2z+28.使用这两个方程来解出变量"y"和"z"。
一种方法是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的函数，然后代入到另一个方程中进行求解。
根据第二个方程，我们可以得到：y=(2z+2)/9将这个表达式代入第一个方程：17((2z+2)/9)+5z=5化简这个方程：34z+34+45z=45进一步化简：79z=119.解这个方程，我们得到：z=11/7910.将z的值代入y的表达式中：y=(2(11/79)+2)/9=4/7911.最后，将y和z的值代入x的表达式中：x=(10-3(4/79)-11/79)/2=625/79因此，方程组的解为x=625/79，y=4/79，z=11/79。
三元一次方程组知识讲解
三元一次方程组知识讲解a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中，a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃,c₁,c₂,c₃为系数，d₁,d₂,d₃为常数。
解方程组的目标是找到x,y,z的值，使得方程组中的每个方程都得到满足。
解三元一次方程组的方法有很多种，下面将介绍其中的两种常用方法。
1.消元法：消元法是通过变换方程组中的方程，逐步去除未知数的系数，从而得到最终结果。
首先，我们可以使用第一个方程来消去x，方法是将第一个方程乘以a₂/a₁，再与第二个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，我们可以使用第三个方程再次消去x，方法是将第三个方程乘以a₁/a₃，再与第一个方程相减，得到一个新的方程，其未知数中x的系数为0。
这样，我们得到了一个新方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁(0)x+(b₂-(a₂/a₁)b₁)y+(c₂-(a₂/a₁)c₁)z=d₂-(a₂/a₁)d₁(0)x+(b₃-(a₃/a₁)b₁)y+(c₃-(a₃/a₁)c₁)z=d₃-(a₃/a₁)d₁在这个新的方程组中，已经消去了x，我们可以将其简化为两元一次方程组，然后使用二元一次方程组的解法来求解y和z的值。
最后，再将y和z的值带入原方程组中的任一方程，求解x的值。
2.矩阵法：矩阵法是通过将方程组转化为矩阵的形式来求解。
将方程组表示为如下的增广矩阵：┌┐a₁b₁c₁，d₁a₂b₂c₂，d₂a₃b₃c₃，d₃└┘首先，我们对矩阵进行初等行变换，使得矩阵的左上角的元素为1，其它行的第一列元素为0。
得到一个新的矩阵：┌┐1**，*0**，*0**，*└┘接下来，我们使用行变换将矩阵的左下角和右上角的元素变为0。
解三元一次方程
解三元一次方程三元一次方程，又称为三元线性方程，是指由三个未知数及三个一次项的一元一次方程组组成的方程组，其可以用于解决三重参数的实际问题，是一种经典的数学方程，被广泛地应用在数学、物理、化学等诸多领域。
下面就介绍三元一次方程的解法。
一、矩阵方法：使用矩阵方法进行求解时，首先将三元一次方程写成矩阵形式，然后采用行列式求解，即可得到未知量的值，从而求解三元一次方程。
二、消元法：消元法，即高斯消元法。
其基本思想简单易懂，但限制也较大，必须保证当前的非首元的系数用其首元乘以系数倍后，可以消去当前未知数的项。
三、分部求解法：采用分部求解法时，首先将原方程组按未知数拆分为多个一元方程组，然后分别解出每个一元方程，把解带回原来的方程组，联立求解，即可得到未知数的值，最后可以求出三元一次方程的解。
四、特例法：如果三元一次方程的系数存在一些特殊构型，比如某两个变量的系数相等、另一个变量的系数为零等，就可以采用特例法进行求解。
五、代数位移法：代数位移法是一种巧妙的求解三元一次方程的方法。
它的基本思想是利用一定的代数变换使方程的系数变成某种特殊结构，从而有利于简化求解工作，从而得出方程的解。
总结：1. 矩阵方法：将三元一次方程写成矩阵形式，然后采用行列式求解，即可得到未知量的值。
2. 消元法：假定当前的非首元的系数可以用其首元乘以系数倍后，可以消去当前未知数的项。
3. 分部求解法：将原方程组按未知数拆分为多个一元方程组，然后分别解出每个一元方程，把解带回原来的方程组，联立求解，即可得到未知数的值。
4. 特例法：如果三元一次方程的系数存在一些特殊构型，可以采用特例法进行求解。
5. 代数位移法：利用一定的代数变换使方程的系数变成某种特殊结构，从而有利于简化求解工作，从而得出方程的解。
通过以上介绍的五种解法，大家可以选择一种最合适的解法，进行三元一次方程的求解。
此外，完全可以使用多种解法结合，从而求出三元一次方程的解。
只要我们能灵活运用数学知识，就可以解决三元一次方程，灵活掌握各种解法，数学天赋就不会是一种障碍。
三元一次方程组的解法
实例三：应用题中的方程组解决
总结词
在解决实际应用问题时，通常需要建立 相应的数学模型，并通过解方程组得到 问题的解。
VS
详细描述
以追及问题为例，可以通过建立两个方程 组来表示两个人行走的距离和时间的关系 ，然后通过解方程组得到两个人的相遇地 点和时间；再比如解决利润问题时，可以 通过建立方程组来表示商品的进价、售价 和利润之间的关系，进而求得商品的进货 量。
电磁学
在电磁学中，三元一次方程组被用来描述电流、电场和磁场之间的 关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，三元一次方程组可以用来描述商品的供应、需求和价格之间的关系。例如，在垄断市场分析中，三元一次方程组可以用来描述企业的利润、市场 的供应和需求以及商品价格之间的关系。
投资组合优化
在投资组合理论中，三元一次方程组可以用来确定最优的投资组合，即在给定风险水平下获得最大收益或在给定收益水平下风险最小。
重要性
三元一次方程组是数学中一个重要的概念，它在实际生活中 有着广泛的应用，如求解空间几何中的点坐标、解决物理问 题中等。掌握三元一次方程组的解法对于理解和应用数学知 识具有重要意义。
三元一次方程组的特点
三个未知数
三元一次方程组包含三个未知数，通常用x、y、z表示。
三个方程式
每个未知数都由一个方程式来描述，因此总共有三个方程式。每个方程式都是 一次方程，形式为Ax+By+Cz=D，其中A、B、C和D是常数。
02
解三元一次方程组的步骤
整理方程组
整理三元一次方程组，将其转化为标准形式，即每个方程都包含未知数的最高次 数为一次。
将三元一次方程组的系数矩阵用数学公式表示，并确定方程组的未知数个数。
高中数学解三元一次方程组的方法及相关题目解析
高中数学解三元一次方程组的方法及相关题目解析一、引言三元一次方程组是高中数学中的重要内容之一。
解三元一次方程组需要使用代数方法，通过变量的消元、代入等步骤，找到方程组的解。
本文将介绍解三元一次方程组的常用方法，并通过具体题目进行解析，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
二、方法一：代入法代入法是解三元一次方程组的常用方法之一。
具体步骤如下：1. 选取一个方程，将其中一个变量表示为其他变量的函数。
2. 将该函数代入其它方程，得到一个二元一次方程组。
3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。
4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。
以下通过一个例题来说明代入法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4x + 2y + 3z = 14解析：选取第一个方程，将z表示为其他变量的函数：z = 10 - 2x - y将z代入第二个方程，得到一个二元一次方程组：x + 3y - (10 - 2x - y) = 4化简得：3x + 4y = 14解二元一次方程组3x + 4y = 14和第一个方程2x + y + z = 10，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：z = 10 - 2x - y = 10 - 2(2) - 1 = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。
三、方法二：消元法消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。
具体步骤如下：1. 选取两个方程，通过消元的方式，将其中一个变量消去。
2. 得到一个二元一次方程组。
3. 解二元一次方程组，求出两个变量的值。
4. 将求得的变量值代入原方程中，求出第三个变量的值。
以下通过一个例题来说明消元法的具体操作：例题：解方程组2x + y + z = 10x + 3y - z = 4解析：选取第一个方程和第二个方程，通过消元的方式将z消去：(2x + y + z) - (x + 3y - z) = (10) - (4)化简得：x + 4y = 6解二元一次方程组x + 4y = 6和第三个方程x + 2y + 3z = 14，可以得到x和y 的值：x = 2, y = 1将求得的x和y代入第一个方程，求出z的值：2(2) + 1 + z = 10化简得：z = 5因此，方程组的解为x=2，y=1，z=5。
了解三元一次方程组的解法及应用
了解三元一次方程组的解法及应用在数学中，方程是一个含有未知数的等式，而方程组则是由多个方程组成的一组等式。
其中，三元一次方程组指的是含有三个未知数的一组方程。
了解和掌握三元一次方程组的解法及应用，对于解决实际问题和提升数学能力都具有重要意义。
一、三元一次方程组的解法1. 代入法代入法是解三元一次方程组的一种常用方法。
首先，从其中一个方程中解出一个未知数，然后将其代入其他方程中，得到一个二元方程组。
接着，再使用二元方程组的解法求出另外两个未知数的值。
最后，将求得的两个未知数代入原方程中，求出第三个未知数的值。
2. 消元法消元法是另一种解三元一次方程组的常用方法。
通过将方程组中的某一方程乘以适当的数，使得方程组中某一未知数的系数相等，然后将这两个方程相减，从而消去该未知数。
接着，将得到的新方程与其他方程相加或相减，继续消去另一个未知数。
最后，将求得的两个未知数代入原方程中，求出第三个未知数的值。
二、三元一次方程组的应用1. 几何问题三元一次方程组在几何问题中有广泛的应用。
例如，在三维空间中，可以通过三元一次方程组来求解平面与直线的交点、直线与直线的交点等。
这些问题常常涉及到坐标系、向量和几何关系等概念，通过解方程组可以得到准确的结果。
2. 经济问题三元一次方程组在经济学中也有重要的应用。
例如，在市场经济中，供求关系是一个复杂的问题。
通过建立三元一次方程组，可以求解出市场平衡点，即供给与需求相等的点。
这对于决策者来说，可以提供重要的参考，帮助他们做出合理的经济决策。
3. 物理问题三元一次方程组在物理学中也有广泛的应用。
例如，在运动学中，可以通过三元一次方程组来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。
这些问题涉及到时间、距离和速度等概念，通过解方程组可以得到物理量之间的关系，进而进行科学的分析和预测。
三、三元一次方程组的挑战尽管三元一次方程组具有广泛的应用，但在实际问题中，解方程组并不总是一件容易的事情。
有时，方程组可能没有解，或者有无穷多个解。
三元一次方程组的解法与实际应用
三元一次方程组的解法与实际应用三元一次方程组是由三个未知数和三个方程组成的方程组。
解这个方程组意味着要找到满足所有三个方程的变量值。
三元一次方程组有多种解法，包括代入法、消元法和矩阵法等。
在实际应用中，三元一次方程组经常用于解决涉及多个变量的问题，例如物理问题、经济问题和工程问题等等。
一、代入法：代入法是最直接也是最常用的解三元一次方程组的方法之一、它的基本思想是将方程组中的一个方程，如第一个方程，解出一个变量，然后将这个解代入到其他方程中，由此得到一个只含两个未知数的方程组。
然后继续解这个两元一次方程组，最后将求得的变量值代入到最初的方程中，即可求得所有变量的取值。
举个例子来说明代入法的具体步骤：假设我们有以下三元一次方程组：2x+3y-z=73x-2y+4z=4-4x+2y+5z=10我们可以选取第一个方程，解出z的值，然后将z的值代入到另外两个方程中，得到如下两元一次方程组：2x+3y=7+z3x-2y=4-4z然后我们可以继续解这个两元一次方程组，得到x和y的值。
最后将求得的x、y、z的值代入到最初的三个方程中，检验方程组的解是否正确。
二、消元法：消元法是另一种常用的解三元一次方程组的方法。
它的基本思想是通过逐步消去三个方程中的一些变量，从而将原方程组转化为只含有两个未知数的方程组。
具体步骤如下：1.选择任意一个方程，通过乘以一个适当的数使得这个方程中的其中一项的系数在其他两个方程中的相应项的系数相等或者相反。
2.将这个方程和其他两个方程相加或相减，消去一个变量。
3.重复以上步骤，直到得到一个只有两个变量的方程组。
4.解这个两元一次方程组，得到两个变量的值。
5.将求得的两个变量的值代入到最初的方程中，解出剩下的一个变量的值。
举个例子来说明消元法的具体步骤：假设我们有以下三元一次方程组：2x+3y-z=73x-2y+4z=4-4x+2y+5z=10我们可以选择第一个方程，通过乘以3来使得第一个方程和第二个方程中y的系数相等：6x+9y-3z=213x-2y+4z=4-4x+2y+5z=10然后将第一个方程和第二个方程相减，消去x：3x-2y+4z=4-4x+2y+5z=10得到一个只有两个变量的方程组。
解三元一次方程组的方法
解三元一次方程组的方法三元一次方程组是指含有三个未知数的一次方程组，通常可以表示为如下形式：a1x + b1y + c1z = d1。
a2x + b2y + c2z = d2。
a3x + b3y + c3z = d3。
要解决这样的方程组，我们可以采用以下方法：1. 三元一次方程组的解法。
首先，我们可以使用消元法来解决三元一次方程组。
消元法的基本思想是通过加减乘除等运算，将方程组中的某个未知数逐步消去，最终得到只含有一个未知数的方程，然后通过代入法或者其他方法求解出该未知数的值，再逐步回代，最终得到所有未知数的值。
2. 三元一次方程组的求解步骤。
接下来，我们来具体介绍一下解三元一次方程组的步骤：（1）首先，我们可以通过消元法将方程组化为只含有两个未知数的方程组，具体的消元方法可以根据具体的方程组情况来选择，可以是加减消元法、乘除消元法等。
（2）然后，我们可以继续使用消元法，将方程组化为只含有一个未知数的方程，同样可以根据具体情况选择合适的消元方法。
（3）接着，我们可以通过代入法或者其他方法求解出最后一个未知数的值。
（4）最后，将求得的未知数的值逐步回代到原方程组中，验证是否满足所有方程，如果满足，则得到了方程组的解，如果不满足，则需要重新检查计算过程。
3. 三元一次方程组的解的表示形式。
最后，我们来看一下三元一次方程组的解的表示形式。
一般来说，三元一次方程组的解可以表示为一个有序三元组，即(x, y, z)，其中x、y、z分别代表三个未知数的值，通过解方程组得到的有序三元组就是方程组的解。
总结：通过以上方法，我们可以解决三元一次方程组的问题，关键是灵活运用消元法和代入法，逐步化简方程组，最终得到方程组的解。
希望本文对解三元一次方程组有所帮助，谢谢阅读！。
七年级数学下册人教版8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师要进行巡回指导，解答学生的问题，帮助学生突破思维障碍。
（四）总结归纳
1.让学生总结：让学生分别代表小组进行总结，阐述三元一次方程组的解法及其应用；
2.教师补充：对学生的总结进行点评，补充讲解其中的重点和难点；
3.强调注意事项：让学生注意三元一次方程组解法在实际问题中的应用，避免常见错误。
七年级数学下册人教版8.4三元一次方程组的解法优秀教学案例
一、案例背景
在七年级数学下册人教版8.4三元一次方程组的解法这一章节中，学生需要掌握三元一次方程组的解法及应用。此章节内容是学生对一元一次方程和二元一次方程组知识的拓展和延伸，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
在实际教学中，我发现许多学生在学习三元一次方程组时，往往因为无法将其与实际问题相联系而感到困惑。针对这一问题，我设计了一份优秀教学案例，旨在帮助学生深刻理解三元一次方程组的知识，提高他们解决问题的能力。
1.引导学生自主发现三元一次方程组的解法：通过实际问题的探究，让学生自主发现三元一次方程组的解法；
2.讲解解法的基本原理：详细讲解高斯消元法、代入法等解法的原理，让学生理解并掌握解法；
3.运用数形结合思想：通过图形演示，让学生直观地理解三元一次方程组的解法。
（三）学生小组讨论
1.合理分组：根据学生的学习特点和能力，合理划分学习小组，保证小组讨论的效果；
在教学实践中，我发现通过本节课的学习，学生们不仅掌握了三元一次方程组的解法，而且在解决实际问题时，能够灵活运用所学知识。他们在探究过程中，培养了合作意识，提高了自己的数学素养。此外，学生们在面对困难时，展现了积极向上的精神，增强了自信心，激发了他们对数学学习的热情。
数学三元一次方程
数学三元一次方程数学一直被认为是一门高深莫测的学科，但其实在生活中，数学无处不在。
尤其是关于方程这一知识点，更是涉及到日常生活中各方各面。
今天我们要探讨的是“数学三元一次方程”。
三元方程是指含有三个或三个以上未知数的一次或高次方程。
而一次方程则是指其中的未知数的最高次数为1，并且系数都是常量的代数方程。
接下来，我将为大家详细介绍三元一次方程的解法以及其在日常生活中的应用。
一、三元一次方程的解法三元一次方程求解的一般方法是利用高斯消元法。
下面，就来具体介绍一下如何运用高斯消元法解决三元一次方程。
假设我们有以下三元一次方程组：2x + 3y - 5z = 13x - 4y + 2z = 8x + 2y - 3z = 1步骤1：将方程写成增广矩阵的形式将方程写成增广矩阵的形式，即列出矩阵[系数矩阵|常数矩阵]，如图所示：or步骤2：消元变换通过消元变换，将矩阵变换成阶梯形矩阵，如图所示：其中，阶梯形矩阵的定义为：矩阵中的每个元素，其上方的所有元素都为0，第一个非零元素为1。
步骤3：回代求解通过回代求解，得出各个未知数的值，如图所示：因此，方程组的解为：x = 2y = -1z = -1二、三元一次方程的应用三元一次方程是应用最广泛的一种方程类型，其应用范围涵盖自然科学、社会科学、经济学、工程学等众多领域。
1、物理学中的应用三元一次方程在物理学中的应用非常广泛。
比如，有一个自由落体的问题，我们可以通过三元方程组来求解。
考虑一个自由落体问题，假定一个小球从高空自由落下，并有初速度。
根据物理学理论，小球在空中的运动过程中，下落的高度会随着时间的增加而减小，其高度的变化可以通过该方程来描述：h = vt - 1/2gt²其中，h为小球的高度，v为小球的初速度，t为时间，g为重力加速度。
另外，根据牛顿第二定律，可以得到小球在下落过程中的速度变化规律：v = gt + v₀其中，v₀为小球的初速度。
将上述两个式子带入三元一次方程中，即可求出小球在空中的运动规律。
三元一次方程组的解法技巧
三元一次方程组的解法技巧在中学数学学习中，三元一次方程组的解法是一个基本的知识点。
掌握了解题的方法和技巧，就能够迅速地解决三元一次方程组。
下面将介绍一些常用的技巧和方法。
1. 增广矩阵法增广矩阵法是解决三元一次方程组的最基本方法之一。
将三元一次方程组转化为增广矩阵，然后通过高斯消元法，将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，然后依次求出各个未知数的值。
2. 代数消元法代数消元法也是解决三元一次方程组的一种常用方法。
利用三个方程式间的关系式，进行代数式消元。
首先将其中两个方程的一个未知数消去，得到一元二次方程式，用剩下的两个方程式再进行类似操作，直到将所有未知数消元。
3. Cramer法则Cramer法则也是解决三元一次方程组的一种常用方法。
首先得到三个方程式的系数矩阵和常数矩阵，然后通过对系数矩阵求行列式，得到主行列式，再通过各未知数系数矩阵的行列式，得到三个次级行列式，最后将次级行列式与主行列式进行运算，得出各未知数的解。
4. 消元法消元法也是解决三元一次方程组的常用方法之一。
通过加减、乘除等操作，减少未知数的数量，逐步消去系数，直到得出未知数的值。
在解决三元一次方程组时，需要注意以下几点：首先，要对方程组进行简化，去除无用的信息，保留有用的数据；其次，要对方程组进行分类讨论，并运用适当的解题方法和技巧；最后，要检查所得到的解是否正确，尤其是涉及到分母的情况，需要判断是否存在为0的解。
在解决三元一次方程组时，不同的方法都有各自的优点和缺点。
因此，需要将各种方法进行灵活运用，综合考虑各种因素，以求解出正确的答案。
相信通过学习和练习，大家一定能够轻松掌握三元一次方程组的解题方法和技巧。
解三元一次方程组的常见方法与技巧
解三元一次方程组的常见方法与技巧在数学中，三元一次方程组是由三个未知数及其对应的线性方程组成的。
解决这类方程组是基础中的基础，因为它们涉及到许多实际问题的解决。
本文将介绍一些解三元一次方程组的常见方法和技巧，帮助读者在解题过程中更加便捷和准确。
一、代入法代入法是解三元一次方程组的最基本且常用的方法之一。
它的基本思想是将方程组中的一个未知数（通常选取其中一个不含有系数的方程）表示成其他未知数的函数，然后代入到其他方程中，最终得到一个二元方程组，从而求解出未知数的值。
例如，考虑以下方程组：```2x - 3y + z = 7 (1)3x + y - 2z = -5 (2)x + 2y - 3z = 1 (3)```我们可以从第一个方程中将 z 表示出来：```z = 7 - 2x + 3y```然后代入到第二个和第三个方程中，得到一个二元方程组：```3x + y - 2(7 - 2x + 3y) = -5 (4)x + 2y - 3(7 - 2x + 3y) = 1 (5)```通过解这个二元方程组，我们可以得到 x 和 y 的值。
最后再将求得的 x、y 值代入到第一个方程中，求得 z 的值，从而得到方程组的解。
二、消元法消元法是解三元一次方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过适当的加减运算将方程组转化成一个简化的形式，从而降低问题的复杂度。
消元法有多种具体的实现方式，如高斯消元法和克拉默法则等。
这里我们以高斯消元法为例进行说明。
考虑以下方程组：```2x + 3y - z = 7 (6)4x - 2y + 3z = -9 (7)x + 2y + 3z = 18 (8)```我们通过将第一个方程的两倍加到第二个方程中，以及第一个方程的十倍减去第三个方程，可以将方程组化为如下形式：```2x + 3y - z = 7 (6)-8y + 5z = -25 (9)-19y + 13z = -53 (10)```然后，我们可以通过类似的运算，进一步消去 y 变量。
函数与方程中的三元一次方程组与解法
函数与方程中的三元一次方程组与解法在数学中，方程组是由一组方程组成的集合。
而三元一次方程组是一个具有三个变量和一次项的方程组。
解决三元一次方程组的方法可以帮助我们求解复杂的问题，因此在数学学习中具有重要意义。
本文将介绍函数与方程中的三元一次方程组的基本概念和解法。
一、三元一次方程组的定义三元一次方程组由三个方程组成，每个方程中都有三个变量，并且每个变量都具有一次项。
一般地，三元一次方程组可以表示为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁、b₁、c₁等表示系数，x、y、z表示变量，d₁、d₂、d₃表示方程组的常数项。
二、三元一次方程组的解法解决三元一次方程组可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
1. 代入法代入法是一种简单而直观的解方程组方法。
具体步骤如下：- 选择其中一个方程，将其中一个变量表示为其他变量的函数。
- 将得到的表达式代入到另外两个方程中，从而得到只涉及两个变量的二元一次方程组。
- 使用二元一次方程组的解法求解该方程组。
- 将求得的解代入到任意一个原方程中，求解第三个变量的值。
2. 消元法消元法是一种通过对方程组进行线性变换，使得变量之间的系数出现特殊关系，从而简化求解过程的方法。
具体步骤如下：- 通过线性变换，将方程组化为三个方程，其中每个方程只包含两个变量。
- 使用二元一次方程组的解法求解该方程组。
- 将求得的解代入任意一个原方程中，求解第三个变量的值。
3. 矩阵法矩阵法是一种利用矩阵运算求解方程组的方法。
具体步骤如下：- 将三元一次方程组的系数写成矩阵形式，即系数矩阵。
- 对系数矩阵进行行变换，化为行简化阶梯形矩阵。
- 根据行简化阶梯形矩阵，得出方程组的解。
三、例题下面通过一个例题来展示如何使用上述方法解决三元一次方程组：例题：求解方程组2x + y + z = 63x - y + z = 4x + 2y - z = 1解法：1. 代入法选择第一个方程，将 z 表示为其他变量的函数：z = 6 - 2x - y将 z 代入到第二、第三个方程中，得到一个二元一次方程组：3x - y + (6 - 2x - y) = 4x + 2y - (6 - 2x - y) = 1化简上述方程组，得到：x - 2y = -13x - 2y = 1解二元一次方程组，得到：x = 1, y = 1将 x 和 y 值代入任意一个原方程，求解 z 值：2(1) + 1 + z = 6z = 32. 消元法通过线性变换，将方程组化为三个方程，其中每个方程只包含两个变量：2x + y + z = 63x - y + z = 4x + 2y - z = 1化简第三个方程：x + 2y = 1 + z替换第一个和第二个方程中的 x 和 y 值：2(1 + z) - y + z = 63(1 + z) - y + z = 4化简上述方程组，得到：-2z + y = 4-2z + y = 1可以看出上述方程组无法满足，因此该方程组无解。
三元一次方程组及应用
三元一次方程组及应用一、知识体系1、概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程。
由三个三元一次方程组成的叫做三元一次方程组。
2、方法：代入消元法、加减消元法。
先消掉一个未知数，化成二元一次方程组。
3、基本关系量：（一）销售问题： ·基 本 量：成本（进价）、售价（实售价）、 利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：盈利：售价＞进价 利润=售价－进价＞0 亏损：售价＜进价 利润=售价－进价＜0 利润=售价－成本 亏损额=成本－售价、利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率 售价=标价×10折数售价=进价×（1＋利润率） 总价=单价×数量 数量之和=甲商品＋乙商品＋丙商品（二）增长率或百分比的问题增长（降低）率问题：增长量=原有量×增长率 现有量=原有量＋增长量 =原有量×（1＋增长率） 减少量=原有量×降低率 现有量=原有量－减少量 =原有量×（1－降低率） （四）储蓄问题（银行利率问题）%100⨯=成本利润利润率%100⨯=成本亏损额亏损率利息=本金×利率 本息和=本金＋利息 =本金×（1+利率） 利息税=利息×利息税率 所得金额=本息和－利息税 （五）浓度问题：溶质=溶液×浓度百分数 溶液=溶质＋溶剂 m 溶液=m 溶质+m 溶剂m 溶质=m 溶液×m 浓度百分数=（m 溶质+m 溶剂）×浓度百分数 二、知识巩固3、已知 ，则x ∶y ∶z ＝___________.4、若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、55、若方程组 的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A 、4B 、10C 、11D 、126、已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）2＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值.7、解方程组x －3y ＋2z ＝0 3x －3y －4z ＝04x ＋3y ＝1ax ＋（a －1）y ＝%100⨯+=溶剂溶质溶质浓度百分数m m m（1（2）三、知识拓展1、一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女2、小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．3、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的13等于丙数的12，求这三个数．4、体育商店足球打6折出售，是指按原价的 %出售，如果这种足球的原价是80元，则现价是 元，比原价便宜____元。
三元一次方程组的解法举例
三元一次方程组的解法举例在数学中，三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的。
解决这种方程组可以帮助我们找到未知数的值，使得所有方程都成立。
在本文中，我们将介绍三种常见的解三元一次方程组的方法。
方法一：代入消元法代入消元法是解三元一次方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是将方程组中的一个未知数用其他未知数的表达式代入其他方程中，从而减少未知数的数量，从而简化方程组。
以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以使用代入消元法来解决这个方程组。
首先，我们可以从第一个方程中解出x的表达式：x = (10 - 3y - 4z)/2将这个表达式代入第二个方程中得到：3((10 - 3y - 4z)/2) + 2y + z = 5化简这个方程，我们可以解出y的表达式：y = (39 - 10z)/11将这个表达式代入第三个方程中得到：(10 - 3((39 - 10z)/11) - 4z)/2 + 2((39 - 10z)/11) + 3z = 7化简这个方程，我们可以解出z的表达式：z = 1将z的值代入y的表达式，然后再代入x的表达式，我们可以得到：x = 2y = 3z = 1所以方程组的解为x = 2，y = 3，z = 1。
方法二：矩阵消元法矩阵消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是将方程组表示为矩阵的形式，然后通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形，从而得到方程组的解。
以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以将这个方程组表示为矩阵的形式：[2 3 4 | 10][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]接下来，我们通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形。
具体的步骤如下：1.将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，第三个方程乘以1，并进行相减：[6 9 12 | 30][6 4 2 | 10][1 2 3 | 7]2.将第二行乘以1/2，得到：[6 9 12 | 30][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]3.将第一行减去两倍的第二行，得到：[0 5 10 | 20][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]4.将第一行乘以1/5，得到：[0 1 2 | 4][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]5.将第二行减去三倍的第一行，将第三行减去一倍的第一行，得到：[0 1 2 | 4][3 -1 -2 | -7][1 0 1 | 3]6.将第二行乘以-1，得到：[0 1 2 | 4][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]7.将第一行加上三倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]8.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]9.将第一行乘以1/8，得到：[0 0 1 | 25/8][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]10.将第二行加上三倍的第一行，第三行减去第一行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]11.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]12.将第三行减去五倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 0 | -2/8]最后得到了行最简形的矩阵，通过回代法可以求得方程组的解：x = -1/4y = 23/8z = 25/8所以方程组的解为x = -1/4，y = 23/8，z = 25/8。
三元一次方程组与技术2.0
三元一次方程组与技术2.0三元一次方程组的解法及在实际生活中的应用与教育技术2.0下的教学策略。
一、三元一次方程组的解法。
（一）什么是三元一次方程组。
三元一次方程组，简单来说，就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的三个整式方程组成的方程组。
比如说下面这个：x + y + z = 6 2x y + z = 3 x + 2y z = 2这里面x、y、z就是三个未知数，每个方程里未知数的次数都是1 。
（二）常见的解法。
1. 代入消元法。
思路：就是把一个未知数用含另外两个未知数的式子表示出来，然后代入到另外两个方程中，消去这个未知数，变成二元一次方程组，再求解。
举例：还是看上面那个方程组x + y + z = 6 ① 2x y + z = 3 ② x + 2y z = 2 ③由①得x = 6 y z，把它代入②和③中，②就变成2(6 y z)-y + z = 3，③变成6 y z + 2y z = 2，这样就消去了x，得到了关于y和z的二元一次方程组，然后再求解就容易多。
2. 加减消元法。
思路：通过把方程组中的两个方程相加或者相减，消去一个未知数，变成二元一次方程组再求解。
举例：还是刚才那个方程组x + y + z = 6 ① 2x y + z = 3 ② x + 2y z = 2 ③①+③可以消去z，得到x + y + z+x + 2y z = 6 + 2，也就是2x + 3y = 8。
②+③也能消去z，得到2x y + z+x + 2y z = 3 + 2，即3x + y = 5。
这样就得到了新的二元一次方程组2x + 3y = 8 3x + y = 5，接着求解就行。
二、三元一次方程组在实际生活中的应用。
（一）购物消费问题。
比如说，你去商场买三种不同的商品，设三种商品的单价分别为x元、y元、z 元。
已知买2件第一种商品、3件第二种商品和1件第三种商品一共花了100元；买3件第一种商品、2件第二种商品和4件第三种商品一共花了130元；买1件第一种商品、4件第二种商品和3件第三种商品一共花了110元。
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__________________________________________________ 来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期 50 天完成，甲乙两队合作了 30 天后，乙队因另外有任务需 要离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修了 0.6 千米，10 天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不 变，乙队每天也比原来多修 0.4 千米，结果如期完成。问：甲，乙两队原计划每天各修多少千米？
工作量=工作效率×工作时间（相对应的）
例 6.（遵义 07）某中学准备改造面积为1080m2 的旧操场，现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经 协商后得知，甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用 9 天；乙工程队每天比甲工程队多改造10m2 ；甲
船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是： 顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度； 逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。
车上（离）桥问题： ①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。 ②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个成长 ③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 ④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
例 1.有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨，5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨。3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？
•
（2）行程问题（基本关系：路程＝速度×时间。） 相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相 等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程
x y 1
（7）
x : 2x
y
: z 1: 2 y 3z
:3 15
（8）
y z
z x
2 3
实际问题与二元一次方程：
常见题型有以下几种情形： （1）和、差、倍、分问题。
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题 时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
例 3.甲，乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1 小时 20 分钟相遇。相遇 后，拖拉机继续前行，汽车在相遇处停留 1 小时后掉转车头原速返回，且半小时后追上拖拉机。这时，汽 车，拖拉机各走了多少千米？
例 4;甲乙两人分别从相距 30 千米的 AB 两地同时相向而行,经历 3 小时相距 3 千米,再经过 2 小时,甲到 B 地所剩的路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍,求甲乙两人的速度.
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三元一次方程组的解法及运用
三元一次方程组的解法
基本步骤：
①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知 数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起 的就是所求的三元一次方程组的解。
2x 6 y 3z 6① 例 解方程组 3x 15 y 7z 6②
4x 9 y 4z 9③
思路探索：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单 的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y,z的二元一次方程组，最后求x。
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__________________________________________________ 例 2、张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行。如果张强比李毅早出发 30 分钟， 那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果多少千米？
（3）工程问题工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量， 其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。当工作总量
未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 例 5.某城市为缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把 200 千米以外的一条大河的水引到城市中 __________________________________________________
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量 关系。
① 同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
② 同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同 向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
课时训练试题： 解下列方程组
y 2x 7 （1） 5x 3y 2z 2
3x 4z 4
4x 9 y 12
（2）
3
y
2z
1
7
x
5z
4
3
4
7x 6 y 7z 100
（3）
x
2
y
z
0
3x y 2z 0
3x 2 y z 3 （5） 2x y z 4
4x 3y 2z 10
2x 4y 3z 9 （4） 3x 2 y 5z 11
5x 6 y 8z 0
2x 6y 3z 6 （6） 3x 12 y 7z 3
4x 3y 4z 11
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