圆的基础测试题

圆的基础测试题

一、选择题

1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）

A．2 B．3C．2﹣3D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=23可得答案．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝30°，DC＝1，

∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，

则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝23，

∴⊙O的半径为3，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．

2．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC=22，BD=1，则sin∠ABD的值是()

A ．22

B ．13

C ．223

D ．3

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据垂径定理，可得BC 的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求得AB 的长，得到sin ∠ABC 的大小，最终得到sin ∠ABD

【详解】

解：∵弦CD ⊥AB ，AB 过O ，

∴AB 平分CD ，

∴BC =BD ，

∴∠ABC =∠ABD ，

∵BD =1，

∴BC =1，

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ACB =90°，

由勾股定理得：AB =()22222213AC BC +=

+=， ∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =

22AC AB = 故选：C ．

【点睛】

本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解

3．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ∆的面积为（ ）

A ．18

B ．27

C ．36

D ．54

【答案】B

【解析】

【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．首先证明A ，Q ，T 共线时，△ABC 的面积最大，设QT=TB=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【详解】

解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．

∵PB是⊙O的直径，

∴∠PQB=∠CQB=90°，

∴QT=1

2

BC=定值，AT是定值，

∵AQ≥AT-TQ，

∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x，在Rt△ABT中，则有（3+x）2=x2+62，

解得x=9

2

，

∴BC=2x=9，

∴S△ABC=1

2

•AB•BC=

1

2

×6×9=27，

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．

4．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()

A．4 B．3C．6 D．43

【答案】B

【解析】

【分析】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，

∴∠OAB=60°，

在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，

∴光盘的直径为83．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）

A．20°B．35°C．40°D．55°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】

连接FB，

则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，

∴∠FEB＝1

2

∠FOB=70°，

∵FO＝BO，

∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，

∵EF＝EB，

∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，

∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

6．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2

5

，则线段AC的长为（）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由

⊙O的半径是5，sinB=2

5

，即可求得答案．

【详解】

解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，

由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，

∴∠B=∠D，即sinB=sinD=2

5

，

∵半径AO=5，∴CD=10，