四面体与平行六面体

四面体与平行六面体

四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。它们之间有如下性质：

性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且1

=3

V V 四面体平行六面体；

性质2.棱长为a

的正四面体可以补成一个棱长为2

a 的正方体；

性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。

例1.(03全国联赛)在四面体ABCD 中，设1AB =

,CD =直线AB ,CD 的距离为2，夹角为3

π

，则四面体ABCD 的体积为

例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD

中,AB CD AC BD m ====

AD BC n ==，且226m n +=，则四面体ABCD 体积最大值为

（10全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）

(A)

练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点

在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. 81π B.36π C.81

π

D. 144π

练2．在四面体ABCD ，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ．

例3.（04福建竞赛）四面体ABCD 中，,,AB CD A BC AD b CA BD c ======。如果异面

直线AB 与CD 所成的角为α，则cos α=

练．如图，有一个内接的四棱锥P ABCD -，

若PA ABCD ⊥底面，2

BCD π∠=，2

ABC π

∠≠，

4,5,3BC CD PA ===，该球的表面积为（ ）

A ．100π

B ．50π

C ．80π

D 例4.棱长为a 的正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内， ||AB α，

E ，

F 在平面α上的射影，则由A ，B ，E,C,F,D 为 顶点的几何体的体积为

例5.正四面体ABCD 的四个顶点在半径为R 是的球上，求AB 的长。

例6.将边长分别为2,2,2a b c 的锐角三角形的各边中点连接起来，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图。求这个四面体的体积。

例7.证明，如果四面体相对棱间的距离分别为123,,h h h ，则四面体的体积1231

3

V h h h ≥。

练1.已知四面体ABCD 的一组对棱,AB CD 的中点分别为M 、N 。求MN 与BC 所成角大小。

练2.四面体S ABC -中，有三组对棱分别相等且依次为体积。

练3.四面体ABCD 中，AC BC ⊥,AD BD ⊥.证明：直线AC 与BD 夹角的余弦值小于CD

AB

例8.下列四组数中，有一组不可能是某一四面体的四条高,这组数是 （）

A ．1,

222 B ．4,,

333

C 222

D ．2,555

例9.在直角四面体V ABC -中，090AVB BVC CVA ∠=∠=∠=,记VAB ∆、VBC ∆、VCA ∆、

ABC ∆的面积分别为123,,,S S S S 。求证：222

212

3S S S S =++ （09清华）四面体ABCD 中，AB CD =,,AC BD AD BC ==. (1) 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；

(2) 设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为,,αβγ，求证： cos cos cos 1αβγ++=。

（10武大）有4条边长为2的线段和两条边长为a 的线段，用这六条线段作棱，构成一个三棱锥，问a 为何值时，构成的三棱锥体积最大？

（10同济）如图四面体ABCD 中，AB CD 和为对棱，设,,,AB a CD b AB CD ==夹角为为α，距离为d 。

（1） 若2π

α=，且棱AB BCD ⊥平面，求四面体的体积；

（2） 当2

π

α=

，证明:四面体的体积为定值；

（3） 求四面体的体积。

（09华南理工）已知,,,A B C D 是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===2BD AC ==,BC AD ⊥,则此球的表面积等于 。

（09复旦）半径为R 的球内部装4个半径相同的球，则小球半径r 可能的最大值是 。

例 1.在四面体ABCD 中，,,,,,AB m CD n AD p BC q AC u BD v ======。若AB 与CD 所

成夹角α，则2222

cos |

|2p q u v mn

α+--= 例 2.若四面体的六条棱长分别为,,,,,a b c d e f ，体积为V ，则有

333333a b c d e f +++++≥。

例3.空间四平面互相平行，相邻两面间间距都是h 。今有一正四面体，它的四个顶点分别在这四个面上。求正四面体的棱长。

例4.四面体ABCD 中，若,AB CD AC BD ⊥⊥,求证：AD BC ⊥。

例5.求证四面体的三对对棱中点连线必交于一点，且互相平分。

例6.立方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点。求出立方体的表面积与四面体表面积之比。

例7.（99联赛）已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H

是SBC ∆的垂心，二面角H AB C --的面角为030，SA =。求三棱锥S ABC -的体积。

例8.证明任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边。

例9.若一个四面体恰有一棱之长大于1，求证四面体的体积18

V ≤

（０７武大）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为４，侧棱1CC 长为３，又Ｅ为1CC 上的点，且1CE =。

（１） 求：1B D 与BDE 平面所成角的正弦值； （２） 求四面体1A BED -的体积。

（０７武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F M 分别为棱111,,AB BB A D 中点。

（３） 求证：CM DEF ⊥平面； （４） 求点Ｍ到平面DEF 的距离。

（０７武大）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F P 分别为棱111,,AA CD B C 中点。 （１）求证： BE PF ⊥；

（２）求四面体B PEF -的体积。

（０８武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ为棱AB 中点。 （５） 求二面角1B EC B --的正切值； （６） 求四面体11E B D C -的体积。

（０８武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ为棱AB 中点。 （７） 求证：四面体11A AC E -与四面体11C AC E -的体积相等； （８） 求点A 到平面11AC E 的距离。

（０８浙大）有一圆锥正放，它的高为h ，圆锥内水面高为1h ，123

h h =，现将圆锥导致，求倒置的水面高度2h 。

（１０五校）（１）一个正三棱锥的体积为

3

，求它表面积的最小值

（09华南理工）如图，在正三棱锥P ABC -2，E 为BC 的中点，EF PC ⊥于F 。

（1） 求证：EF 是异面直线PA 与BC 的公垂线； （2） 求异面直线PA 与BC 的距离； （3） 求点Ｂ到面APC 的距离。