倒易格子与电子衍射

• 在3D空间考 虑，该点的可 能轨迹构成一 个以倒易原点 的中心的球体
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• 点1的轨迹球与倒易球的交点分布在一个圆周上， 因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上。
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极限球内的 任意点，皆 可与倒易点1 一样产生衍 射圆锥，因 此，最终形 成的衍射分 布为一系列 的同轴圆锥。
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立方晶系 c c*
b a a=b=c a*
b*
|a*| = |b*| = |c*| =1/a
α=β=γ=90°
α*=β*=γ*=90°
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四方晶系
c
c*
b* a a=b≠c b a*
|a*|=|b*|=1/a; |c*|=1/c
α=β=γ=90°
α*=β*=γ*=90°
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• 斜方晶系： • a*，b*，c*分别与a，b，c重合，但长度互为倒数 关系。
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图中O为倒易格子 原点，以1/λ为半 径作圆(球)—此即 倒易球，D为圆心， AO为入射X射线 方向，P为倒易格子 中的一个倒易点， 则衍射方向为DP。
• 即：与倒易球相交的倒易点，满足衍 射方程，可以产生衍射。衍射的方向 为倒易球中心到倒易点的连线延长线。
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• 证明： • ∠APO=90°，即AP与倒易矢 量OP垂直，即与该倒易点代表 的面网的方向平行，OP为倒易 格子矢量，则|OP|=1/dhkl, • 则sinθ = OP/AO • =(1/dhkl)/(2/λ) • = λ/2 dhkl • 即λ=2dhklsinθ
结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向 为倒易中心和倒易点的连线方向。也只有落在倒 易球球面上的倒易点，才可以产生衍射。
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倒易格子、 倒易球与衍 射方向
• 图中，O为倒易格子原点，C为按半径=1/λ所画出 的倒易球的中心，倒易格子结点与倒易球相交， 对应的倒易向量分别为OP， • 入射线方向：CO • 衍射线方向：CP
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19
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笔者编写的一个简单程序：根据已知晶系和晶胞 参数计算面网间距及面网夹角、晶带轴等。
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5.晶带定律
• 图中，面网(100) (010) (110) (1-10) (120)(120)均平行于[001]晶向， 这些面网构成以[001] 为晶带轴的晶带。 • 这些面网的法线方向 皆与[001]晶带方向垂 直。 某斜方晶系的 [001]晶 带及该晶带的面网
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• 单斜晶系倒易格子平面举例
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• 放置上倒易球和极限球后可以发现，极限 球内的倒易点皆有可能产生衍射效果，观 察图中的H*点，处在极限球内，但与倒易 球不相交。
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• 假定入射线方向不 变，则倒易球的位 置不改变。但晶体 的取向可以改变， 从而带动倒易格子 转动(倒易原点不 变)，则总可以使 得H*倒易点与倒易 球面相交从而产生 衍射效果。 • 同样道理，晶体采 取其它不同取向方 式后，总可以使得 极限球内的所有倒 易点皆有机会与倒 易球相交，从而产 生衍射效果。
O
倒易格子点P与Ewald球相交， 即点P正好处于球面上， OP=Hhkl
|Hhkl|=1/dhkl
Hhkl⊥面网(hkl)
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P
D
O
则在DP方向产生衍射。 证明： |DP|=1/λ , |OP|=1/dhkl 虚线方向与OP垂直，即为面网 (hkl)的方向。
sin
1 / 2d hkl 即得 2d hkl sin 1/ 2d hkl
a
a*
H110
扩展到倒易格子的任意结点，亦满足以上条件
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• 某斜方晶系的空间格子 (正空间) • 每个结点是晶体结构中的一个相当点。
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• 倒易格子 (倒空间) • 每个结点对应晶体结构中的一组面网。 • 倒易格子中，原点到每个结点的距离对应正格子中 的一组面网，倒易向量的长度等于面网间距的倒数， 倒易向量与正格子中的面网垂直。
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• 4. 利用倒易点阵表示面网间距及面网夹角
• （1）面网间距及面网夹角 根据 Hhkl=1/dhkl=ha*+kb*+lc* 两边取平方得： |Hhkl|2 = |1/dhkl|2 = h2a*2+k2b*2+l2c*2 +2hka*b*cosγ*+2klb*c*cosα*+2lhc*a*cosβ* 例如对于斜方晶系： H2= h2a*2+k2b*2+l2c*2 = h2/a2+k2/b2+l2/c2
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• 同一晶带的面网的倒易点 分布在一个倒易平面上。 • 满足hu+kv+lw=0
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• 当 r ·g =0 时，同一晶带的所有倒易点分布在一 个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原点， 称之为[uvw]晶带的0层倒易面，记为(uvw)*0。
• 当 r ·g ＝ N时，(为广义晶带定律), 倒易矢量g与 r不垂直。这时g的端点落在非零层倒易平面上， 记为(uvw)*N 。
1. 倒易点阵的定义 对一点阵，用矢量(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。 空间格子 引入三个新基矢(a*,b*,c*)，记为S*=S(a*,b*,c*)。 倒易格子 二者之间的关系： a*•a=1 b*•a=0 c*•a=0 a*•b=0 a*•c=0 b*•b=1 b*•c=0 c*•b=0 c*•c=1
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• 0层倒易 平面与非 零层倒易 平面
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• （3）求晶带轴
• 属于晶带[uvw]的任意两个不是互相平行的平面 (h1k1l1)，( h2k2l2)即可决定一个晶带，根据晶带定 律有：
h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0
解该联立方程可得：
• 即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)
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• 3. 厄瓦尔德倒易球及 极限球 • 以倒易原点O为球心，
以2/λ为半径，作圆 （球），凡是落在该球 范围内的倒易点，则有 可能产生衍射，而落在 该球范围外的倒易点， 则不管晶体怎么取向， 也不可能与倒易球相交， 因此称之为极限球。
极限球内的倒易点，其倒易矢量长度< 2/λ，即 dhkl > λ/2，而极限球外的倒易点，dhkl < λ/2。
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2. 厄瓦尔德(Ewald)图解-倒易球
倒易格子中任意一个节 点可以用向量描述为： Hhkl=ha*+kb*+lc* 且Hhkl⊥面网(hkl) |Hhkl|=1/dhkl
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波长为λ 的入射光，照射的晶体上。
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1/λ
在入射光的方向，画半径为 1/λ 的圆(球)，此即Ewald球。
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P
• 依次类推可以求出该倒易平面的所有点。
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• 立方晶系 • (100)* 0
[100]
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• 实际上在推导倒易平面上的所有倒易点时， 只需要知道平行四边形的3个倒易点(含倒 易原点000)，即可按向量法则求出所有其 他点，见倒易格子与电子衍射一节。
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• 例2. 垂直于立方晶系[110]方向的倒易平面 • 由 hu+kv+lw=h+k=0，只要h和k量值相等，符号 相反，即属于该晶带，倒易距离最短和次短的面 有 (001) (1-10) (1-11)，计算得： • |H001|=1/a • |H1-10|=√2/a • |H1-11|=√3/a • H001∧H00-1=180° • H001∧H1-10 =90° • H001∧H1-11=54.75°
Hhkl=ha*+kb*+lc*
(1) Hhkl ⊥(hkl)
•
(2) |Hhkl| = 1/dhkl
即倒易向量Hhkl垂直于正点阵中的面网(hkl)，且倒易向量 的长度为面网间距的倒数。
•
正点阵中的每一组面网相当于倒易点阵中的一个倒易 点，该点的位置在面网的法线方向，该点距离倒易原点的 距离为面网间距的倒数。
9 倒易格子与电子衍射
2010.6
1
电子衍射照片
2
不同入射方向的C－ZrO2衍射斑点 (a)[111]; (b)[011]; (c) [001]; (d) [112]
3
一、倒易格子概念及性质 二、倒易球(Ewald)与衍射方向 三、倒易格子解释粉晶衍射
四、倒易格子与电子衍射
4
一、倒易格子概念及性质
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三、倒易格子解释粉晶衍射
• 图中，O为倒易 格子原点，蓝 线为入射线方 向。倒易球与 倒易点没有相 交，故不能产 生衍射。 • 观察1点和点2。
50
• 由于粉末样品随机取向，即各个晶体颗粒的倒易 格子是随机分布的，则点1和点2，必有部分颗粒 的取向正好使其与倒易球相交，从而产生衍射。
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• 每一个倒易点， 由于晶体取向 不同，该倒易 点的位置可在 图示的蓝色圆 周移动。
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Baidu Nhomakorabea方晶系(110)* 0
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[110]
• 立方晶系(110)* 0
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二、倒易球(Ewald)与衍射方向
衍射方程：(Bragg equation) λ =2 d sinθ
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• 1. 布拉格方程
• • • • • • • 正格子中的面网，等 间距排列，当X射线 照射时，可采用“反射” 的方式发生衍射， 光程差 = nλ= DB＋BF ＝ dhklsinθ + dhklsinθ = 2dhklsinθ 即有：nλ＝2 dhklsinθ 式中的n为反射级次，可以采用虚拟面网的方式消去n，实 际采用的布拉格方程式为 • λ＝2 dhklsinθ
b*
b
(110)
a
d110
1 1 1 2 2 a b
2 2
1 1 | H110 | | a* | | b* | 2 2 a b
H110 ∴ |H110| = 1/ d110
a*
14
b*
b
(110)
1
2
tg(2) = |a|/|b| = a/b tg(1) = b*/a* = (1/b)/(1/a) = a/b ∴ ∠1 = ∠2 故：H110 ⊥(110) 。
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• 则由面网夹角计算公式：
cos
h
h 1 h 2 k 1 k 2 l1 l 2
2
1
k1 l1 h2 k 2 l 2
2
2

2
2
2

可得: |H001|=1/a |H010|=1/a |H011|=√2/a H010∧H001=90° H010∧H011=45°
29
9
• 六方晶系时，α=β=90°，γ=120° • 则：α*=β*=90°，γ*=60°
10
倒易格子中点的坐标
(001) (100) (010)
c*
(111)
a*
(-1-1-1)
b*
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• 3. 倒易点阵的性质： • 倒易点阵中任意一个向量Hhkl (倒易点阵的原点指向倒
易点的向量)：
• • 有： •
12
倒易格子中用向量描述点的坐标
111
H111=a*+b*+c* |H111|=1/d111 H111 ⊥(111)
110
H110=a*+b* |H110|=1/d110 H110 ⊥(110)
11-1
H11-1=a*+b*-c* |H11-1|=1/d11-1 H11-1 ⊥(11-1)
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证明 Hhkl ⊥ (hkl) 并且 |Hhkl| = 1/dhkl 以斜方晶系的(110) 面网，倒易格子点H110为例
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• （4）已知晶带轴，求0层倒易面举例 • 例1. 求立方晶系（100）*0。 把[100]代入晶带定律公式hu+kv+lw=h=0， 得：该晶带的面网，其面网指数中h必等于零，其 中倒易距离最短(面网间距最大)的有： (010), (001)，(011)等 • 设O点为倒易格子原点，A点为倒易点(010)， OA=1/a
则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
5
2. 正倒格子的关系： a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V 其中V= a • (b×c) 正格子的体积
倒易向量的方向： a* ⊥ bc平面
b* ⊥ ca平面
c* ⊥ ab平面
倒易向量的长度(当晶体的α=β=γ=90°时) |a*| = 1/a |b*| = 1/b |c*| = 1/c (当晶体的α、β、γ为任意角度时) |a*| = bcsinα/V |b*| = casinβ/V |c*| = absinγ/V
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• 设晶带方向[uvw]
ruvw=ua+vb+wc
• 晶面(hkl)的法线方向即倒易矢量方向，记为， ghkl=ha*+kb*+lc* • 若晶面(hkl)属于[uvw]晶带，则有 r ∙ g = 0，即: r ∙ g = (ua+vb+wc)(ha*+kb*+lc*) = 0
• 所以： hu+kv+lw=0 • 此即晶带定律。