专题三 数列的通项与求和(原卷版)

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专题三 数列的通项与求和
数列的通项
【背一背基础知识】
1.数列的通项公式:若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来,记作()n a f n =,称作该数列的通项公式.
2.等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-.
3.等比数列的通项公式:11n n m n m a a q a q --==
4.等差数列性质:
若n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和,则 ①()n m a a n m d =+-;
②若*
,,,m n p q N m n p q ∈+=+且,则m n p q a a a a +=+;
③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列;
5.等比数列性质:
若n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和,则
①n m
n m a a q -=;
②若*
,,,m n p q N m n p q ∈+=+且,则m n p q a a a a =
③232,,,
n n n n n S S S S S --仍是等差数列(其中1q ≠-或n 不是偶数);
【讲一讲基本技能】
1.必备技能:
(1)等差数列的判定:①定义法;②等差中项法;③通项公式法;④前n 项和公式法;作解答题时只能用前两种方法
(2)等比数列的判定:①定义法;②等比中项法;③通项公式法;④前n 项和公式法;作解答题时只能用前两种方法 (3)数列通项公式求法:
①观察法:对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题,常用观察法,通过观察数列前几项特征,找出各项共同构成的规律,横向看各项的关系结构,纵向看各项与项数n 的关系时,分解所给数列的前几项,观察这几项的分解式中,哪些部分是变化的,哪些部分是不变化的,变化部分与序号的关系,归纳出n a 的通项公式,再用数学归纳法证明.
②累加法:对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题,化为1()n n a a f n +-=,
通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+
=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+
++,求出数列的通项公式,注意相加等式的个数
③累积法:对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题,化为
1
()n n
a f n a +=,通过累积得n a =
1
2
112
1
n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯
⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯,求出数列的通项
公式,注意相乘等式的个数
④构造法:对于化为1()n n a pa f n +=+(其中p 是常数)型,常用待定系数法将其化为
1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+,由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列,
由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式,再求出n a 的通项公式. ⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项
对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =),利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 进行求
解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2,求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况,当1a =1S 适合n a =1n n S S --时,n a =1n n S S --;当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时,用分段函数表示. 2.典型例题 例1设数列的前项和为,数列的前项和为,满足
.
(Ⅰ)求的值; (Ⅰ)求数列
的通项公式.
例2【2017课标1,文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6.
(1)求
{}n a 的通项公式;
(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.
例3已知各项都为正数的数列满足,.
(I )求

(II )求
的通项公式.
{}n a 11a =2
11(21)20n n n n a a a a ++---=23
,a a {}n a
【练一练趁热打铁】
1.已知数列{}n a 满足: 11a =, ()
*122n n a a n n N +=+-∈. (Ⅰ)求证:数列{}1n a n +-是等比数列; (Ⅰ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 2. 【2017课标II ,文17】已知等差数列{}
n a 的前n 项和为
n
S ,等比数列
{}
n b 的前n 项和

n
T ,
11221,1,2
a b a b =-=+=
(1)若
335a b += ,求
{}
n b 的通项公式;
(2)若321
T =,求
3
S .
数列的求和
【背一背基础知识】
1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =++
+.
2.等差数列{}n a 的前n 和公式:11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=+
=
. 3.等比差数列{}n a 的前n 和公式:1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q
q ==⎧⎧⎪⎪
==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩

【讲一讲基本技能】
1.必备技能:
(1)分组转化法:有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.
(2)错位相减法:这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)倒序相加法:这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.
(4)裂项相消法:利用通项变形,将通项分裂成两项或n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,
最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于求通项为1
anan +1的数列的前n 项和,其中{an}
若为等差数列,则1anan +1=1d ⎝⎛⎭⎫1
an -1an +1.
常见的拆项公式:
①1n n +1=1n -1
n +1

②1n n +k =1k (1n -1n +k ); ③1
2n -12n +1=12(12n -1-1
2n +1
);

1
n +n +k
=1
k (n +k -n).
2.典型例题
例1【2017江苏,9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763
44
S S ==,,
则8a = .
例2【2017课标3,文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ⎧⎫

⎬+⎩⎭
的前n 项和.
例3已知{an}是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【练一练趁热打铁】
1. 【2017北京,文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(Ⅰ)求
{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)求和:
13521
n b b b b -+++
+.
2.已知在数列{}n a 中,n n a n n
a 2
1+=+,且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式;
(2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S
3. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设2(1)n n n
a b a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .
解答题(12*5=60分)
1.【2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟】各项均为正数的等比数列的前项和为.
已知

.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅰ)设数列满足,求数列的前项和.
2.在数列
中,

.
(1)证明是等差数列;
(2)求数列的前项和.
3.设正项等比数列{}n a , 481a =,且23,a a 的等差中项为()123
2
a a +. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若321log n n b a -=,数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141
n n c S =-, n T 为数
列{}n c 的前n 项和,求n T . 4.已知正项数列满足:
,其中为数列
的前项和.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
5.【2018年江西省抚州市高三八校联考】在等差数列中,

,为等比数

的前项和,且



成等差数列.
(1)求数列,
的通项公式;(2)设
,求数列
的前项和.。

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