专题三 数列的通项与求和(原卷版)

专题三 数列的通项与求和
数列的通项
【背一背基础知识】
1.数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.
2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．
3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==
4.等差数列性质：
若n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，则 ①()n m a a n m d =+-；
②若*
,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；
③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；
5.等比数列性质：
若n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，则
①n m
n m a a q -=；
②若*
,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a =
③232,,,
n n n n n S S S S S --仍是等差数列（其中1q ≠-或n 不是偶数）；
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
（1）等差数列的判定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法
（2）等比数列的判定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法 （3）数列通项公式求法：
①观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.
②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，
通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+
=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+
++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数
③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为
1
()n n
a f n a +=，通过累积得n a =
1
2
112
1
n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯
⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项
公式，注意相乘等式的个数
④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为
1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，
由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式. ⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项
对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 进行求
解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示. 2.典型例题 例1设数列的前项和为，数列的前项和为，满足
.
(Ⅰ)求的值； (Ⅰ)求数列
的通项公式.
例2【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．
（1）求
{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n+1，S n ，S n+2是否成等差数列．
例3已知各项都为正数的数列满足，.
（I ）求
；
（II ）求
的通项公式.
{}n a 11a =2
11(21)20n n n n a a a a ++---=23
,a a {}n a
【练一练趁热打铁】
1.已知数列{}n a 满足： 11a =， ()
*122n n a a n n N +=+-∈. （Ⅰ）求证：数列{}1n a n +-是等比数列； （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 2. 【2017课标II ，文17】已知等差数列{}
n a 的前n 项和为
n
S ，等比数列
{}
n b 的前n 项和
为
n
T ，
11221,1,2
a b a b =-=+=
(1)若
335a b += ，求
{}
n b 的通项公式；
（2）若321
T =，求
3
S .
数列的求和
【背一背基础知识】
1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =++
+．
2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=+
=
． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q
q ==⎧⎧⎪⎪
==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩
，
【讲一讲基本技能】
1.必备技能：
(1)分组转化法:有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法:这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法:这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法:利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，
最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1
anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}
若为等差数列，则1anan ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1
an －1an ＋1.
常见的拆项公式：
①1n n ＋1＝1n －1
n ＋1
；
②1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )； ③1
2n －12n ＋1＝12(12n －1－1
2n ＋1
)；
④
1
n ＋n ＋k
＝1
k (n ＋k －n)．
2.典型例题
例1【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763
44
S S ==,,
则8a = .
例2【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和.
例3已知{an}是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【练一练趁热打铁】
1. 【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求和：
13521
n b b b b -+++
+．
2.已知在数列{}n a 中，n n a n n
a 2
1+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式；
(2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S
3. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2(1)n n n
a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解答题（12*5=60分）
1.【2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟】各项均为正数的等比数列的前项和为.
已知
，
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅰ）设数列满足，求数列的前项和.
2．在数列
中，
，
.
（1）证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
3.设正项等比数列{}n a ， 481a =，且23,a a 的等差中项为()123
2
a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141
n n c S =-， n T 为数
列{}n c 的前n 项和，求n T . 4.已知正项数列满足：
，其中为数列
的前项和.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5.【2018年江西省抚州市高三八校联考】在等差数列中，
，
，为等比数
列
的前项和，且
，
，
，
成等差数列.
（1）求数列，
的通项公式；（2）设
，求数列
的前项和.。