专题三 数列的通项与求和(原卷版)

专题三 数列的通项与求和

数列的通项

【背一背基础知识】

1.数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.

2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-．

3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==

4.等差数列性质：

若n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，则 ①()n m a a n m d =+-；

②若*

,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+；

③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；

5.等比数列性质：

若n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，则

①n m

n m a a q -=；

②若*

,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a =

③232,,,

n n n n n S S S S S --仍是等差数列（其中1q ≠-或n 不是偶数）；

【讲一讲基本技能】

1.必备技能：

（1）等差数列的判定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法

（2）等比数列的判定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法 （3）数列通项公式求法：

①观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.

②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，

通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+

=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+

++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数

③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为

1

()n n

a f n a +=，通过累积得n a =

1

2

112

1

n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯

⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项

公式，注意相乘等式的个数

④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为

1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，

由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式. ⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项

对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()

1(11n S S n S a n n

n 进行求

解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示. 2.典型例题 例1设数列的前项和为，数列的前项和为，满足

.

(Ⅰ)求的值； (Ⅰ)求数列

的通项公式.

例2【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．

（1）求

{}n a 的通项公式；

（2）求S n ，并判断S n+1，S n ，S n+2是否成等差数列．

例3已知各项都为正数的数列满足，.

（I ）求

；

（II ）求

的通项公式.

{}n a 11a =2

11(21)20n n n n a a a a ++---=23

,a a {}n a

【练一练趁热打铁】

1.已知数列{}n a 满足： 11a =， ()

*122n n a a n n N +=+-∈. （Ⅰ）求证：数列{}1n a n +-是等比数列； （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 2. 【2017课标II ，文17】已知等差数列{}

n a 的前n 项和为

n

S ，等比数列

{}

n b 的前n 项和

为

n

T ，

11221,1,2

a b a b =-=+=

(1)若

335a b += ，求

{}

n b 的通项公式；

（2）若321

T =，求

3

S .

数列的求和

【背一背基础知识】

1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =++

+．

2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=+

=

． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q

q ==⎧⎧⎪⎪

==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩

，

【讲一讲基本技能】

1.必备技能：

(1)分组转化法:有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．

(2)错位相减法:这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．

(3)倒序相加法:这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．

(4)裂项相消法:利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，

最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1

anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}

若为等差数列，则1anan ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1

an －1an ＋1.

常见的拆项公式：

①1n n ＋1＝1n －1

n ＋1

；