第5章 刚体定轴转动分析
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（1）求角加速度a和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；
（2）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25 s时边缘上一点的速度 和加速度。
解 （1）设初角度为0，方向 如图所示，量值为
0=21500/60=50 rad/s，对 于匀变速转动，可以应用以角
量表示的运动方程，在t=50 s
i
mi (ri2 2h ri h2 )
i
miri2 2h miri mih2
i
i
i
J JC mh2
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a 0 50 rad/s2
t
50
3.14 rad/s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
0
0t
1 2
at 2
50
50
1 2
50 2
1250 rad
N 1250 ＝625转 2 2
（2）t=25 s 时飞轮的角速度
t2
150
由角速度定义变积分可得：
d
t
dt
t
t 2dt
0
0
0 150
t3
450
当t=300s，代入上式，得： 60000 rad 所以转子在5min中内转过的圈数为： n 30000 r
2
§5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算
刚体的角动量和转动惯量
角动量： Li riR pi ri pi riz pi
此角动量沿 Z
轴的分量为：
Liz ri pi
Liz
Liz ri pi mirivi miri2
pi
z
Li
ri
O
riR
轴向总角动量：
OR
Lz i Liz i miri2
注意：ri 为质元到转轴的垂直距离。
转动惯量 J miri2
i
特性：（1）与质量有关。 （2）与质量对轴的分布有关。 （3）与转轴的位置有关。
第五章 刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用 §5-5 角动量守恒 §5-6 转动中的功和能 §5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化； 理想模型； 特殊的质点系；
刚体运动的分类
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。 平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的 运动代替整个刚体的运动。
转动——刚体上所有的质元均绕同一直线做圆周运动。 该直线成为转轴。
一般运动——平动和转动的叠加。
刚体的定轴转动
刚体转动时，转轴固定。
特点:
任意质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
若α =常量，则刚体作匀变速转动。
刚体匀变速转动公式
设 : t 0, 0; 0; 且 常数
容易得到：
0 t
0
0t
1 t 2
2
2 02 2 ( 0 )
同匀变速直线运动公式。
角量与线量的关系
v r at r, an r 2
[例]利用皮带传动，用电动机拖动一个真空泵．电动机上装一半径为 0.1m 的轮子，真空泵上装一半径为0.29m的轮子，如图所示．如果电动机的转速 为 1450 r/min ， 则 真 空 泵 上 的 轮 子 的 边 缘 上 一 点 的 线 速 度 为 __________________，真空泵的转速为____________________．
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s2
an 2r 6.16 103 m / s2
边缘上该点的加速度 a a n a其t 中 a t的方向与 v的方 向相反， a的n 方向指向轮心， a的大小为
a at2 an2 (6.16 103 )2 3.142 m / s2 6.16 103 m / s2
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与 0相同 ；
（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由
v r 求得。所以
v v r sin r sin900 r 78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
一般情况下，各质元的线速度、加速度不同。
各质元运动的角位移、角速度、角加速度 z
相同。
转动平面
Ori
mi
rj
m j
描述刚体转动的角量
角位移
角速度 d
角加速度
dt
d
d 2
dt dt 2
对定轴转动，矢量可简化为标量：
如右图，ω、 α与Z 轴方向相同，其值为正，否则为负；
wenku.baidu.com
α与 ω方向相同，为加速转动，否则为减速转动。
解：两轮边缘的线速度是相同的，
v电 v泵
转速转化为线速
0.1m
0.29m
v电
电r电
2n电
60
r电
15.2m/s
n电 2r电
60
n泵 2r泵
60
n泵
n电 r电 r泵
1450 0.1 500rev/min 0.29
例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50 s后静止。
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
轴向总角动量
L J
转动惯量的计算
（1）质点系 J miri2
i
（2）质量连续分布 I r 2dm
m
线分布 dm dl ：线密度 面分布 dm dS ：面密度 体分布 dm dV ：体密度
计算转动惯量的几条规律
对同一轴可叠加
J Ji
a的方向几乎和 a n 相同
例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的 增大，经过5min后，转子以600πrad·s-1的角速度转动， 求转子在这段时间内转过的圈数。
解：根据题意，设角加速度为：
kt
由角加速度定义变积分后得：
t
t
0 d 0 dt 0 ktdt
1 kt2
2
当t=5min=300s时， = 600πrad·s-1，则： k 75
i
平行轴定理
J JC md 2
Jc J mC
质心
d
证 C 为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为
坐标原点，取 mi , ri h ri ' ri ' ri h
质
任
心 轴
意 轴
对通过A 点的转动惯量为
J miri '2 mi (ri ' ri ')
i
i
C
hA
ri
ri ' mi
mi (ri h) (ri h)
（2）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25 s时边缘上一点的速度 和加速度。
解 （1）设初角度为0，方向 如图所示，量值为
0=21500/60=50 rad/s，对 于匀变速转动，可以应用以角
量表示的运动方程，在t=50 s
i
mi (ri2 2h ri h2 )
i
miri2 2h miri mih2
i
i
i
J JC mh2
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a 0 50 rad/s2
t
50
3.14 rad/s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
0
0t
1 2
at 2
50
50
1 2
50 2
1250 rad
N 1250 ＝625转 2 2
（2）t=25 s 时飞轮的角速度
t2
150
由角速度定义变积分可得：
d
t
dt
t
t 2dt
0
0
0 150
t3
450
当t=300s，代入上式，得： 60000 rad 所以转子在5min中内转过的圈数为： n 30000 r
2
§5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算
刚体的角动量和转动惯量
角动量： Li riR pi ri pi riz pi
此角动量沿 Z
轴的分量为：
Liz ri pi
Liz
Liz ri pi mirivi miri2
pi
z
Li
ri
O
riR
轴向总角动量：
OR
Lz i Liz i miri2
注意：ri 为质元到转轴的垂直距离。
转动惯量 J miri2
i
特性：（1）与质量有关。 （2）与质量对轴的分布有关。 （3）与转轴的位置有关。
第五章 刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用 §5-5 角动量守恒 §5-6 转动中的功和能 §5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化； 理想模型； 特殊的质点系；
刚体运动的分类
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。 平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的 运动代替整个刚体的运动。
转动——刚体上所有的质元均绕同一直线做圆周运动。 该直线成为转轴。
一般运动——平动和转动的叠加。
刚体的定轴转动
刚体转动时，转轴固定。
特点:
任意质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
若α =常量，则刚体作匀变速转动。
刚体匀变速转动公式
设 : t 0, 0; 0; 且 常数
容易得到：
0 t
0
0t
1 t 2
2
2 02 2 ( 0 )
同匀变速直线运动公式。
角量与线量的关系
v r at r, an r 2
[例]利用皮带传动，用电动机拖动一个真空泵．电动机上装一半径为 0.1m 的轮子，真空泵上装一半径为0.29m的轮子，如图所示．如果电动机的转速 为 1450 r/min ， 则 真 空 泵 上 的 轮 子 的 边 缘 上 一 点 的 线 速 度 为 __________________，真空泵的转速为____________________．
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s2
an 2r 6.16 103 m / s2
边缘上该点的加速度 a a n a其t 中 a t的方向与 v的方 向相反， a的n 方向指向轮心， a的大小为
a at2 an2 (6.16 103 )2 3.142 m / s2 6.16 103 m / s2
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与 0相同 ；
（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由
v r 求得。所以
v v r sin r sin900 r 78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
一般情况下，各质元的线速度、加速度不同。
各质元运动的角位移、角速度、角加速度 z
相同。
转动平面
Ori
mi
rj
m j
描述刚体转动的角量
角位移
角速度 d
角加速度
dt
d
d 2
dt dt 2
对定轴转动，矢量可简化为标量：
如右图，ω、 α与Z 轴方向相同，其值为正，否则为负；
wenku.baidu.com
α与 ω方向相同，为加速转动，否则为减速转动。
解：两轮边缘的线速度是相同的，
v电 v泵
转速转化为线速
0.1m
0.29m
v电
电r电
2n电
60
r电
15.2m/s
n电 2r电
60
n泵 2r泵
60
n泵
n电 r电 r泵
1450 0.1 500rev/min 0.29
例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50 s后静止。
意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
轴向总角动量
L J
转动惯量的计算
（1）质点系 J miri2
i
（2）质量连续分布 I r 2dm
m
线分布 dm dl ：线密度 面分布 dm dS ：面密度 体分布 dm dV ：体密度
计算转动惯量的几条规律
对同一轴可叠加
J Ji
a的方向几乎和 a n 相同
例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的 增大，经过5min后，转子以600πrad·s-1的角速度转动， 求转子在这段时间内转过的圈数。
解：根据题意，设角加速度为：
kt
由角加速度定义变积分后得：
t
t
0 d 0 dt 0 ktdt
1 kt2
2
当t=5min=300s时， = 600πrad·s-1，则： k 75
i
平行轴定理
J JC md 2
Jc J mC
质心
d
证 C 为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为
坐标原点，取 mi , ri h ri ' ri ' ri h
质
任
心 轴
意 轴
对通过A 点的转动惯量为
J miri '2 mi (ri ' ri ')
i
i
C
hA
ri
ri ' mi
mi (ri h) (ri h)