数学物理方法课件9分离变量法

常数变易法
积分变换法
p2Hk
(p)
p
Tk (0) Tk(0)
ka2
l
Hk
(p)
Fk
(p)
Hk
Байду номын сангаас(p)
Fk
(p) pTk(0)Tk(0)
p2 ka2
l
Tk
(t)
Tk
(0)
coska
l
t
Tk(0)
l
ka
sin
ka
l
t
l
ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
即
Tk
(t)
Fk
coska
2. 特殊处理方法
§9.5 解非齐问题的杜哈美(Duhamel)原理 1. 杜哈美(Duhamel)原理
故 u(x,t)满足初(6始 ), 同 条时 件u易 (x,t)满 证足边(5界 ). 条 综上，定 . 理得证
2. 杜哈美(Duhamel)原理的应用
§9.6 拉普拉斯及泊松方程的边值问题 1. 拉普拉斯方程的边值问题
l
t
Gk
l sin ka t l ka l ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
u(x,t)
[Fk
k1
coska t
l
Gk
l sin ka t]sin ka l
k
l
x
l
k1 ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)sin
k
l
xd
2. 非齐定解问题的本征函数展开法
§9.4 非齐边界条件的处理 1. 一般处理方法
齐次
ii) 利用叠加原理对问题进行分解
iii) 利用分离变量法或本征函数展开法解
(0 0,
x (t
l, t 0)
0)
u
t0
( x ),
u t t 0 ( x ),
(0 x l)
.
例：用分离变量法求解
问题
u t a 2 u xx 0 , ( 0 x l , t 0 )
u
x0
0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
就是定解问题
sin
n l
x
例：拉普拉斯方程在圆
域上的第一边值问题
2u
x
2
2u y 2
0,
x2 y2 a2
u
x2 y2a2
(x, y)
（1） （ 2）
在极坐标下，定解问题
（1）（, 2）化为
2u
r
2
1 r
u r
1 r2
2u 2
0,
u r a ( )
r a （ 3） （ 4）
圆上的泊松积分公式
a. 分离变量 化偏微为常微
b. 解本征值问题 求偏微特解 对λ进行讨论 λ < 0, λ = 0, λ > 0
c. 作特解叠加，根据初始条件定系 数,得到定解问题的解.
3. 应用举例
i) 0
X ( x) C1e x C 2e x 代入边界条件得
C1
C2 0
C1e l C 2e l 0
C1 0, C2 0
u(x,t) 0
无意义
ii ) 0 X (x) C0 D0x
代入边界条件得
D0 0 X (x) C0
§9.2 齐定解问题的本征函数展开法 1. 定解问题的本征函数系
用分离变量法求解定解问题 齐方程 齐边界条件
得到的本征函数系，称为定解问题
齐方程 齐边界条件 初始条件 的本征函数系.
例：用分离变量法求解
问题
u tt a 2 u xx 0 , ( 0 x l , t 0 )
u
x0
0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
sin
n l
x
,
1
就是定解问题
的本征函数系
u u
tt x
0
a2
u 0
xx
,
0, u
xl
第九章 分离变量法
分离变量法，又称Fourier方法，主要思想在于 把求解偏微分方程的问题化为解一些常微分方程的 问题，在求得满足定解条件的一系列特解后，利用 叠加原理，将所有线性无关特解叠加起来，定出满 足定解条件的解.
§9.1 齐次方程的分离变量法
1. 两端固定均匀弦的自由振动
2. 分离变量法步骤
,
1
的本征函数系
u u
t
x
0
a2
u xx 0,
0, u
xl
(0 0,
x
l, (t
t 0)
0)
u
t0
( x ),
(0 x l)
.
例：用分离变量法求解
问题
u xx u yy 0 , ( 0 x a , 0 x b )
u
y0
0,
u 0, yb
(0 x a)
得到的本征函数系
sin
n b
y
,
1
就是定解问题
的本征函数系
u u
xx y
0
u yy 0,
0, u
yb
(0 0,
x
a, (0
0 x x a)
b)
u x 0 ( y ),
u ( y ), xa
(0 y b)
.
2. 本征函数展开法 步骤:
§9.3 解非齐定解问题的本征函数展开法 1. 弦振动非奇问题的解
2. 泊松方程的边值问题
小结
1. 一般的有界波动和输运方程
求解步骤: i) 边界条件齐次化 ii) 利用叠加原理对问题进行分解 iii) 对于齐次方程，利用分离变量法或本 征函数展开法求解 iv) 对于非齐次方程，利用本征函数展开 法或杜哈美原理求解
2. 稳定场问题
求解步骤: i) 找特解，非齐次