数值计算方法期末试题及答案

11分 12分 14分
0.4 { f (1.8) 4[ f ( 2.0) f ( 2.4)] 2 f ( 2.2) f ( 2.6)} 6 5.033002
2 1 4 A 4 4 1 6 5 12 ，求矩阵 A 的 Doolittle 分解。 四、已知矩阵
11分 12分 14分
u13 a13 4
2分
u11 a11 2
u12 a12 1
l 21
a21 2 a11
u22 a22 l 21 u12 2
u23 a23 l 21 u13 7
5分
a l21 31 3 a11
l32
a32 l31 u12 u22
x f (x)
1.8 3.12014
2.0 4.42569
2.2 6.04241
2.6
2.4 8.03014
2.6 10.46675
1. 用复化梯形公式计算积分
(
I
1.8
f ( x ) dx
的近似值；
n 4, h
解：1.用复化梯形公式计算 取
2 .6 1 .8 0 .2 4
x
1分
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn 0.1( xn yn ) 0.1 xn 0.9 yn
y 已知 0 1 , xn 0.1n , n 0,1,2,3,4
，则有：
3分
y1 0.1 x0 0.9 y0 0.9
y2 0.1 x1 0.9 y1 0.1 0.1 0.9 0.9 0.82
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u33 a33 l31 u13 l32 u23 7
8分
1

1 2 1 4 A LU 2 1 2 7 3 1 1 7
3
10 分
五、用 Newton 迭代法求解方程 x 3 x 1 0 在 2.0 附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位） 。 （12 分） 解：
解： 用紧凑格式法
（10 分）
S2
n 1 n 1 h ( f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b)) 2 6 k 0 k 1 0.4 { f (1.8) 4[ f (2.0) f (2.4)] 2 f (2.2) f (2.6)} 6 5.033002
T4
n 1 h ( f (a ) 2 f ( x k ) f (b )) 2 k 1 3 0.2 ( f (1.8) 2 f (1.8 0.2k ) f ( 2.6)) 2 k 1
4分 5分 7分
5.058337
1.8 2. 用复化 Simpson 公式计算积分 (要求计算结果保留到小数点后六位).
f ( x) x 3 3 x 1 0 ， x 0 2.0
3 3 f ( xk ) xk 3 xk 1 2 xk 1 xk 1 xk xk 2 2 f ( xk ) 3 xk 3 3 xk 3
6分
x1
3 2 x0 1 2 3 x0
3
1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:
A 是对角元素为正的实对称阵,下面判别 A 和 2D A 是否同时正定:
1 0, 1 0.4 0.4 1 1 0.16 0 , 1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.296 0 0.4 0.8 1
6 5 3
0 1 2 6
5. 对于试验方程 y y ，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）
A. 2 h 0 ； C. 2 h 0 ； 二、填空题（每空 3 分，共 18 分） B. D.
2.785 h 0 ；
2.785 h 0 ；

2 23 1 3 2 3
2

17 1.8889 9
3 2 x2 1 2 3 x2 3
8分
x2
3 2 x1 1 2 3 x1 3
1.8794
，
x3
1.8794
11 分 12 分 （12 分）
故，方程的近似根为 1.8974 六、对下面线性方程组
x1 0.4 x2 0.4 x3 1 0.4 x1 x2 0.8 x3 2 0.4 x 0.8 x x 3 1 2 3
y3 0.1 x2 0.9 y2 0.1 0.2 0.9 0.82 0.758
5分
y4 0.1 x3 0.9 y3 0.1 0.3 0.9 0.758 0.7122
解：2.建立具体的改进的 Euler 公式:
7分
y p yn hf ( xn , yn ) 0.1 xn 0.9 yn yc yn hf ( xn 1 , y p ) 0.09 xn 0.91 yn 0.01 y 1 n 1 2 ( y p yc ) 0.095 xn 0.905 yn 0.005
湖南科技大学考试试题 (2008 -200 9 学年第二学期) 计算方法 课程 信息、能源 院（系）
07 级 通信工程 1—3，电气工程 1-4，电子工程 1—2，建筑环境 1—2，自动化 1—2 班级 考试时量 100 分钟 交题时间：2009 年 4 月 22 日 命题教师 唐运梅 考试时间：2009 年 5 月 17 日
14 分 12 分
有根祝大家： 好好学 学习 天天给 给力
y 已知 0 1, xn 0.1n , n 0,1,2,3,4
则有：
10 分
y1 0.095 x0 0.905 y0 0.005 0.91
y2 0.095 x1 0.905 y1 0.005 0.095 0.1 0.905 0.91 0.005 0.83805
12 分
y' x y , 0 x 0.4 y ( 0) 1 七、已知初值问题： ，取步长 h =0.1，
1. 用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解； 2. 用改进的 Euler 方法求上述初值问题的数值解。 解：1 .建立具体的 Euler 公式:
（14 分）
5分

A 正定
0.4 0.4 1 2 D A 0.4 1 0.8 0.4 0.8 1
1 0, 1 0.4 0.4 1 1 0.16 0 , 1 0.4 0.4 0.4 1 0.8 0.216 0 0.4 0.8 1
y3 0.095 x2 0.905 y2 0.005 0.095 0.2 0.905 0.83805 0.005 0.78243525
y4 0.095 x3 0.905 y3 0.005 0.095 0.3 0.905 0.78243525 0.005 0.7416039
I
2.6
f ( x ) dx
的近似值。 （14 分）
n 2, h
解：用复化辛甫生公式计算 取
2 .6 1 .8 0.4 2
8分
n 1 n 1 h S 2 ( f (a ) 4 f ( x k 1 ) 2 f ( x k ) f (b)) 2 6 k 0 k 1
8分 9分 10 分

2 D A 不正定.即 A 和 2D A 不同时正定
故,Jacobi 法发散.
2. 高斯-塞德尔法:由 1 知,
A 是实对称正定矩阵,所以 Gauss-Seidel 法收敛.
其迭代格式为
x ( k 1 ) 1 0 .4 x ( k ) 0 .4 x ( k ) 2 3 1 ( k 1) ( k 1) (k ) 2 0.4 x1 0 .8 x3 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x 3 0.4 x1 0. 8 x 2 3
一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若 f ( x) 2 x 3 x x 1 ，则其六阶差商 f [3 ,3 ,3 ,,3 ] （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的 Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
1 2 x (1,2), A 3 4 ，则 x 1. 已知
2
5 Ax 1 ，
16
，
A2
15 221
2. 已知 f (4) 2, f (9) 3 ，则 f (x)的线性插值多项式为 L1 ( x ) 0.2( x 6) ,且用线性插值可得 f (7)= 2.6 。 3. 要使 20 的近似值的相对误差界小于 0.1%，应至少取 三、利用下面数据表， 4 位有效数字。