数列总复习教案

数列总复习

等差数列与等比数列的性质综合应用

主备人：田娥

教学目标： 1、知识与技能：

（1）理解掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，并会判断一个数列

{}n a 是否是等差数列、等比数列.

（2）理解掌握等差数列与等比数列的重要性质：如连续)(*N k k ∈项的和，角标性质（或下标和性质）等的应用. 2、过程与方法：

利用导学案，通过学生的自主学习，自我检测，独立完成相应的知识，并提升学生解决问题的能力，以及将实际问题转化为数学问题的能力. 3、情感态度与价值观：

培养学生分析问题、解决问题能力，转化思想. 教学重难点：

（1）判断数列是等差数列与等比数列的方法； （2）等差数列与等比数列性质的综合应用. 教学方法：“三学一教”四步教学法 教具准备：多媒体 导学案 教学课时：1课时 教学过程： 一、明标自学： 1、学习目标展示：

（1）通过对等差数列与等比数列的学习，理解掌握其定义，通项公式，前n 项和公式，注意其形式特点，并判断一个数列是否是等差数列或等比数列；

（2）理解掌握等差数列与等比数列的重要性质：如连续)(*

N k k ∈项的和，角标性质（或下标和性质）等的应用. 2、自学指导：

（1）等差数列的定义？等差数列的通项公式是什？求通项公式的方法是？ （2）等差数列前n 项和公式是什么？求前n 项和公式的方法是？有哪些变形公式？ （3）等差数列的通项公式与前n 项和公式分别与哪个函数有联系？用函数的观点可以研究

等差数列的哪些问题？

（4）等比数列的定义？等比数列的通项公式是什么，求通项公式的方法是？

（5）等比数列前n 项和公式是什么？求前n 项和公式的方法是？有哪些变形公式？ （6）等比数列通项公式与哪个函数有联系？用函数的观点可以研究等比数列的哪些问题？ 二、合作释疑： 1、等差数列：

（1）定义：),2()(*1*1N n n d a a N n d a a n n n n ∈≥=-∈=--+或

（2）通项公式：1(1)n a a n d =+-)(1d a dn -+=q pn +=d m n a m )(-+=

（3）前n 项和n S ：2)(1n n a a n S +=d n n na 2)1(1-+=n d

a n d )2

(212-+=Bn An +=2 （4）重要性质：

等差数列{}n a 中，若q p n m +=+),,,(*N q p n m ∈，则q p n m a a a a +=+，特别地，

若p n m 2=+，则p n m a a a 2=+（下标和性质）.

数列{}n a 中，),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=+-⇔{}n a 是等差数列.

若b A a ,,成等差数列，则称A 为b a 与的等差中项，且b a A +=2，A 只有一个. 等差数列{}n a 中，公差为d ，则任意的*

N k ∈， ,,,232k k k k k S S S S S --构成等差

数列，公差为d k 2

.

若等差数列{}{}n n b a ,，其前n 项和分别为n n T S ,，则

1

21

2--=n n n n T S b a . 若等差数列{}n a 有n 2项，公差为d ，则nd S S =-奇偶. 若等差数列{}n a 有12+n 项，则1

+=

n n S S 奇

偶. 2、等比数列： （1）定义：

)0)(,2()(*1

*1≠∈≥=∈=-+q N n n q a a

N n q a a n n n n 或 （2）通项公式：11-=n n q a a )0,(≠==-q a aq q a n m n m

（3）前n 项和n S ：⎪⎩⎪

⎨⎧=≠-=--=--=1,1

,11)1(1

11q na q A Aq q

q

a a q q a S n n n n

（4）重要性质：

等比数列{}n a 中，若q p n m +=+),,,(*

N q p n m ∈，则q p n m a a a a =，特别地，若

p n m 2=+，则2

p n m a a a =（下标和性质）

数列{}n a 中，*

,0N n a n ∈≠，),2(*112

N n n a a a n n n ∈≥=+-⇔{}n a 是等比数列.

若b A a ,,成等比数列，则称A 为b a 与的等比中项，且)0(2>=ab ab A ，A 有两个，

互为相反数.

等比数列{}n a 中，公比为q ，0≠n S ，则任意的*

N k ∈，

,,,232k k k k k S S S S S --构成等比数列，公比为k

q .

若等比数列{}n a 有n 2项，公比为q ，则q S S =奇

偶

三、点拨拓展：

例1、在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且731,,a a a 成等比数列，求4

23

1a a a a ++的值.

解：由已知条件，得712

3a a a =，则)6()2(112

1d a a d a +=+， 整理得d a 21=，则

4

3

2222232324231=++===++d d d d a a a a a a a a

点评：本题中使用了等比数列的性质寻求了等差数列中项与公差的关系，可使所求表达式进行简化，进而求值，这里用了下标和性质，也可以不用。这是一个等差与等比综合应用题目. 拓展：设n n T S ,分别是等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和，已知

*,2

41

2N n n n T S n n ∈-+=， 则

=+++15

611

18310b b a b b a

例2、数列{}n a 的前n 项和12-=n n S ，求数列{}

2

n a 的前n 项和n T .

解：12-=n n S ，12-=∴n n a {}n a ∴是等比数列，1,21==∴a q ， ∴{}

2

n a 是等比数列，首项为,12

1=a 公比为,42

=q )14(3

141412

2

12

32

22

1-=--=+++++=∴-n

n n n n a a a a a T

点拨：等比数列的判定方法的使用

拓展：设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足)(23*N n a S n n ∈+=，求数列{}n a 的通项公式.

例3、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，)1(12,111≥+==+n S a a n n （1）求{}n a 的通项公式；

（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且153=T ，又332211,,b a b a b a +++成 等比数列，求n T .