初等数论函数[x]和{x}

m
{x} r , 0 1 m
[ x] x 即有 [ m ] [ m ]
n!的标准分解
定理：设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数， 则有
n p(n!)= [ p i ] i 1

先来看一个例子 例:15!中2的个数为11个.
15 15 15 [ ] [ ] [ ] 11 2 4 8
§5、函数[x]和{x}
定义1：设x是实数，用[x]表示不超过[x]的最 大整数，称它为x的整数部分。 又称{x}=x-[x]为x的小数部分。 例[2.4]=2，{-2.4}=0.6,[-2.4]=-3 性质：1、由定义有恒等式x=[x]+{x} 2、 [x] ≤ x<[x]+1 ,由定义不超过和最大即得 3、[x]+[y]≤ [x+y],{x}+{y} ≥ {x+y}， 例[2.5]+[2.6] ≤ [5.1]
n [ ] p,2p,… p p, 其为 [ ] p
[
n ] p2
p
n ([ 2 ])! p
n 再在1,2,3,… [ 2 ] 中作同样讨论，依次类推有 p
n p(n!)= [ i ] i 1 p

推论1：n为正整数，则有 n!
p
pn

i 1

[
n p
i
]
推论2：n为正整数，1 k n-1,则有 n! k Cn N k!(n k )! 证：对任意p, n!, k!, (n-k)!的标准分解中p的 指数分别为 n k n k 由性质
,从而证明了结论.
注： 要证明a|b，只要证明对任意素数p，a中 p的幂指数不超过b中p的幂指数即可，用p(a) 表示a中p的幂指数，则a|b 的充要条件是 p(a) ≤p(b)
例3 : 设c不能被素数平方整除，若a2|b2c，则 a|b
证：由已知p(c)≤1，且p(a2)≤p(b2c) ∴ 2p(a)≤2p(b)+p(c) ∴ p(a)≤p(b)+ 即 p (a ) ≤ p ( b ) ∴ a|b
k!i!
f ( k ) ( x) k! n
例1： 求2005!末尾零的个数。
解：因为10=2×5，而2比5多，
所以只要考虑2005！中5的幂指数，即
5（2005！）=
2005 2005 2005 2005 2005 [ ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 500 5 5 5 5 5
1 p (c ) 2
例4：设p为素数，则有p| C 于等于p-1的整 数
k p
k p
,其中k为小
p! p( p 1)! 证：由性质知 C k!( p k )! k!( p k )! N
k 有 p | C p k!( p k )! p( p 1)! C k!( p k )!

[ p ], [ p ], [
i 1 i i 1 i i 1
p
i
],
即有k!(n-k)!|n! , 从而证明了结论。
n k nk [ i ] [ i ] [ i ], p i 1 p i 1 p i 1
推论3：n为正整数，设f(x)是一个n次的整系 f ( k ) ( x) (k ) 数多项式, f ( x) 是它的k阶导数，则 k! 是一个n-k次整系数多项式。 证：显然 是n-k次整系数多项式， (k ) f ( x) 中 x i 的 设 f ( x) an x a1x a0 ,则 k! 系数为 bi ak i (k i)! 为整数，所以结论成立。
4、[x+m]=[x]+m, m为整数， 5、[-x]=
a a 6、a,b 为整数，b>0,则有 a b[ ] b{ } b b a a a 证： a b b([ ] b{ })
b b b
a a b[ ] b{ } b b
[ x] 1, x Z [ x], x Z
注意与带余除法的比较。
7、a,b 是正整数，则不大于a而为b 的倍数的 a 正整数恰有[ ]个。
b
证：能被b 整除的正整数为b,2b,3b,…设这些 整数的个数恰好为k个，则 kb a (k 1)b , 即 k a k 1 ， 所以 [ a ] k
b
b
例:1到1000的这1000个数是6的倍数的有多少 个.
例2：证明（n!）(n-1)!|(n!)! 证：对任意素数 p, 设（ n! ） (n-1)! 中素数 p 的指 n! [ k] 数为 ,（n!）!中p的指数β， k 1 p
n [ ,k ] 有 (n 1)! k 1 p


n(n 1)! n [ ] ( n 1 )! [ ] k k p k 1 k 1 p
1000 ] 166 个. 有[ 6
[ x] x 8、对正整数m,有 [ ] [ ] m m
证：由带余除法[x]=mq+r, 0 r m ,所以
[ x] r [ x] q ,[ ] q m m m
x [ x] {x} {x} r q m m m m
又
所以 [ x ] q
证：若p >n,则p †n!, 即p(n!)=0, 成立。
n p
n 若 p n ,则由性质知在1，2，…n中，p的倍数有 [ ] p 个， n [ ] n [ ] p, 其积为 p ([ ])! 为p,2p,… p p
n n 同理若 p [ ]，则 1，2，3,…,[ ] 中，p的倍数是 p p
k p
由已知(p,k!)=1, (p,(p-k)!)=1,
所以有(p, k!(p-k)!)=1,又有上式得即
k p | Cp k!( p k )!
p| C k p
, 从而证明了结论。