工程力学 压杆稳定
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压杆稳定
Dec 12, 2014
压杆稳定性的概念
2
压杆稳定性的概念
3
压杆稳定性的概念
塑性材料 轴向拉压杆的强度失效
σlim＝σs，过大塑性变形
脆性材料 σ lim ＝σb，断裂
相应的强度条件 FN lim
F
A
n
只适用于拉杆和“粗短”的压杆。
对于“细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。
临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。
cr
Pcr A
2 EI
l2 A
2E
l 2
i2
惯性半径 i I
A
临界应力：
cr
2E 2
关于柔度（长细比）：
柔度：
l
i
1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。
2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于。 大，稳定性差。
3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同， 则不同，计算临界
h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。
解： 1
l
b
I
Imin
1 150 503 12
y
1562500mm4
h
y
z
Pcr
2 200103 1562500
( 4000 )2
192570N
若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别
计算临界载荷取较小的值。
12
压杆分类欧拉公式适用范围
11.3.1临界应力与柔度的概念
由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不 会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：
cr 极限应力
塑性材料：s 脆性材料： b
17
临界应力总图
cr s P
cr s
即
a s
b
s
材料常数
因此，当 S ≤≤ P 时可以用直线公式。
对于A3钢（Q235） cr 304 1.12 σs＝235MPa。
s
a s
b
304 235 1.12
61.6
称 s ≤≤ P 的杆为中柔度杆。
16
压杆分类、临界应力总图
称<s的杆为小柔度杆（粗短杆）。
s
a
s
b
当< s， cr a b s
对于A3钢（Q235） E＝200GPa，σP＝200MPa。
2E 100
P
14
对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当 大于100
时才可用欧拉公式计算临界载荷。
压杆分类、临界应力总图
实际中的压杆，往往小于P。 当< P ， cr>P，欧拉 公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑
载荷（应力）时，取较大的值。
4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使
13
1l 2l
i1
i2
欧拉公式的适用范围大柔度杆（细长杆）
欧拉公式 所以：
y M EI
cr
2E 2
P
1M
EI 从而：
弹性范围： P E
2E P
P
由此可见： 当 大于P时才可用欧拉公式计算临界载荷。
称 大于P的压杆为细长杆或大柔度压杆。
直杆受压变弯的现象，称为失稳。
——压杆的一种失效形式。
4
压杆稳定性的概念
实际中，很多构件需要考虑稳定性
本章只讨论 直杆的稳定问题。
(a)
(a) (a)
(a)
(b)
(b) (b)
(b)
(c)
(d)
图((dd))11-1
图图
11-1 11-1
在工程实际中，(其d) 它构件图 也11-1需要考虑稳定(c)问题。
10
11.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷
推导方法： Pcr
仿分照方2 E两程I端推铰导细支 。、长细压长杆压的杆临的临界界载载荷荷公的式推。导方（法欧，拉利用公微式）
( l )2 为长度因数，l为相当长度。
杆端支 一端固定 承情况 一端自由
挠
Pcr
曲
线l
图
形
两端铰支
Pcr
l
一端铰支 一端固定
代入通解得 B＝0 0 Asinkl
EIy M( x ) Py
令
k2 P
EI
y k 2 y 0
9
A≠0 sinkl 0 kl n n 1,2,3........
y A sin n x
l
n2 2 EI
P l2
两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分
方程求临界载荷。
讨论：
压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。
8
细长压杆的临界载荷欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
利用挠曲线微分方程求临界载荷。
y
该微分方程的通解为
PA y
B P y A sin kx B cos kx
x
x
式中A、B为积分常数
P
P
y xM
M Py
杆的边界条件 x 0
xl
y0 y0
代入挠曲线近似微分方程
性稳定。临界应力常常采用经验公式：
cr a b
a、b为材料常数，单位MPa.
为实际压杆的柔度，仍由 l 计算。
i
对于Q235 cr 304 1.12
由 cr a b 知， 越小， ， cr越大。当小于某值时，
cr s 压杆的强度不允许。
15
压杆分类、临界应力总图
所以，直线公式当 cr a b s 成立。
当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变
化————失去稳定性。
(c) (c)
5
平衡的稳定性
小球原有的平衡 具有稳定性。 平衡是稳定的
6
小球原有的平衡不 具有稳定性。 平衡是不稳定的
随遇平衡
压杆稳定性的概念
压杆的稳定性： 指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。
（1）P<Pcr P
（2）P>Pcr PP
（3）P=Pcr Pcr
压杆原有的直线平 衡形式是稳定的。 压杆具有稳定性
7
压杆原有的直线平衡 形式不是稳定的。
压杆不具有稳定性
P>Pcr压杆失效
压杆的直线平衡形 式为过渡状态。
临界状态
Pcr临界载荷
由上述讨论得：
1、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压 杆失稳的最小力。
2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小 于临界载荷。
y PA y
x
l 2
n=2 n=3
C1
B
l 2
1、n=0，没有意义。
P x
2、n=2、3时，挠曲线如图。
中间没有支座，压杆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ会
弯成这种形状。
y A sin n x
l
P
n2 2 EI
l2
2EI
Pcr l 2
3、临界载荷是压杆失稳的最 小力。n只能等于1。
4、挠曲线方程
y
A sin
x
l
A为挠曲线中点的挠度。
Pcr
l
两端固定
Pcr
l
长度系数
2
1
0.7
0.5
11
1、Pcr∝EI
2、杆端约束越强，Pcr越大。
2EI Pcr ( l )2
细长压杆的临界载荷公式。
若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为
随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。
Px Pz y
z
例11-1 细长压杆，材料Q235，l=4m ,b=50mm,
Dec 12, 2014
压杆稳定性的概念
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压杆稳定性的概念
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压杆稳定性的概念
塑性材料 轴向拉压杆的强度失效
σlim＝σs，过大塑性变形
脆性材料 σ lim ＝σb，断裂
相应的强度条件 FN lim
F
A
n
只适用于拉杆和“粗短”的压杆。
对于“细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。
临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。
cr
Pcr A
2 EI
l2 A
2E
l 2
i2
惯性半径 i I
A
临界应力：
cr
2E 2
关于柔度（长细比）：
柔度：
l
i
1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。
2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于。 大，稳定性差。
3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同， 则不同，计算临界
h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。
解： 1
l
b
I
Imin
1 150 503 12
y
1562500mm4
h
y
z
Pcr
2 200103 1562500
( 4000 )2
192570N
若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别
计算临界载荷取较小的值。
12
压杆分类欧拉公式适用范围
11.3.1临界应力与柔度的概念
由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不 会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：
cr 极限应力
塑性材料：s 脆性材料： b
17
临界应力总图
cr s P
cr s
即
a s
b
s
材料常数
因此，当 S ≤≤ P 时可以用直线公式。
对于A3钢（Q235） cr 304 1.12 σs＝235MPa。
s
a s
b
304 235 1.12
61.6
称 s ≤≤ P 的杆为中柔度杆。
16
压杆分类、临界应力总图
称<s的杆为小柔度杆（粗短杆）。
s
a
s
b
当< s， cr a b s
对于A3钢（Q235） E＝200GPa，σP＝200MPa。
2E 100
P
14
对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当 大于100
时才可用欧拉公式计算临界载荷。
压杆分类、临界应力总图
实际中的压杆，往往小于P。 当< P ， cr>P，欧拉 公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑
载荷（应力）时，取较大的值。
4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使
13
1l 2l
i1
i2
欧拉公式的适用范围大柔度杆（细长杆）
欧拉公式 所以：
y M EI
cr
2E 2
P
1M
EI 从而：
弹性范围： P E
2E P
P
由此可见： 当 大于P时才可用欧拉公式计算临界载荷。
称 大于P的压杆为细长杆或大柔度压杆。
直杆受压变弯的现象，称为失稳。
——压杆的一种失效形式。
4
压杆稳定性的概念
实际中，很多构件需要考虑稳定性
本章只讨论 直杆的稳定问题。
(a)
(a) (a)
(a)
(b)
(b) (b)
(b)
(c)
(d)
图((dd))11-1
图图
11-1 11-1
在工程实际中，(其d) 它构件图 也11-1需要考虑稳定(c)问题。
10
11.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷
推导方法： Pcr
仿分照方2 E两程I端推铰导细支 。、长细压长杆压的杆临的临界界载载荷荷公的式推。导方（法欧，拉利用公微式）
( l )2 为长度因数，l为相当长度。
杆端支 一端固定 承情况 一端自由
挠
Pcr
曲
线l
图
形
两端铰支
Pcr
l
一端铰支 一端固定
代入通解得 B＝0 0 Asinkl
EIy M( x ) Py
令
k2 P
EI
y k 2 y 0
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A≠0 sinkl 0 kl n n 1,2,3........
y A sin n x
l
n2 2 EI
P l2
两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分
方程求临界载荷。
讨论：
压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。
8
细长压杆的临界载荷欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
利用挠曲线微分方程求临界载荷。
y
该微分方程的通解为
PA y
B P y A sin kx B cos kx
x
x
式中A、B为积分常数
P
P
y xM
M Py
杆的边界条件 x 0
xl
y0 y0
代入挠曲线近似微分方程
性稳定。临界应力常常采用经验公式：
cr a b
a、b为材料常数，单位MPa.
为实际压杆的柔度，仍由 l 计算。
i
对于Q235 cr 304 1.12
由 cr a b 知， 越小， ， cr越大。当小于某值时，
cr s 压杆的强度不允许。
15
压杆分类、临界应力总图
所以，直线公式当 cr a b s 成立。
当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变
化————失去稳定性。
(c) (c)
5
平衡的稳定性
小球原有的平衡 具有稳定性。 平衡是稳定的
6
小球原有的平衡不 具有稳定性。 平衡是不稳定的
随遇平衡
压杆稳定性的概念
压杆的稳定性： 指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。
（1）P<Pcr P
（2）P>Pcr PP
（3）P=Pcr Pcr
压杆原有的直线平 衡形式是稳定的。 压杆具有稳定性
7
压杆原有的直线平衡 形式不是稳定的。
压杆不具有稳定性
P>Pcr压杆失效
压杆的直线平衡形 式为过渡状态。
临界状态
Pcr临界载荷
由上述讨论得：
1、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压 杆失稳的最小力。
2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小 于临界载荷。
y PA y
x
l 2
n=2 n=3
C1
B
l 2
1、n=0，没有意义。
P x
2、n=2、3时，挠曲线如图。
中间没有支座，压杆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ会
弯成这种形状。
y A sin n x
l
P
n2 2 EI
l2
2EI
Pcr l 2
3、临界载荷是压杆失稳的最 小力。n只能等于1。
4、挠曲线方程
y
A sin
x
l
A为挠曲线中点的挠度。
Pcr
l
两端固定
Pcr
l
长度系数
2
1
0.7
0.5
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1、Pcr∝EI
2、杆端约束越强，Pcr越大。
2EI Pcr ( l )2
细长压杆的临界载荷公式。
若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为
随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。
Px Pz y
z
例11-1 细长压杆，材料Q235，l=4m ,b=50mm,