电磁场与电磁波：第六章 动态场

经整理后，得 2
A εμ
1
A
J
ε(
A
)
μ
t t
2 A ε(μAtJ()
ρ
A)
με
2
t 2 A
ρ
t
定义 A的散度
t
ε
A
με
洛仑兹条件（规范）
t
（1） （2）
A
με
t
2
A
με
2 A t 2
μJ
2 με 2 ρ
t 2
ε
这是非齐次波动方程
洛仑兹条件 达朗贝尔方程 (Dalangbaier Eguation)
t
t 2
B DE
0
H
2
j
2
B
0
赫姆霍兹方程
DE
6-2 坡印亭定理和坡印亭矢量
• 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理；
• 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。
坡印亭定理
在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为
体 积V内 储 存 的 能 量 为
磁场强度
H
I 2πa2
ρeφ
图6.2 计算导线损耗的量
P (E H) dS
S
S
以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为
I πa2γ
I 2πa2
a(
eρ
)
2πadleρ
I
2
l
a 2
I2R
表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。
图6.3 导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与S
电源提供的能量一部分用于导线损耗
2 A μJ
2 /
6-4 达朗贝尔方程的积分解
以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。
2
2
t 2
0
（除q点外）
在球坐标系下, 具有球对称性的展开式为
2 (r)
r 2
1 v2
2 (r)
t 2
这是(r)的一维齐次波动方程, 其通解为
1 r
f1(
t
r v
)
1 r
f
2
(
t
Sn Et H
另一部分传递给负载
St En H
6-3 动态位及其积分解
动态位及其微分方程
仍从电磁场基本方程组出发,
由 B 0 B A
由
E
B
t
(E
A
)0
t
E
A
t
A, 称为动态位（potential of Kinetic State）。
由
H
J
D
t
由
D ρ
W
wdV
1（
D
E
w
B
we
H）
wm dV
1 2
D
E
1 2
B
H
V
V2
设体积元储存能量wdV 随时间的变化率为
(wdV) t
(Et(D12DHEB)12dVB
H)dV
E (
H
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J)
H
(
E)
dV
t t
利用矢量恒等式 (E H) H ( E) E ( H)
b/a
2πrdr
UI
这表明：
• 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
• 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。
例 6.2 导线半径为a，长为l ，电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。
解：思路：设
I
E
,
电场强度
H
S J
P
I
导体内
E γ πa2γ ez
r v
)
式中 v 1 具有速度的量纲 ，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。
1）通解的物理意义：
f1(
t
r v
)的物理意义
当时间从 t t t, 信号从r r v t
有
f1(
t
t
r
vt
v
)
r f1( t v )
f1 在 t 时间内经过r 距离后不变,说明它 图6.4 是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。
注：磁铁与静电荷 产生的磁、电场不构成能量的流动。
坡印亭矢量
定义坡印亭矢量（Poynting
Vector）
S EH
W/m2
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率
流密度,
S
的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
例 6.1 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。 设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。
S
V Ee JdV
J 2 dV W
Vγ
t
坡印亭定理
物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能 量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。
在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为
(E H) dS
s
V Ee JdV
J2 dV
Vγ
恒定场中的坡印亭定理
1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义
• 确定了 A 的值，与 B A 共同唯一确定 A；
• 简化了动态位与场源之间的关系，使得 A单独由J 决定，J 单独由r决定，
给解题带来了方便；
• 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
f1(
t
r的) 物理意义 v
f2
(
t
r v
)
的物理意义
当时间从 t t t, 信号从r r vt 时,
有
f2(
t
t
r
vt
v
)
f
2
(
t
r v
)
它表明：f2 在 t 时间内,以速度v 向( -r )方向前进了v t 距离,故称之为反射波。
在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。
2）解的表达式
则有 取体积分，得
(wdV)
(
(E
H)
E
J)
dV
t
t
V
wdV
S (E
H) dS
VE
JdV
wdV (E H) dS E JdV
t V
S
V
若体积内含有电源, 则 J γ(E Ee ), 将 E J/γ Ee代入上式第二项, 整理得
(E H) dS
第六章 动态场
动态场的基本方程组与广义波动方程 坡印亭定理与坡印亭矢量 动态位 达朗贝尔方程的解答
6-1 动态场的基本方程组与广义波动方程
时变电磁场的基本方程组就是动态电磁场的基本方程组。
将麦克斯韦方程组中四个场量消去三个，可获得剩余一
个场量满足的方程，综合起来称为广 义波动方程.
H
2
正弦时变电磁场
解： 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。
电场强度
U
E r ln (b/a)er
磁场强度
I
H 2πr eφ
坡印亭矢量
S
E
H
r
U ln (b/a)
I 2πr
ez
图6.1 同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为
P S dA A
b a
UI 2πr2 ln
当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为2 0 ，其特解为
q 4 r
( 无限大均匀媒质）
由此推论，时变点电荷的动态标量位为
q( t r )
(t )
v
( 无反射）
4 r
可以证明：该解满足齐次波动方程。
图6.5 波的入射、反射与透射
连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得