2017年高考物理(热点+题型全突破)专题5.5 双星与多星问题(含解析)

专题5.5 双星与多星问题
双星模型 1.模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2. 模型条件
①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3. 模型特点
如图所示为质量分别是m 1和m 2的两颗相距较近的恒星。

它们间的距离为L .此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。

(3)两星的运动周期、角速度相同。

(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r 1＋r 2＝L . 4. 双星问题的处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 Gm 1m 2L
2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2
r 2。

5. 双星问题的两个结论
(1)运动半径：m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

(2)质量之和：由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L
3
GT
2。

【示例1】2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星
的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则( ) A.b 星的周期为
l －Δr
l ＋Δr
T B.a 星的线速度大小为π(l ＋Δr )
T
C.a 、b 两颗星的半径之比为
l
l －Δr
D.a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δr
l －Δr
【答案】 B
规律总结
解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)双星问题的“两等”： ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。

(2)“两不等”：
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m 1ω2
r 1＝m 2ω2
r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等。

【示例2】经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

两颗星球组成的双星m 1、
m 2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离
为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2。

则可知( ) A ．m 1与m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B ．m 1与m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2
C ．m 1做圆周运动的半径为2
5L
D ．m 2做圆周运动的半径为2
5L
【答案】 C
【示例3】2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示。

这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。

这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。

我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。

若图中双黑洞的质量分别为M 1和M 2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。

根据所学知识，下列选项正确的是( )
A ．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M 2∶M 1
B ．双黑洞的轨道半径之比r 1∶r 2＝M 2∶M 1
C ．双黑洞的线速度之比v 1∶v 2＝M 1∶M 2
D ．双黑洞的向心加速度之比a 1∶a 2＝M 1∶M 2 【答案】： B
【解析】 双黑洞绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A 错误；双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L ，由G
M 1M 2L
2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2
，得双黑洞的轨道半径之比r 1∶r 2＝M 2∶M 1，选项B 正确；双黑洞的线速度之比v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝M 2∶M 1，选项C 错误；双黑洞的向心加速度之比为a 1∶a 2＝r 1∶r 2＝M 2∶M 1，选项D 错误。

【示例4】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( )
A.每颗星做圆周运动的角速度为3Gm
L3
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
【答案】 C
【示例5】(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为(1＋
2
4
)
Gm
a
B.每颗星做圆周运动的角速度大小为
Gm 2a
3 C.每颗星做圆周运动的周期为2π
2a
3
Gm
D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m 有关 【答案】 AD
【示例6】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心的距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

【答案】
4π2R
3
GT 2
【解析】： 设两星球质量分别为M 1和M 2，都绕连线上O 点做周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 点的距离分别为l 1和l 2。

由万有引力定律、牛顿第二定律可得：
对M 1：G M 1M 2R 2＝M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2l 1，所以：M 2＝4π2R 2
l 1GT 2
对M 2：G M 1M 2R 2＝M 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2l 2，所以：M 1＝4π2R 2
l 2GT 2
上面两式相加得M 1＋M 2＝4π2R 2GT 2(l 1＋l 2)＝4π2R
3
GT
2。

【示例7】(2015·安徽理综，24，20分)由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若
A 星体质量为2m 、
B 、
C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ， 求：
(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)三星体做圆周运动的周期T .
【答案】 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)7
4a (4)π
a 3
6m
(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为
F AB ＝
G m A m B r 2＝G 2m 2
a 2③
F CB ＝
G m c m B a 2＝G m 2
a
2④
方向如图 由余弦定理得合力
F B ＝F 2
AB ＋F 2
CB －2F AB ·F CB ·cos 120°＝7G m 2
a
2⑤
(3)由于m A ＝2m ，m B ＝m C ＝m
通过分析可知，圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点
则R C ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 2
＝74a ⑥ (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由
F C ＝F B ＝7
G m 2a 2＝m (2π
T
)2R C ⑦
可得T ＝πa 3
6m
⑧
【名师点睛】
解决双星、多星问题的技巧
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

(3)星体的角速度相等。

(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。

要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。

【针对训练】
1. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。

在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。

设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图4所示。

若AO >OB ，则( )
A. 星球A 的质量一定大于星球B 的质量
B. 星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度
C. 双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D. 双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】 BD
2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。

研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。

若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.
n 3
k 2T B. n 3
k T C. n 2
k T D. n k
T 【答案】 B
【解析】 设两星的质量分别为m 1、m 2，两星间的距离为l ，两星的轨道半径分别为r 1、r 2，由万有引力提
供向心力得G m 1m 2l 2＝m 14π2T 2r 1，G m 1m 2l 2＝m 24π
2
T
2r 2，两式联立解得T ＝2π
l 3
G m 1＋m 2
，由此可知选项B 正确。

3. 文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

(万有引力常量为G ) 【答案】4π2r
3
T 2G
【解析】设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有ω1＝ω2
① r 1＋r 2＝r ② 根据万有引力定律和牛顿定律，有 G m 1m 2r 2＝m 1ω2
1r 1 ③ G
m 1m 2r
2＝m 2ω2
2r 2 ④ 联立以上各式解得 r 1＝
m 2r
m 1＋m 2
⑤ 根据角速度与周期的关系知 ω1＝ω2＝2π
T
⑥ 联立③⑤⑥式解得 m 1＋m 2＝
4π2r
3
T 2G。

4. 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不会
因万有引力的作用吸引到一起。

(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。

(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式。

【答案】(1)见解析(2)ω＝G（m1＋m2）
L3。