振型截断法----振动力学

ΦL [1,2 ,…s ]T
则有：
撇去高阶振型部分，就可以得到下列近似的系统响应：
x ΦL ηL i i
i 1
s
(5.89)
由于在上式中响应是由主振型及主坐标的位移叠加组成的，因 而这种振型截断法称为振型位移法。
1）考虑阻尼时，系统的响应：
如果考虑系统的阻尼，并且假定其主阻尼矩阵 C p 是对角阵， 那么只需要确定前s阶的振型阻尼比 i (i=1,2,…,s)，而将高阶的 阵型阻尼比 i (i=s+1,s+2,…,n)都假定为零，即有：
而 1.33 时，出于与振型位移法相同的原因，振型加速度法 同样得不到精度较好的解。
根据上例可知，在使用振型截断法求系统响应时，必须把分布在激振 频率 附近的固有频率n 所对应的主振型都包括在内。 工程实践当中，当计入激振频率值±20%范围内的固有频率对应的主 振型时，一般已能得到较好的近似解。 另，有结论：对于低频激振力，振型加速度法求出的响应比振型位移 法所得到的更好一些。 下面以无阻尼系统为例说明原因： 第4章有公式 ：
的值 ：
x1 (t ) P 1 cos t
从上表可以看出： 对于 0 的静态载荷，振型加速度法得到精确解，实际上由式(d) 得知，这个精确解是由伪静态响应给出的； 对于 0.51 的低频情况，振型个数取s=1时已经得到相当好的 近似解；取s=2时，响应的精度相当于振型位移法中取s=3时的精度；
1 由于第二项有 i 2 存在，比较起振型位移法，振型加速度法改善
i (t ) i 2i (0) cos i t i i (0) sin i t Qi (t ) i t + Qi ( ) sin i (t )d Mp M pi
0
(5.95)
1
故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二项为：

2

L K K CΦ L
-1 s
1
2ii L (Mi )(Mi )T Φ L i 1 M pi
s

i 1
2ii 1 i M pi 2 i i 1 M pi i
s
2ii L ) (K -1Mi )(iT MΦ L M pi
振型叠加法
撇去高阶i 及i 对响应的贡献 利用较低的前面若干项 i 及 i
s
振型截断法
振型截断法
振型位移法
x Φ L ηL i i
i 1
1 振型加速度法 x K P(t ) 2 i i i 1 i
-1
s
主要知识点：1）以上两类方法的介绍及对比； 2）如何进行截断，即阶数s的确定。
Q02 P 1, Q04 0.15436P 1
又由第4章知，此时主坐标的稳态响应为：
Q0i cos t i K pi (1 i 2 )
x ii (t )
i 1 s s
(a)
其中 i
i
（1）当采用阵型位移法时，系统的的响应近似为：

(s<4)
其中顶层楼板的响应为：
x1 (t) 1ii (t )
i 1

(s<4)
(b)
因为振型叠加法有n项，下面只截取前4项，将 x1 (t) 写出； 并指出当所截取振型个数为s=1,s=2及s=3时的响应部分，即：
x1 (t )
1.0 P 1 cos t 507.695(1 2 /176.72) s 1 1.0 P 1 cos t 1915.39(1 2 / 879.70) (0.90145)(0.90145 P 1 cos t ) 7368.43(1 2 /1687.46) (0.15436)(0.15436 P 1 cos t ) 11374.4(1 2 / 3122.79)
由式（5.94），顶层楼板的响应近似为：
x1 (t ) f11P 1 cos t
i 1
s
1
i
2
i 1i
(s<4)
将式(a)代入上式，得：
2 x1 (t ) f11P 1 cos t 2 1i i i 1 i
s
(s<4)
(d)
为与精确解比较，仍将上式按（c）的形式写为：
其中 P0 是激振力幅的常数列向量；
由第4章知：假设 简谐激振力P(t) 与响应同频率，即：
P(t ) P0 sin t
则系统在主坐标下对该激振力的稳态响应幅值为： 已知激振力向量为：P(t ) P 0 0 0 cos t 1 故激振力幅为：
Q0 ΦT P0
Q01 P 1, Q03 0.90145P 1,
利用分部积分，上式也可写为(备后用) ： 2
i (t ) i i (0) cos i t i i (0) sin i t Q (0) 1 + i cos i t M pi M pi ( ) cos (t ) d Q
0 i i t
(5.96)
其中
Cpl Cp 0
0 0
(5.90)
C pl diag 211M p1
2 22 M p 2 … 2 ss M ps
(5.91)
这时，第i (i=1,2，……，s)个主坐标的响应式为：
i (t ) e t [i (0) cos di t
s
x K-1P(t) K-1Mx
2 2 i i i 1 i
s
(5.94)
上式右端第一项是伪静态响应，第二项是由前s阶主振型及主坐标 的加速度叠加而成的，因而这种方法称为振型加速度法。 了收敛性，即可用更少的主振型和固有频率求出同样精度的响应。 i 可以用积分号下的微分法算出为： 式（5.94）中的

s 2 s

3
(c)
此时，激振频率分别取：
0, 0.51 6.6468, 1.33 53.402. 将上述顶层楼板的响应表示为： x1 (t ) P 1 cos t
下表列出了不同频率下系数
的值 ：
可以看出： 当振型个数取s=1时，振型位移法得到的响应对三种激振频率的任何 一种都存在较大的误差； 取s=3时，响应在 0或 0.51 时是相当精确的，但在 1.33 时，响应的误差任较大。这是因为 1.33 接近于 4（前），第四阶主坐 标的响应在 x1 (t ) 中占重要成分，而振型截断法却没有包括它。 （2）当采用振型加速度法计算响应时，先算出柔度矩阵：
2.振型加速度法
已知强迫振动的振动方程为：
Kx P(t ) Mx
上式可变为：
x K-1P(t) K-1Mx
(5.93)
将式（5.89）代入上式，并结合下式： K-1MΦL ΦLΔL-1 可得到系统的响应近似地为：
x K -1P(t ) K -1MΦL ηL K -1P(t ) ΦL ΔL -1 ηL K -1P(t ) 1 2 i i i 1 i
其中各主振型的归一化是使最大的元素为1。
T M pi i Mi 解： 由公式 2 K i M pi pi
求出主质量、主刚度：
M p1 2.87288, M p 2 2.17732, M p 3 4.36658, M p 4 3.64239,
K p1 507.695 K p 2 1915.39 K p 3 7368.43 K p 4 11374.4
x1 (t ) 2.60417 *103 P 1 cos t
2 1

1.0 P cos t s 1 s 2 176.72 507.695(1 /176.72) s 3 1.0 P cos t
2 2
879.70 1915.39(1 / 879.70)
2
1

(0.90145)(0.90145P 1 cos t ) 1687.46 7368.43(1 2 /1687.46)
2

(0.15436)(0.15436 P 1 cos t ) 3122.79 11374.4(1 2 / 3122.79)
2
(e)
将上述顶层楼板的响应表示为： 下表列出了不同频率下系数
i i
i (0) i i i (0) sin di t] di

1 M pidi

t
0
Qi ( )eii (t ) sin di (t ) d
而表示系统的阻尼矩阵的表达式为：
2ii C (Mi )(Mi )T i 1 M pi
s
(5.92)
2.60417 1.35417 F K -1 103 0.72917 0.31250
1.35417 1.35417 0.72917 0.31250
0.72917 0.72917 0.72917 0.31250
0.31250 0.31250 0.31250 0.31250
1.振型位移法
假设已求得系统较低的前s阶固有频率 i (i=1,2，……，s)及 相应的主振型 i (i=1,2，……，s)，由第4章知系统在第 i 个主坐 标的响应为： t i (0) 1 i (t ) i (0) cos it sin it Qi ( )sin i (t ) d i M pii 0 (i=1,2，……，s) 由前知，有坐标变换公式： 若记

i 1
s
2i
i
i i
于是系统的响应近似地为：
x=K P(t)-
-1 i 1
s
2i
i
i i
i 1
s
1
i
2 i i

(5.99)
下面通过例5.8来观察使用振型截断法时如何选取阵型的个数s。 例5.8：如下图所示，四层楼建筑，简化为刚性楼板和弹性支柱。其 余四张为不同的振型图。 已知：顶层楼板上作用有简谐激振力： ； P 1 cos t 若激振频率分别为： 1） 0 ； 2） 0.51 ； 3） 1.33 分别用振型位移法和振型加速度法计算顶层楼板的响应 x1 (t ) 。
振动力学
————振型截断法
主讲人：易之
振型叠加法中，需要求出各个阶的固有频率 1 , 2 ,…n 和与 之对应的主振型 i ，然后分析响应x(t)。 i 及 i 不便于也不可能全部求出。 若系统自由度数n很大时， 若激励频率主要包含低频成分，可撇去高阶振型及固有频率对 响应的贡献，只利用较低的前面若干项 i 及主振型近似分析系统 的响应，这就是工程上常采用的振型截断法。
2）考虑阻尼时，系统的响应：Biblioteka Baidu
当考虑阻尼时，式（5.93）成为：
K-1Mx x K-1P(t) K-1Cx
将式（5.89）代入上式，近似地得：
-1 x K P(t) K CΦLL K MΦL ηL -1 -1
(5.97)
(5.98)
结合第四章公式： (K -1M )
系统刚度矩阵、质量矩阵、固有频率及振型矩阵已知如下。
1 1 0 0 1 3 2 0 K 800 0 2 5 3 0 0 3 7
12 176.72
1 13.294 2 29.660 3 41.079 4 55.882
1 0 M 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
2 2 879.70 32 1687.46 4 2 3122.79
1.00000 1.00000 0.90145 0.15436 0.77910 0.09963 1.00000 0.44817 Φ 0.49655 0.53989 0.15859 1.00000 0.23506 0.43761 0.70797 0.63688