四年级奥数-鸡兔同笼经典题讲解

例1：笼子有若干鸡和兔，从上面数，有20个头；从下面数，有54只脚。

问鸡和兔各有多少？
分析：鸡兔同笼问题，核心的解法是假设法。

随着难度的加大，会结合转化思想，分组处理等。

本题是最基础的鸡兔同笼问题，我们假设20个头全是鸡，则共有脚20×2=40只。

而实际上有54只脚，两者的差是54-40=14只，因为20只不全是鸡，还有兔子，一只兔子可以补回4-2=2只脚的差，共要14÷2=7只兔子才能补回14只脚的差。

于是鸡有20-7=13只。

例2：实验小学举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。

共有12道题，王刚得了84分，王刚做错了几题？
分析：我们假设王刚全做对，则他应该得：12×9=108分，实际只得了84分，有108-84=24分的差，这24分的差，是因为王刚有些题做错了，做错了一道补回3+9=12分，所以做错了：24÷12=2道。

例3：鸡和兔共100只，鸡的脚数比兔子的脚数多80只，问鸡和兔子各有多少只？
分析：这是一道稍有难度的鸡兔同笼问题。

鸡兔同笼问题，一般来说会给出动物的头数和、动物的脚数和，但本题在给出动物的头数和时，却只提供了动物的脚数差，稍有不同。

思路还是用假设法，假设100只全是鸡，则鸡的脚数是100×2=200只，兔子的脚数为0，鸡和兔的脚数差是200只，但实际上鸡的脚数别只比兔多80只，这200-80=120只脚的差是把兔子假设成鸡导致的，一只鸡换回一只兔子，可以补回4+2=6只脚的差，要120÷6=20只兔子才能补回，所以鸡有100-20=80只。

例4：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡的脚数比兔子的脚数却少60只，问鸡和兔子各有多少只？
分析：这是一道知道头数差、脚数差，求鸡兔数量的问题。

我们假设兔子有2只脚，则鸡比兔多10×2=20只脚，但实际鸡脚却比兔子脚数少60只，鸡脚和兔脚的差是20-（-60）=20+60=80只脚，是因为
兔子的脚只算了2只，每只兔子少算了4-2=2只脚，所以有：80÷2=40只兔子，有40+10=50只鸡。

例5：买一些4分和8分的邮票，8分的邮票比4分的邮票多40张，买8分的邮票比买4分的邮票多花了4元4角，那么两种邮票各买了多少张？
分析：这道题是例1的具体运用。

我们把4分、8分的邮票看作“鸡、兔”就可以了。

先把4元4角换成440分，我们假设极端一点，买的8分的邮票为40张，4分的邮票为0，则两者花的钱的差是：
8×40-4×0=320分，实际的差是440分，有440-320=120分的差，这120分的差，是因为假设得太少了，多一张4分的（相应的也要多一张8分的，这样才能保持40张的差额不变）可以补回8-4=4分的差，120分的差需要：120÷4=30张才可以补回，所以8分的邮票为：
40+30=70张。

例6：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。

问每种小虫各几只？
分析：这是一道三种小动物的鸡兔同笼问题。

思路是先用转化法，把三种动物分为两组，再具体求出各小动物的数量。

因为蜘蛛8条腿，蜻蜓和蝉6条腿，于是我们把8条腿的分为一组，6条腿的一组，假设全是蜘蛛，则有腿：8×16=128条，跟实际的差为：128-110=18腿，据公式可算出6条腿的数量为：18÷（8-6）=9只，蜘蛛为16-9=7只。

蜻蜓和蝉共9只，再假设全是蜻蜓，则有9×2=18对翅膀，跟实际比有18-14=4对的差，因为蝉只有一对翅膀，一只蝉可减少1对翅膀的差，共需要4÷（2-1）=4只蝉才能补回。

蜻蜓有：9-4=5只。

例7：古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。

有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
分析：这是一道本质上是知道头数差、脚数差，求鸡兔数量的问题。

把“五言绝句，七言绝句”看作鸡和兔，找出两种诗的字数差再作处理即可。

我们假设五言绝句有13首，七言绝句为0首，则他们的字
数差为4×5×13-4×7×0=260个字，跟实际差：260-（-20）
=260+20=280个字。

多一首七言的（相应的也要多一首五言的），可补回4×7-4×5=8个字，需要：280÷8=35首才能补回。

所以五言的有：35+13=48首。

例8：一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
分析：这是一道知道脚数和，知道两种动物数量的倍数关系的鸡兔同笼问题的变型。

思路是用转化法，把它们捆绑分组，求出有几组，即可求出具体数量。

把2.99元换成299分，把4个2分的和1个5分的捆绑成一组，这时，这一组就变成了4×2+1×5=13分。

它们总共有299分，有几组呢？有299÷13=23组，每一组里面有1个5分，所以5分的有23×1=23个。

例9：1998年的时候，父母年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。

四年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥年龄的3倍。

当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时，是那一年？
分析：这是一道年龄问题，可以用年龄问题的方法解，但这也是一道变型的鸡兔同笼问题。

1998年的四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是：17+8=25岁。

可以把“兄和弟的年龄”看作是鸡和兔的头数，“哥哥年龄的3倍”“弟弟年龄的4倍”看做是鸡和兔的脚数，则头数是25，脚数是86，再假设这“25头”全是弟弟的，则哥哥：（25×4-86）÷（4-3）=14岁，弟弟：25-14=11岁，爸爸：11×4=44岁，当父亲的年龄是哥哥的3倍时，哥哥：（44-14）÷（3-1）=15岁，所以，这一年是：1998+4+（15-14）=2003年。

例10：小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多，问小毛做对几道题？
分析：这是一道处理三个未知量的鸡兔同笼问题，先利用已知条件进行分组，再用假设法处理即可。

把做错的和没做的看作一组，这一组对外表现为：（1×0+1×2）÷（1+1）=1分，也就是倒扣1分。

现在未知量变以两个了，做对的，得5分，不做或做错的扣1分，用假设
法可算出不做或做错的数量为：（20×5-64）÷（5+1）=6道。

则做对了20-6=14道。

例11：实验小学有一批同学参加数学竞赛，女生比男生少20人，男生总分比女生总分多1050分。

已知男生平均分是60分，女生平均分比男生多10分。

问男女生各有多少人？
分析：这是一道和平均数结合的鸡兔同笼问题，其本质上是已知头数差和脚数差，求具体个数。

可以按平均数的方法来解，当然也可以用鸡兔同笼的办法来解。

假设女生人数为0，男生有20人，则男女生总分的差为：20×60-0×（60+10）=1200分，跟实际分比差
1200-1050=150分，一个女生换回一个男生，可以补回10分的差，150分的差需要：150÷10=15个女生，男生：15+20=35人。

例12：有一场足球比赛，售出50、80、100元的门票共560，收入37000元，其中50元的门票是100元的门票售出的张数4倍多60张，求这三种门票各售出多少张？
分析：这是一道复杂的处理三个未知量的鸡兔同笼问题。

大概思路还是先分组，把三个未知量变成二个未知量，再作处理。

先去掉60张50元的门票，此时，三种门票和变成560-60=500张，收入变成37000-60×50=34000元。

把50元和100元的看作一组，这一组变成：（4×50+1×100）÷（4+1）=60元，假设全是80元的，则50和100的共有：（500×80-34000）÷（80-60）=300张，100元的有：300÷（4+1）=60张，50元的有：300-60+60=300张，80元的有500-300=200。