离散数学讲义集合论

4.1 集合的概念与表示
特殊集合 空集： 不含任何元素的集合称为空集，记作 性质：空集是任何集合的子集
推论：空集是唯一的 给定一个非空集合A,则和A称为A的
平凡子集。
4.1 集合的概念与表示
特殊集合 全集： 在所研究的同一个问题中，如果涉及到的 集合均是某一个集合的子集，则称该集合是 全集，记作。
4.1 集合的概念与表示
特殊集合 幂集： 设A是一个集合，由A的所有子集组成 的集合称为A的幂集，记作ρ(A)或2A 谓词描述法表示：ρ（A）={uuA}
4.1 集合的概念与表示
例如：设A={0，1，2}写出A的全部子集
解：A的0元子集： A的1元子集：{0}，{1}，{2} 2元子集：{0，1}，{0，2}，{1，2} 3元子集：{0，1，2}
A（AB）=A
德摩根律 （AB）=AB
（AB）=AB
双重否定律 （A）=A
4.2 集合的运算
谓词的等价与集合的相等包含之间的相似 性讨论：
用谓词定义集合的方法称为指定原理。被 某一谓词指定的子集称为该谓词在全集中的一 个广延。
如果两个谓词是等价的，则它们具有相同 的外延。即等价谓词指定的集合是相等的。
第四章 集合
集合的概念与表示 集合的运算 Venn氏图及容斥原理 集合的划分
4.1 集合的概念与表示
将一个确定的，可以区分的事物的全体 称为集合，而这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A，B,…来表示，而集 合的元素一般用小写字母表示
若a是A的元素 称a属于A，记作aA。 若a不是A的元素 称a不属于A，记作aA。
例如：集合Ck={0,k,2k,...}的递归定义： 1）0∈Ck 2）若n∈Ck,则n+k∈Ck
4.1 集合的概念与表示
集合间的关系： 包含： AB x(xA xB) AB也可记作BA 相等： A=B x((xAxB)∧(xBxA)) AB∧B A
4.1 集合的概念与表示
集合间的关系： 真包含： ABx(xAxB)∧$x(xB∧ xA) AB∧BA AB也可记作BA
4.1 集合的概念与表示
集合的表示方法： 谓词描述法： A={ x x具有某种性质} 例如： B= {x 1≤x≤5,x∈R} C={ x x2-1=0, x∈R} D={(x,y)x2+y2≤1，x,y∈R}
4.1 集合的概念与表示
集合的表示方法： 递归法： (1)基本项 (2)递归项 (3)极小化
4.3 集合的划分
例 设A={a,b,c},考察下列由A的非空子集组成 的集合是否是A的划分？
Π1={{a,b},{b,c}} Π2={{a},{a,b},{a,b,c}} Π3={{a},{b,c}} Π4={{a,b,c}} Π5={{a},{b},{c}} Π6={{a},{a,b}} 解答： Π3 、Π4 、 Π5是A的划分。
解：1)，2），3），5），8）是正确的
4.2 集合的运算
设A和B是两个集合，定义
AB={xxA xB} AB={xxA xB} A-B={xxA∧xB} A={xxA且xE} AB={xxA且xBxB且xA}
4.2 集合的运算
定理：设A、B、C是三个集合，则有 (1)AAB，BAB (2)ABA，ABB。 (3)ABAB (4)若AB则AB=A，AB=B。
4.2 集合的运算
交换律 AB=BA，AB=BA
结合律 （AB）C=A（BC） （AB） C=A（B C）
分配律 A（BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC）
幂等律 AA=A，AA=A 同一律 A=A,AE=A
4.2 集合的运算
零一律 A=，AE=E
补余律
AA=，AA=E
吸收律 A（AB）=A
由已知条件A=10, B =12, AB=5 AB=A+B-AB=10+12-5=17 则(AB)=E-AB=20-17=3 有3名既不是职员又不是学生
4.3 Venn图及容斥原理
三个集合的容斥定理
ABC=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
n个集合的容斥定理
A1A2 ... An=|Ai|-|AiAj|+|AiAjAk| +...+(-1)n-1|A1A2...An|
4.1 集合的概念与表示
元素个数有限的集合称为有限集。元素 个数无限的集合称为无限集。有限集的元 素的个数记作A或#A，称为A的基数。
关于集合，有两点特别注意： 1）集合元素的无序性 2）集合中的元素不计重度
4.1 集合的概念与表示
集合的表示方法： 列举法
例如：A={a,b,c,d} N={0,1,2…} Zm={0,1,2…,m-1}
4.3 Venn图及容斥原理
Venn图
AB
AB
A-B
4.3 Venn图及容斥原理
容斥原理 |AB|=|A|+|B|-| AB |
4.3 Venn图及容斥原理
例 在20名青年有10名是公司职员,12名
是学生,其中5名既是职员又是学生,问有 几名既不是职员,又不是学生？
解 设职员和学生的集合分别是A和B。
4.3 集合的划分
集合的划分
定义4.4.1 设A是一非空集合，π是A的非
空子集组成的集合，若 1）S1,S2π，要么S1S2=，要么S1=S2 2） S A
S
则称π是集合A的划分.|π|称为划分π的秩。
4.3 集合的划分
关于集合的划分的理解：
划分中的每一块是非空的 划分中的任意两块没有公共元素 A的一个划分耗尽了A中的所有元素
Π4称为最小（粗）划分， Π5称为最大 （细）划分。
4.3 集合的划分
集合的覆盖
定义4.4.2 设A是一非空集合，π是A的非空
子集组成的集合，若
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S A ，则称π
是集合A的覆盖.
S
4.3 集合的划分
交叉划分与细分 定义4.4.3 设Π1={A1,A2, .....,Ar}和Π2={B1,B2,
定理：如A是有限集，若A=n则ρ(A)=2n
4.1 集合的概念与表示
例：A={a,{b}},写ρ （A） 解: ρ （A）={，{a},{{b}},{a,{b}}}
例：设A={a, }判断下列结论是否正确 (1)A，(2)A，(3){}A， (4){}A,(5)aA,(6)aA, (7){a}A,(8){a}A