上海市高二下学期期末考试数学试题(带答案)

高二下学期期末考试数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．
2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．
3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．
4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．
6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．
7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线14
22
=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．
10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．
11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．
12. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．
13.设实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.
14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．11
8
16.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块
测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),
[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方
图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩
不少于60分的学生人数为（ ）
A ．588
B ．480
C ．450
D ．120
17.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）
A ．4x
B ．4x -
C ．1
D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|2
1:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．
19.（12分）求8)32(x
x +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.
21.（14分）已知椭圆13
42
2=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.
22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.
(1) 证明：CE C B ⊥11；
(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.
（1）证明：n OA 的斜率是定值；
（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；
（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和
.
第23题图
第二学期高二年级数学学科期末考试卷
参考答案
19.（12分）解：4
485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，
系数为
81
1120.
21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4
，联立 ⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,13
8b x x B A =
+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+
则B A ,中点是)1312,134(b b
， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.13
4b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4
132≤b 于是.4
13)413(2≤-
m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m
23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n
42=，直线n l 的方
程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y
而直线n OA 的斜率为1
1x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；
（2）直线方程为x y )51(+-=；
（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),
(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为5
2n
p ，
于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，
所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22
152p p -.。