上海同济大学附属存志学校数学一元二次方程易错题(Word版 含答案)

上海同济大学附属存志学校数学一元二次方程易错题（Word 版 含

答案）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，

4,03D ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒

4

3

个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；

(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！

【答案】（1）（4，4），（4

3

t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，310

9

t

【解析】 【分析】

（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求

解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =

，则可得2

24BP

x ，43

DP

x ，

4

53

DF

,利用1

1

22

BDP

S DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。 【详解】

解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），

又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒

4

3

个单位长度运

动，P 点运动时间为t ， ∴P 点坐标为（

4

3

t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， ∴4OB =,4

3

OD =

, 由勾股定理有：2

2

2

2

44

4

103

3

DB OB

OD

, 当BDP ∆为等腰三角形时， ①如图所示，当BD

BP 时，

OD OP =,

∴P 点坐标为（4

3

，0）, ∴1t =

②如图所示，当BD DP =时，

∵4

103DB ，OP DP OD

∴44410101333

OP ,

∴101t

③如图所示，当BP DP =时，

设P 点坐标为：（x ，0） 则有：2

2

24BP x

，2

2

4

3

DP

x

， ∴2

2

2

4

4

3x

x

，解之得：163x = ∴P 点坐标为（16

3

，0）, ∴4t =

综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ∆为等腰三角形；

（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

证明：∵A ，B 两点坐标分别为：()4,0-A ，()0,4B ， ∴OA OB =,45ABO ∠=, 又∵ABD OBP ∠=∠

∴ABD OBD OBP OBD ∠+∠=∠+∠ 即有：45ABO

DBP

，

如图示，过D 点作DF

BP 交BP 于点F,

∵4

103DB ， ∴4

53

DF

, 设OP x =，根据勾股定理有：2

24BP

x ，

并且43

DP x ，

则：1

1

2

2

BDP

S DP BO BP DF

∴

22

44

4453

3

x x ， 化简得：2610x x +-=， 解之得：3

10x （取正值），

即4310

3

t ∴3

310

310

94

t

．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．

2．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了

9

20

m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+5

2

m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣

9

20

m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划