直线,圆与椭圆的标准方程

高二上学期数学培优练习（一）

1.经过点M (1，3)的圆x 2＋y 2＝1的切线方程是________________

2.由曲线422=+=y x x y 与所围成的图形的最小面积是

3.过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．

4．椭圆x 2－m ＋y 2

－n

＝1(m

5．已知椭圆x 216＋y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若OQ ＝1，

则PF 1＝________.

6．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△PF 1F 2的面积

等于________．

7.已知圆C ：0482

2

=-++y x y x 与以原点为圆心的某圆关于b kx y +=直线对称（1）求b k 、的值（2）若这时两圆的交点为AOB B A ∠，求、的度数

8. 已知方程04222

=+--+m y x y x .（Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.

9. 已知圆R a a y a ax y x C ∈=-+---+其中：,0)1(4)12(222

2

（1）证明圆C 过定点（2）当a 变化时求圆心的轨迹（3）求面积最小的圆C

10．已知定点)0,2(A ，P 点在圆12

2=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原

点，求Q 点的轨迹方程．

11. 已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3,0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．

12. 已知圆2

2

:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。（Ⅰ）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（Ⅱ）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； （Ⅲ）若定点P （1，1）分弦AB 为1

2

AP PB =，求此时直线l 的方程。

13. 已知圆a MN x a a A C 2)0)(,0(的长为轴上截得的弦，且在过定点> （1）求圆C 的圆心的轨迹方程 （2）设的方程的最大值及此时圆求C m

n

n m n AN m AM +==,,

7.选D. 提示：第一、第二象限角平分线与圆围成的面积，即

4

1

个圆的面积，选D 13.2．提示:公共弦的最大值即就是小圆的直径,将两圆配为标准方程即得答案 16.解析(1)两个圆的圆心为)0,0(),2,4(-,，圆C 的半径52=r ，圆心直线的斜率为2

1

0402-=---,所

以2=k ,又两圆圆心的中点)1,2(-满足直线方程,得5=b 6分 （2）直线AB 的方程是052=+-y x 设直线AB 的中点D ，则52,55

5===

r CD Θ

001202,60=∠=∠=∠∴DCA ACB DCA 故 12分

17.解析(1)把圆C 的方程化为0)442(422

2

=+--+-++y x a y y x 令04420422

2

=+--=-++y x y y x 且,解之得5

6

,520,2=-===y x y x 或 无论a 取何值圆C 经过两个定点)5

6

,52(),0,2(-

B A 4分 (2)设圆心坐标为),(y x ,则有12,-==a y a x 消去a 得12-=x y ,故当a 变化时,圆

C 的圆心轨迹是

012=--y x 8分

(3)由(1)知圆心过定点)5

6

,52(),0,2(-

B A ,当线段AB 是圆

C 的直径时,圆C 的面积最小,其最小值是ππ59)2(

2==AB

s ,所以圆的方程为5

9

)53()54(22=-+-y x 12分 18.解析：（1）设圆心坐标),(y x C ，则由题意知2

2

2

2

)(y a a y x +=-+

整理得ay x 22

=，即圆C 的圆心轨迹方程为ay x 22

= 6分 （2）设圆心为),(00y x ，则)0,(),0,(00a x N a x M +-

220220)(,)(a a x n a a x m ++=+-=∴

)2(44202

044022

022ay x a

x a x mn n m m n n m =++=+=+∴Θ

22212)(22244440

20220

2022002

2

2

20≤+

+=++=++=

++=

y a y a a y a y a y a

y a

y a a ay 10分 当且仅当a y =0时取“=”此时a x 2±=，圆的半径a r 2=

m

n

n m +∴

的最大值22，此时圆C 的方程是2222)()2(a a y a x =-++ 或2222)()2(a a y a x =-+-

14分

20、解：（Ⅰ）0422

2

=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=m

F E D 422-+=20-m 40>， 5

（Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+0

420

422

2m y x y x y x y x 24-=代入得 081652

=++-m y y

5

1621=+y y ，5821m

y y += ∵OM ⊥ON 得出：02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴5

8

=m （Ⅲ）设圆心为),(b a

5

82,5421121=+==+=

y y b x x a 半径55

4=r

圆的方程5

16

)58()54(22=-+-y x

21、解：（Ⅰ）解法一：圆22

:(1)5

C x y +-=的圆心为(0,1)C

∴圆心C 到直线:10l mx y

m -+-=

的距离1

22m d m =≤=<∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；

方法二：∵直线:10l mx y m -+-=过定点(1,1)P ，而点(1,1)P 在圆22

:(1)5C x y +-=内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；

（Ⅱ）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则CM MP ⊥，

∴222

CM MP CP +=

设(,)(1)M x y x ≠，则2222

(1)(1)(1)1x y x y +-+-+-=， 化简得：2

2

210(1)x y x y x +--+=≠ 当M 与P 重合时，1,1x y ==也满足上式。 故弦AB 中点的轨迹方程是2

2

210x y x y +--+=。 （Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由12AP PB =得12

AP PB =u u u

v u u u v ， ∴121

1(1)2

x x -=

-，化简的2132x x =-………………① 又由22

10(1)5

mx y m x y -+-=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222

(1)250m x m x m +-+-=……………（*） ∴2

122

21m x x m +=+ ………………………………②

由①②解得2

12

31m x m

+=+，带入（*）式解得1m =±， ∴直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=。