生活中的优化问题举例(1)

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第三章 导数及其应用
1．最优化问题
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第三章 导数及其应用
2．求实际问题的最值，主要步骤如下：
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的 函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出
；
极值点 (3)比较函数在区间端点和在
的取值大小，确定其
最大(小)者为最大(小)值．
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 最少？最少为多少升？
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第三章 导数及其应用
解析： (1)当 x＝40 时，汽车从甲地到乙地行驶了14000＝ 2.5 小 时 ， 耗 油 量 为 1281000×403－830×40＋8 ×2.5 ＝ 17.5(升)．
故当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油 17.5 升．
因为 V＝πr2h，得 h＝πVr2， 所以 y＝4mπr2＋2mr V. 所以 y′＝8mπr－2mr2V.
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令 y′＝0，解得 r＝4Vπ13，此时 h＝44Vπ13. 所以当 r<4Vπ13时，y′<0，函数单调递减； 当 r>4Vπ13时，y′>0，函数单调递增． 所以 r＝4Vπ13为函数的极小值点，且是最小值点， 所以当 r＝4Vπ13时，y 有最小值． 所以当 h∶r＝4∶1 时，总造价最低．
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(2)当速度为 x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了10x0， 设耗油量为 h(x)升，依题意得 h(x)＝1281000x3－830x＋8 ×10x0＝1 2180x2＋80x0－145(0<x≤120)，
则 h′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x023(0<x≤120)． 令 h′(x)＝0，得 x＝80. 当 x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
极值点
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1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其
体积为最大，则高为( )
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 C. 3 3 cm
20 3 D. 3 cm
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解析： 设圆锥的高为 x，则底面半径为 202－x2，其 体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝13π(400－3x2)，
答案： 4∶1
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4．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示 为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲乙两地相距 100 千米．
(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地要耗油多少升？
(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入 多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
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(2)现该公司准备共投入 3(百万元)，分别用于广告促销 和技术改造，经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加 的销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配 方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
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用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容 器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻 折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？ 最大容积是多少？
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解析： (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， 即 n＝mx －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x ＝256mx －1＋mx (2＋ x)x ＝25x6m＋m x＋2m－256.
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(2)由(1)知，f′(x)＝－25x62m＋12mx－12 ＝2mx2(x32－512)． 令 f′(x)＝0，得 x32＝512，所以 x＝64. 当 0<x<64 时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当 64<x<640 时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函 数，
000v2＝1
000v2Hale Waihona Puke Baidu16 v－82
000v .……5
分
令 y′＝0 得 v＝16 或 v＝0(舍去)．
所以函数在 v＝16 时取得极值，并且是极小值. …7 分
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第三章 导数及其应用
①当 v0≥16 时，y＝1v0－008v2在(8,16]上递减，在[16，v0] 上递增，
∴v＝16，y 最小，即全程燃料费最省. ………9 分 ②当 v0<16 时，可得 y＝1v0－008v2在(8，v0]递减， 即当 v＝v0 时，ymin＝1v00－008v20.…………………10 分 综合上述得：若 v0≥16，当 v＝16 千米/小时时，全程燃 料费最省；
x(0≤x≤390)的关系是 R(x)＝－9x030＋400x,0≤x≤390，则当
总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150
B．300
C．250
D．200
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解析：
由题意可得总利润
P(x)
＝
－
x3 900
＋
300x
－20
000,0≤x≤390，由 P′(x)＝0，得 x＝300.当 0≤x＜300 时，
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解析： 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的 高和宽分别为(x－20)cm，y－225cm，其中 x>20，y>25.
两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25.
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广告的面积 S＝xy＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x. S′＝25x－2x0－22－03260 000 令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140.
解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因为 f(x)在[0，＋∞)内有意义， 则有且只有当 x＝200 时，f′(x)＝0， 且它就是最大值点，最大值为 f(200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 故每月生产 200 吨产品时，利润达到最大，最大利润为 315 万元．
若 8<v0<16，则当 v＝v0 时，全程燃料费最省. …12 分
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第三章 导数及其应用
[题后感悟] 解决费用最省问题，也是导数的一个重要应 用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取 值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值， 使问题得到解决．
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[题后感悟] 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解 是解题的主要思路，另外需特别注意：
①合理选择变量，正确给出函数表达式； ②与实际问题相联系； ③必要时注意分类讨论思想的应用．
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3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于 广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约 为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
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低碳生活(low－carbon life) 可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、 低开支的生活．“低碳生活”节能环保，势在必行．现实生活 中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高， 即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶最长的 路程． 如何使汽油的使用效率最高？
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[解题过程] 依题意，每月生产 x 吨时的利润为 f(x)＝(24 200－15x2)x－(50 000＋200x) ＝－15x3＋24 000x－50 000(x≥0)． 由 f′(x)＝－35x2＋24 000， 令 f′(x)＝0，
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2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余 下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的 工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用 为(2＋)x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不 考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
P′(x)＞0，
当 300＜x≤390 时，P′(x)＜0，所以当 x＝300 时，P(x)
最大．故选 B.
答案： B
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3．设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h， 底面半径为r，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则h∶r＝ ________时，造价最低．
解析： 设圆柱的高为 h，底面半径为 r，单位面积铁的 造价为 m，桶的总造价为 y，则 y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
令 V′＝0，解得 x1＝230 3，x2＝－230 3(舍去)．
当
20 0<x< 3
3时，V′>0；当203
3 <x<20
时，V′<0，
所以当 x＝203 3时，V 取最大值．
答案： D
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2．某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生
产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量
[题后感悟] (1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变 量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域， 利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
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第三章 导数及其应用
1．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左 右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面 积最小？
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[规范作答] 设每小时的燃料费为 y1，比例系数为 k，则 y1＝kv2.当 v＝12 时，y1＝720，
∴720＝k·122，解得 k＝5，∴y1＝5v2. ∴全程的燃料量 y＝y1·v2－008＝1v0－008v2(8<v≤v0)．
y′＝2
000vv－8－1 v－82
已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地， 水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时 (8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正 比．当v＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全 程燃料费最省，船在静水中的速度为多少？
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第三章 导数及其应用
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当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数． 故当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值． 故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油最少，最少为11.25升．
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所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值． 此时 n＝mx －1＝66440－1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
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第三章 导数及其应用
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每 吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－15x2，且 生产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
3.4 生活中的优化问题举例
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤． 2.会利用导数解决某些实际问题.
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第三章 导数及其应用
1.求解有关函数最大值、最小值的实际问题．(重点) 2.把实际问题转化成抽象的数学问题．(难点) 3.在解决实际问题时注意函数的定义域．(易混点)
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第三章 导数及其应用
∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为S(140)，当x＝140时，y＝175， 即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最 小．
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