数值分析分章复习(第七章非线性方程求根).docx

第七章非线性方程求根

要点：(1)迭代公式局部收敛性及收敛性判断

(2)迭代公式收敛阶概念

(3)Newton迭代公式及收敛性定理

复习题：

1、建立一个迭代公式计算数d = $5 + 7^5 +…,要求分析所建迭代公式的收敛性£+】

=j5 + £

解：迭代式为:

兀()=5

数d应是函数0(x)=厶+ 5的不动点(即满足(p(a) = a )

注意到(1)当兀引0,5］时，恒有0(x) w ［0,5］

(2)当兀引0,5］时,恒有(p\x) = — . <-<\

2Vx+5 2

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到Q

2、対于方程『—兀=2,

(1)证明在区间［-1.9, -1］内有唯一实根

(2)讨论迭代格式二“一2的收敛性如何？

(3)写岀求解该实根的牛顿迭代公式

解：(1) iE/(x) = e A-x-2

显然/(-1.9) = 0.0496 > 0, /(-I) = -0.6321 < 0

当兀0［—1.9,一1］吋，恒有/'(力二/一1<0

可见/(兀)在区间［-1.9,-1］内有且仅有一个零点

即方程在区间［-1.9,-1］内有R仅冇一个实根

(2)取(p(x) = e x-2

容易验证:(I)当xe［-1.9,-l］时，恒有0(兀)引一1.9,一1］,

(II)当兀引一1.9,一1］时，恒有0(x)二/vl

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(3) Mf(x) = e x-x-2

即：<£+】=£ 严一1 兀o = —1.9

3、为求x3-x2-l = 0在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：(1) x = l + (2)兀=(1 + /)二试分析每一种迭代的收敛性

解：记f(x) = x3-x2-l

(1)迭代式为£+1=1+丄，这里记0(兀)=1+丄

£厂

注意到/(1.3)/(1.5)<1,并且f\x) = 3x2-2x = x(3x-2) > 0, XG [1.3,1.5]

所以区间[1.3,1.5]为冇根区间

2

/([1.3,1.5])匸[1.3,1.5],并且当xw[l・3,l・5]时，恒有10 ⑴ 15青<1 依据不动点

迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

1 2

(2)迭代式为兀汁严(1 +尤)匚这里0(兀) = (1 +严)3

同(1)屮讨论，得结论：该迭代公式收敛

4、对于方程xe x-l = O在0.5附近的根。

(1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。

(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式

解：⑴xe x -1=0《9 x = —

e x

f Y = p~Xfl

构造迭代式：\ n+i,即収迭代函数(p(x) 十

ko

首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间

^([0.1,1]) c [0.1,1],并且当XG [0.1,1]时，恒有I(p\x) \< e A}A < 1

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

设XG [0.1,1]是其根的精确值，

因为0(/) =—严H0,故收敛为线性收敛，即收敛阶〃

⑵记/(x) = xe x -1

牛顿迭代法形式：x H+i=x H-^p-

八兀)

X0" 一1

X t = x -------- -------

即：\ "(£+1)严

兀0 = 1

5、应用牛顿法于方程/(x)= i-4 = 0,导出求、&的迭代公式

对

解：牛顿迭代法形式：5+严兀”-半1

八£)

EP：即£+1=兀厂

2a

3%

2a

如果6? <1,可取兀0=1，如果a〉l,可取x0- a

6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0

(1)证明在区间(1, g)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.

(2)写III Newton迭代求解该根的迭代公式

解：(1)记/(x) = x-lnx - 2,显然/(兀)处处可微

/(I) = -1 < 0 , lim /(x) = +00

牙一》+a)

所以，在区间(1,8)内至少存在一个实根

另外，由于广(兀)=1—丄〉0 , xe(l,+00)

X

所以，在区间(1,8)内有且仅有一个实根

/(3) = l-ln3<0, /(4) = 2-ln4>0

可见根XG(3,4)

(2)牛顿迭代法形式：兀屮=暫—芈丄

fg

由 a 是f(x) = 0的加重根,令f(x) = (x-a)m g(x), g(a )H0,

则血)》-一⑴，

mg(x) + (x-a)g (x)

容易验证：0(a) = 1-丄，因 m > 1,(p\a) 0,且|0(x)|vl, m

故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。

求方程加重根的丫顿迭代法形式：x w+1= £ -加#爭

2(€ _ 彳 _ 2x ： + 3x“ _ 1) 4兀；一 - 4x fl + 3

该迭代至少为平方收敛

8、求方程?-2%-5 =()在区间［2,3］内根的近似值有如下变形

即: E+l =£一 兀;-£叽厂2£

£ 一1

考虑取x 0 =4

7、据理证明x* = 1是方程X 4-X 3-2X 2+3X = 1的一个二重根,

并构造计算T 的具有平方收敛阶的Newton 迭代

i£/(x) = x 4-x 3-2x 2+3x-l

因为 /(1) = 0,广(1) = 0, /"(1)工0

所以x=l 是方程/(朗=0的一个二重根

注意到,当a 是f(x) = 0的m 重根(m > 2)时,

牛顿迭代法求解/(兀)=0仅是线性收敛的

事实上，对于牛顿迭代法, 其迭代函数是0(兀)=

=£一 £叽 2 兀卫兀“+暫