最优控制理论复习题
最优控制复习题
x = c1 t + c2
第二章习题
习题2-6
x(1) = 4，x(tf ) = 4，tf 自由且tf > 1。求x∗ (t)使
tf
J=
1
1 2 ˙ (t)] dt [2x(t) + x 2
取极小值 解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问 题，F = 2x(t) + 1 ˙ 2 (t)，x(tf ) = c(tf ) = 4。由欧拉方程 2x ∂L d ∂ d − =2− x ˙ (t) = 2 − x ¨(t) = 0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ (t) = 2t + c1 , 由x(1) = 4得 1 + c1 + c2 = 4 ⇒ c1 + c2 = 3 由x(tf ) = 4得 t2 f + c1 tf + c2 = 4
图 A-1 : 天然气管道网络
课后习题解答 最优控制理论与系统 December 27, 2013 12 / 33
E 2
4 H
G 1 2 3 3 K J 4 L
第四章习题
解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在 站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最 优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下 一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
课后习题解答
最优控制理论与系统
December 27, 2013
最优控制习题答案
最优控制习题答案最优控制习题答案最优控制是一门研究如何在给定的约束条件下，使某个系统的性能指标达到最优的学科。
在实际应用中，最优控制被广泛应用于工程、经济、生态学等领域。
然而，最优控制问题通常非常复杂，需要运用数学方法进行求解。
在本文中，我们将探讨一些最优控制习题，并给出相应的答案。
习题一：一辆汽车行驶在一条直线上，其速度v(t)满足以下微分方程：m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，其中m为汽车的质量，F(t)为外部施加的力，k为阻力系数。
求使得汽车行驶时间最短的外部力F(t)。
解答：首先，我们需要确定行驶时间的数学表达式。
设汽车的初始速度为v0，行驶时间为T，根据题意，我们可以得到以下约束条件：v(0) = v0，汽车的初始速度为v0；v(T) = 0，汽车的最终速度为0。
根据最小时间原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：minimize T，使得v(T) = 0；subject to m*dv(t)/dt = F(t) - kv(t)，v(0) = v0。
通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。
最终，我们可以得到外部力F(t)的解析表达式。
习题二：一个农民想要将一块矩形土地分成两块，使得两块土地的总面积最大。
该农民只能在土地的一条边上建立一道直线围栏。
求最优划分方案。
解答：设矩形土地的长为a，宽为b。
我们需要确定如何划分土地，使得两块土地的总面积最大。
根据题意，我们可以得到以下约束条件：2a + b = L，L为围栏的长度。
根据最大面积原理，我们可以建立一个最优控制问题的数学模型，即求解以下极值问题：maximize A = ab，使得2a + b = L。
通过拉格朗日乘子法，我们可以得到最优控制问题的解析解。
最终，我们可以得到最优划分方案的解析表达式。
习题三：一架飞机要从A地飞往B地，途中需要经过一个位于C地的雷达站。
飞机的速度恒定为v，雷达站可以通过调整飞机的航向角度来监测飞机的位置。
经典控制理论考研题库
经典控制理论考研题库一、选择题1. 经典控制理论主要研究的是：A. 系统的设计B. 系统的稳定性C. 系统的优化D. 系统的仿真2. 系统稳定性的判定方法中，不包括：A. 劳斯-赫尔维茨判据B. 奈奎斯特判据C. 伯德图D. 传递函数3. 系统动态性能的常用评价指标是：A. 稳态误差B. 过渡过程时间C. 系统增益D. 所有上述选项二、简答题1. 简述劳斯-赫尔维茨判据的基本原理。
2. 描述奈奎斯特判据在系统稳定性分析中的应用。
3. 什么是PID控制器，它在控制系统中的作用是什么？三、计算题1. 给定一个二阶系统，其传递函数为：\[ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s +\omega_n^2} \]其中，\(\omega_n\) 为自然频率，\(\zeta\) 为阻尼比。
计算系统在单位阶跃输入下的过渡过程。
2. 考虑一个具有以下开环传递函数的控制系统：\[ G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)} \]其中，\(K\) 为增益。
使用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。
四、论述题1. 论述控制系统设计中的性能指标，并解释它们是如何影响系统设计的。
2. 讨论PID控制器参数整定的方法和步骤，以及它们对系统性能的影响。
五、案例分析题1. 假设你正在设计一个温度控制系统，需要考虑哪些因素？请结合经典控制理论，分析如何选择合适的控制策略。
2. 给出一个实际的控制系统案例，分析其可能存在的问题，并提出改进措施。
结束语经典控制理论是理解现代控制系统设计和分析的基础。
通过掌握上述题目，可以帮助考生深入理解控制系统的基本概念、分析方法和设计原则，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
希望这份题库能对考生的复习和准备有所帮助。
最优控制期末考试题精华版
解：
设拉格朗日乘子为 、 ，根据非线性K-T条件定理：
考虑到约束条件：
分三种情况考虑式(1)~(5)的解：
1．若(5)式等号不成立，则由(2)式有 ，再代入(1)式得 ，这和(4)式矛盾。因此，(4)式等号一定成立。
2．若(6)式等号不成立，则由(3)式有 ，代入(1)式得
由 和(7)式以及(5)式可得： .
3.若(6)式等号成立，则由(5)、(6)式可解得：
及
由(4)式、(1)式可知， 不能取 ，而若取 ，则 就应该为 ，此时(1)式不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一K-T点 ，根据最优条件，最优点必定是K-T点，即 。
七、（10分）用惩罚函数法求下列问题的最优解：
八、（10分）试求 的有效解和弱有效解
一、（10分）用图解法求解：
二、（10分）用单纯形法求解：
三、（10分）求函数 的极值。
四、（15分）用0.618法解下列问题：
，初始区间为 ，
五、（15分）设 ，求在以下各点处的最速下降方向：
， ，
解：函数在某一点处的最速下降方向即为函数在该点方向导数最小的方向
令
由已知条件可得：
所的表达式求出它们的最优解：
最优控制理论考试重点
1．最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型)：⎰=ft t dt t t u t x L u J 0]),(),([)(反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
(2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=，接近目标集程度，即末态控制精度的度量。
(3)综合性能指标（鲍尔扎型）：⎰+=ft t f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ。
2．最优控制问题的数学模型给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =•；状态方程的边界条件：⎩⎨⎧∈===St x t t x t x t t f f )(,)(,000；给定性能指标：⎰+=ft t f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ；允许控制域u(t)：U t u ∈)(。
3．最优控制应用的几种类型：最短时间控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。
4．选取性能指标注意：应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。
5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。
6．横截条件：依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。
1．泛函：对于某一类函数y(·)中的每一个函数y(x)，变量J 都有一个值与之相对应，那么变量J 称作依赖于函数y(x)的泛函。
记为：J=J[y(x)]，y(x)称为泛函的宗量。
宗量的变分：)()(0x y x y y -=δ。
2．泛函的连续性：对任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，当,...)()(,...,)()(,)()()()(000δδδ<-<-<-x y x y x y x yx y x y k k 时，ε<-)]([)]([0x y J x y J ，则称泛函J[y(x)]在点y 0(x)处是连续的，而此时y(x)与y 0(x)具有k 阶接近度。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
现代控制理论习题之线性二次型最优控制
【解】：
系统性能指标的值是
J=
1 T x (0) Px(0) 2
其中 P 是对应 Lyapunov 方程的对称正定解。具体写出这个 Lyapunov 方程，得到
2
第七章
线性二次型最优控制
⎡1 a ⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
由此可得以下的一组方程：
p12 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ p11 ⎢ ⎥−⎢ p 22 ⎥ ⎦ ⎣a − 1⎦ ⎣ p12
2ap12 + a 2 p 22 = −1
p12 ⎤ ⎡1 0⎤ = −⎢ ⎥ ⎥ p 22 ⎦ ⎣0 1 ⎦
p11 + (a − 2) p12 − ap 22 = 0
p11 − 2 p12 = −1
求解该方程组，得到
⎡ 1 + 0.5a 2 ⎢− P = ⎢ a(1 + 0.5a) ⎢ 0.5(a − 1) ⎢ a (1 + 0.5a ) ⎣ 0.5(a − 1) ⎤ ⎥ a (1 + 0.5a ) ⎥ 1.5 ⎥ − a (1 + 0.5a ) ⎥ ⎦
容易看出该系统是渐近稳定的。 7.3 考虑系统
⎡1 1 ⎤ ⎡1⎤ x(k + 1) = ⎢ x(k ), x(0) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a − 1⎦ ⎣0⎦
其中 −0.25 ≤ a < 0 。我们希望确定参数 a 的一个最优值，使得性能指标 1 ∞ J = ∑ x T (k )Qx(k ) 2 k =0 最小化。其中 Q = I 。
其解为 P = 1 ± 2 。考虑到要求的 P 是对称正定的，故 P = 1 + 2 。 系统的最优控制律为：
u = − R −1 B T Px = −(1 + 2 ) x
经典控制理论试题答案
经典控制理论试题答案一、选择题1. 控制系统的开环传递函数表示为G(s) = 10/(s^2 + 5s + 6)，其闭环传递函数为C(s) = __________。
A. 10/(s^2 + 5s + 6)B. 10/(s^2 + 4s + 5)C. 10/(s^2 + 5s + 7)D. 10/(s^2 + 4s + 6)答案：B2. 在PID控制器中，比例（P）、积分（I）和微分（D）的作用分别是__________。
A. 减小稳态误差、提高系统响应速度、预测未来误差B. 增大系统稳定性、减小稳态误差、抑制噪声C. 减小系统响应速度、增大稳态误差、增强系统鲁棒性D. 预测未来误差、增大系统稳定性、减小稳态误差答案：A3. 根轨迹法是用来分析控制系统的__________。
A. 稳态性能B. 动态性能C. 稳定性D. 快速性答案：C4. 在反馈控制中，增加开环增益会导致系统的__________。
A. 稳定性提高B. 稳定性降低C. 稳态误差增大D. 响应速度变快答案：B5. 根据奈奎斯特稳定性准则，当奈奎斯特图绕点(-1, j0)的包围次数为零时，系统是__________。
A. 稳定B. 不稳定C. 临界稳定D. 无法判断答案：A二、填空题1. 对于一阶系统，其传递函数为G(s) = K/τs + 1，其中K是增益，τ是时间常数。
该系统的稳态误差为__________。
答案：K/(K+1)2. 在控制系统中，若系统的开环传递函数为G(s)H(s)，闭环系统能够达到稳态误差为零的条件是G(s)H(s)的极点均在__________。
答案：左半平面3. 比例-积分-微分（PID）控制器的设计目的是使系统具有更好的__________和__________。
答案：稳定性；响应特性4. 一个控制系统的闭环传递函数为C(s) = 10/(s^3 + 4s^2 + 4s +5)，其相位裕度为__________度。
控制理论十大理论题(参考)
控制理论十大理论题1.自动控制系统稳定的充分必要条件是什么？系统特征方程的根全部具有复实部。
即，闭环系统的极点全部在S平面左半部。
2.反馈控制系统由哪些基本元件组成？1.、控制元件2、反馈元件3、比较元件4、放大变换元件5、执行原件6、控制对象7、校正元件3.自动控制系统有哪些常用的典型环节？与分子三种因子相对应的环节：放大环节—K，一阶微分环节—τs+1,二阶微分环节τ²s²+2ζτs+1.与分母三种因子相对应的环节：积分环节—1／s，惯性环节—1／（Ts+1），震荡环节—1／（T²s²+2ζTs+1）此外还有理想微分环节s和延滞环节e﹣τs4.绘制典型反馈控制系统的方块图。
5.对控制系统的基本要求是什么？1、稳定性2、快速性3、准确性6.控制系统常用的瞬态响应指标有哪些？1、上升时间t r2、峰值时间t p3、最大超调量Mp4、调整时间t s 5、震荡次数N7.控制系统常用的频域性能指标有哪些？开环频率响应指标：1、相位欲量γ2、增益欲量Kg 3增益交界频率ωc闭环频率响应指标：1、谐振峰值Mr 2谐振频率ωr 3、截止频率ωb8.什么是开环控制系统？什么是闭环控制系统？并简述二者优缺点。
开环控制系统：如果系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响。
闭环控制系统：凡是系统的输出端和输入端之间存在反馈回路，即输入量对控制作用有直接影响的系统。
9.减小和消除控制系统稳态误差的方法有哪些？1、提高系统的开环增益K2、提高系统的类型10.控制系统中加在输入端的典型控制信号一般有哪些？1、正弦控制信号2、阶跃信号3、脉冲信号4、等速和加速信号。
最优控制期末考试试卷exam2003
西安交通大学研究生公共课最优控制2003年试题 考试时间：2003年7月1日 2:30-5:00考试地点：中2-3221一、(20分)泛函J [y (x )]的变分可定义为()()[]0=+=βββδδd x y x y dJ J 。
1．请以这种定义，求出()∫=103dx x y J 的变分。
2．请以这种定义，证明若可微泛函J [y (x )]在y 0(x )上达到极值，则在y=y 0(x )上有δJ = 0二、(15分)已知一阶系统u x=&，求u (t )使系统由x (0) = 1转移到x (t f ) = 0，t f 未定，且使目标泛函∫+=f t f dt u t J 0221 为最小，并求出最优轨线x (t )和t f 。
三、(15分)已知被控系统21x x=&，u x =2&和目标集 (){}+∞<<−∞==2121,0:,x x x x M试借助相平面分析满足约束条件|u (t )|≤1的最小时间控制率u (x )。
并求最短时间。
四、（15分） 求出图中从第0层到达第3层的最小费用，并找出最小费用路径，其中各起点、终点的费用以及每段路径的费用如图所示。
注意只允许向右侧移动。
最小费用路径可能有多条，如是则找出每一条。
3643352544012 3 25 4 4 2 4 1 44 3 3 3 6 5 456 2 3 5层→五、（18分）给定一阶系统u x x +=&，x (t 0)=x 0，性能指标为()∫∞+=02221t dt u x J ρ，试求ρ满足什么条件时最优反馈控制存在，并求u *(x )及J *[ x (t 0),t 0]。
六、（17分）*本题中“Use the maximum principle to show that…”是指应用广义的极大值原理来证明。
这里广义最大值原理包括书中描述的控制有界时的情形，也包括第二章所讨论的控制可以任意取的情形，在许多参考书中将这两种情形都归入极大值原理。
最优控制期末试题及答案
最优控制期末试题及答案一、选择题1. 在最优控制理论中，最优控制是指：A. 使系统性能指标最优的控制策略B. 使系统参数最优的控制策略C. 使系统动态特性最优的控制策略D. 使系统输出响应最优的控制策略答案：A2. 最优控制问题可以通过以下哪种方法求解：A. 动态规划法B. 遗传算法C. 神经网络算法D. 一般化最小二乘法答案：A3. 以下哪个问题不属于最优控制问题：A. 线性二次最优控制问题B. 无约束非线性最优控制问题C. 约束非线性最优控制问题D. 无约束线性最优控制问题答案：D4. 最优控制问题的目标函数通常是：A. 系统状态变量B. 控制输入变量C. 控制输入和状态变量D. 系统输出变量答案：B5. 最优控制问题中，状态方程描述的是：A. 系统的输出响应B. 系统的输入信号C. 系统的状态变化D. 系统的性能指标答案：C二、判断题1. 优化问题是最优控制问题的一种特殊情况。
答案：正确2. 在最优控制问题中，约束条件通常是线性的。
答案：错误3. 动态规划法可以用于解决一般化最小二乘最优控制问题。
答案：错误4. 最优控制问题中的状态方程一般是非线性的。
答案：正确5. 最优控制问题中的目标函数可以是系统性能指标的函数。
答案：正确三、简答题1. 请简要介绍最优控制问题的基本概念。
最优控制是指在给定约束条件下，使系统性能指标达到最优的控制策略。
最优控制问题包括线性和非线性、有约束和无约束等不同类型。
在最优控制问题中，通过选择合适的控制输入来使系统状态达到最优，同时满足系统约束条件。
最优控制问题通常使用目标函数来量化系统性能指标，并使用状态方程来描述系统的动态特性。
常用的解决方法包括动态规划法、最优化方法等。
2. 动态规划法在最优控制问题中的应用原理是什么？动态规划法是解决最优控制问题的一种经典方法。
其基本思想是将原始问题分解为一系列子问题，并利用最优子结构的性质，通过递归的方式求解子问题，最终得到整体最优解。
操控理论考试题及答案
操控理论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 控制理论中，系统稳定性的判定通常使用哪种方法？A. 奈奎斯特准则B. 根轨迹法C. 李雅普诺夫函数D. 频域分析答案：A2. 下列哪个不是控制系统的组成部分？A. 被控对象B. 执行机构C. 传感器D. 反馈回路答案：D3. 控制系统中的开环增益K值增大，系统响应的稳态误差会如何变化？A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定答案：B4. 一个控制系统的开环传递函数为G(s) = 1/(s^2 + 2s + 1)，其闭环传递函数为多少？A. 1/(s^2 + 2s + 1)B. 1/(s + 1)C. 1/(s^2 + 2s + 2)D. 1/(s^2 + 2s)答案：C5. 在PID控制器中，P代表什么？A. 比例B. 积分C. 微分D. 以上都不是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪些是控制系统的性能指标？A. 稳定性B. 快速性C. 准确性D. 经济性答案：ABC2. 控制系统设计时需要考虑的因素包括哪些？A. 系统稳定性B. 系统响应速度C. 系统成本D. 系统复杂度答案：ABC3. 下列哪些方法可以用来提高控制系统的稳定性？A. 增加开环增益B. 引入反馈C. 引入前馈D. 引入滞后答案：BC4. PID控制器的三个参数分别对应哪些作用？A. 比例作用B. 积分作用C. 微分作用D. 延迟作用答案：ABC5. 在控制系统中，哪些因素可能会导致系统不稳定？A. 过大的开环增益B. 不适当的反馈C. 系统内部的非线性D. 外部干扰答案：ABCD三、填空题（每题2分，共10分）1. 控制系统的稳定性可以通过______准则来判定。
答案：奈奎斯特2. 在控制系统中，______环节是实现控制目标的关键。
答案：控制器3. 控制系统的开环传递函数G(s) = 1/(s^2 + 2s + 1)，其闭环传递函数为______。
2004至2015年最优控制考试卷
南昌大学 2004年 最优控制 课程考试卷适用班级：控制理论与控制工程2003级 考试形式：闭卷班级：学号：姓名：1、 求泛函dt xx J ft 212)1()(⎰+=满足1)0(=x ，f f f t t c t x -==2)()(的极值曲线。
2、受控系统 ()t u x f x，，= 00)(x t x =()0)(=f f t t x g ，其中n R x ∈y R u ∈q R g ∈()⎰Φ+=ft t f f dt t u x t t x J 0)()(，，，θf t 固定当把λ，u 看成泛函的宗量时，推证最优控制的必要条件。
3、受控系统 21x x=101)0(x x =u x=2202)0(x x =dt u x J u )(21min 2021+=⎰∞确定最优控制)(t u *4、受控系统为21x x =u x=2 目标集{}+∞<<∞-==12210)(x x x x M ，：，1)(≤t u .求时间最优控制u(x)。
5、受控系统 u x x+-=3 0)0(x x = v(0)=0 , 求出哈密顿—雅可比方程的四阶近似解 找出闭环控制)(x u 使⎰+=f t dt u x J 022)(21 为极小6、系统状态方程及测量方程为1-=k k x x k k k V x z +=其中0=k EVkl l k R V V δ=)cov(， 00Varx p =⑴ 推证：k k k z Rkp p x R kp R p k x++++-=-00100ˆ)1(ˆ⑵ 求误差的方差k p 的稳态值。
南昌大学 2005年最优化与最优控制课程考试卷南昌大学 2005-2006年第1学期最优化与最优控制课程考试卷南昌大学研究生2006～2007学年第 1 学期期末南昌大学研究生2008～2009学年第 1 学期期末cx x xx x x x L x L =+-+=∂∂-)1(2020122 c xx =+)1(2012 1211c xx +=2120c c = 用参数法求 θctg x= )2cos 1(2sin 112121θθθ-==+=c c ctg c xθθd c dx xdt )2cos 1(11-==21)2sin 2(21c c t +-=θθ，θτ2=，)sin (211ττ-=c t )cos 1(21)cos 1(2111t c c x -=-=τ=-13、考察系统12112x Ax B w B u z C x D u=++=+12112010.100001,,,,,5600.11110A B B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦试求出使闭环系统内部稳定，且满足()1zw T s ∞<的状态反馈控制器解:考察2(,)A B 的能控性[]220116C Q B AB ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦满秩，110D =,[]1210010011TD C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦[]121211010TD D ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 1100110057O C Q C A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦满秩,能观 则111221()0T T TT XA A X X B B B B X C C ++++=得17.61 1.141.14 2.18X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]2 6.9413.27TK B X =-=- 4、动态系统的状态方程与性能指标为：21x x= 21x u y x == 22101min []2J ax u dt ∞=+⎰（1）、当a=4,确定最优控制，求状态反馈闭环系统输出的动态性能（超调量，调整时间）? （2）a=10,比较两者的性能。
最优控制理论
*T g ( x* , u* ) 0
（二）拉格朗日函数H极值的解法
H 存在极值的必要条件是： H H H （） 1 0，（2） 0，（3） 0 x u 将必要条件展开得： g T H f x x ( x ) 0 g T H f ( ) 0 u u u H g ( x, u ) 0
变分 分部积分
x
tf t0
J (
F F x x)dt t0 x x tf tf F d F F J [( ) x]dt x t0 t0 x dt x x
tf
0
J
tf
t0
F d F ( ) xdt 0 x dt x
*
(二) 多元函数的极值
设n元函数f f (u )，u [u1 , u2 un ]T 为 n 维列向量。 f 它取得极值的必要条件是 0 u 或函数的梯度为零向量： f f f T f u [ , , ] ＝0 u1 u2 un
f 2 f 函数取极小值的充要条件是： ＝0， 2 0 u u 即下列海森矩阵为正定阵
最 优 控 制 理 论与 应 用
Optimal Control Theory
and Application
主讲：xxx
主要内容
1 最优控制问题 2 求解最优控制的变分方法 3 最大值原理与应用 4 线性二次型性能指标的最优控制
5 动态规划
6 对策论与最大最小控制
前言
最优控制理论 20世纪50年代 现代控制理论的重要组成部分； 发展形成系统的理论； （动态规划、最大值原理）
最优控制习题及参考答案
最优控制习题及参考答案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--62最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：J = ∫(x+1)dt解： 由已知条件知： t = 0 ， t = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = Cx = Ct + C将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C = 1，C = 1得极值轨线： x (t ) = t +1习题 2求性能指标： J =∫(x +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x (t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C = 0∂L由∂x= 2x (t ) = 2C = 0t于是： x (t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x ，x (1) 自由。
63∫ ⎩ λ = −λ 有： C = x ， C = 0 ，即： x (t ) = x其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3已知系统的状态方程为： x(t ) = x (t ) ， x (t ) = u (t )边界条件为： x (0) = x (0) = 1 ， x (3) = x (3) = 0 ，1 试求使性能指标 J = u (t )dt2取极小值的最优控制 u (t ) 以及最优轨线 x (t ) 。
⎩ x ⎩ 解：由已知条件知： f = ⎩ ⎩⎩⎩ u ⎩⎩Hamiton 函数： H = L + λf H = 1u + λ x+ λ u⎩λ = 0 由协态方程： ⎩ 2⎩λ = C①得： ⎩⎩λ= −Ct + C ②∂H由控制方程： ∂u= u + λ= 0得： u = −λ= Ct − C ③由状态方程： x = u = Ct − C得： x (t ) = 1C t − C t + C④2 由状态方程： x = x得： x (t ) = 1C t − 1C t + C t + C⑤6 264⎩ ⎩=− =− ∫⎩1⎩ ⎩0⎩将 x (0) = ⎩ ⎩ ， x (3) = ⎩0⎩ 代入④，⑤,⎩1⎩ ⎩ ⎩10联立解得： C =由③、④、⑤式得：u (t ) = 10t − 29 ，C = 2 ， C = C = 1 9x (t ) = 5 t −t + t +1 27 x (t ) = 5t − 2t +1 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制(考试题)2013
考试题一、简答题：（25分）1、最优控制的三要素是什么？答：优化目标，优化参数，约束条件。
2、如何才能够将有约束优化问题转化为无约束优化问题？答：可以利用惩罚函数将有约束优化问题转化为无约束优化问题。
3、简述遗传算法的计算过程。
答：先确定种群个数，交叉率，变异率，编码方式和适应度函数，已完成初始化后产生第一代种群，然后进行交换，由交换概率挑选的每两个父代通过将相异的部分基因进行交换（如果交换全部相异的就变成了对方而没什么意义），从而产生新的个体。
再进行适应度值评估检测，计算交换产生的新个体的适应度。
接着进行选择，选择的目的是为了从交换后的群体中选出优良的个体，使它们有机会作为父代为下一代繁殖子孙。
变异，变异首先在群体中随机选择一定数量个体，对于选中的个体以一定的概率随机地改变串结构数据中某个基因的值，变异为新个体的产生提供了机会。
4、什么是泛函。
答：泛函是一种映射，是一个由向量空间到标量空间的映射。
泛函是一种变换，它把向量空间N R 的一个子集投影到R 标量空间中的一个元素。
泛函是函数的函数。
5、什么是鲁棒控制。
答：由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。
如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制。
二、问答题（20分）1、试述最优控制在控制领域中所处的位置。
答：最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 ，由贝尔曼提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
最优控制是现代控制理论的核心，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
2、试述菌群优化算法的工作原理。
答：菌群优化算法主要通过趋向性操作、复制操作和迁徙操作这三种操作迭代计算来求解问题。
大肠杆菌的整个生命周期就是在游动和旋转这两种基本运动之间进行变换（鞭毛几乎不会停止摆动），游动和旋转的目的是寻找食物并避开有毒物质。
第二篇最优控制理论习题答案
第二篇最优控制理论习题答案：2-1、求通过x(0)=1，x(1)=2，并使性能指标120(1)J xdt =+∫&为最小的曲线x(t)。
解：本题属于无约束(无状态方程约束)，始端和终端均固定的泛函极值问题，可用变分法求解。
被积函数 21,0,2,2L L d LL xx x x x dt x∂∂∂=+==⋅=∂∂∂&&&&&& 代入欧拉方程 0L d Lx dt x ∂∂−⋅=∂∂&, 得20x =&&, 即0x =&& 1xc =&, 12x c t c =+ (通解形式) 由边界条件 212(0)1(1)2x c x c c ==⎧⎨=+=⎩, 解之，得1211c c =⎧⎨=⎩ 故最优轨线为 *()1x t t =+2-2、求一阶系统()(),(0)1xt u t x ==&，当性能指标为12201()2J x u dt =+∫取最小值时的最优控制与最优轨线。
解：本题属于有约束，始端固定；终端时间f t 固定，()f x t 自由，控制u 无限制的泛函极值问题，可用变分法求解。
构造哈密顿函数 222211() ()22H x u u L x u λ=++=+注： 协态方程 H x x λ∂=−=−∂&, 即x λ=−& ① 极值条件/控制方程 0Hu uλ∂=+=∂, 即u λ=− ②由系统的状态方程 xu =&及②式，,x x λλ=−=−&&&& ③ 由①式及③式，得 xx =&& 故12()ttx t c e c e −=+ 12()()t t t xt c e c e λ−=−=−+& 代入边界条件11212(0)1(1)0,(1)(0)x c c c e c e λ−==+=−+=, [终端横截条件()f t f x t φλ∂=∂] 得 120.12,0.88c c ==最优轨线 *()0.120.88t tx t e e −=+ 最优控制 *()0.120.88t tu t e e −=−2-5、有一开环系统，包含放大倍数为4的放大器和一个积分环节。
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最优控制理论复习题
一、说明最优控制问题的含义。
二、说明在最优控制问题中性能指标的类型。
在终端时刻、终端状态固定的最优控制问题中，一般采用哪种类型的性能指标，为什么？
三、写出最速降线问题的数学模型：质量为m 的物体，在重力作用下，由0(，)0点下降至1(x ，)1y 点，求路径)(x y y =，使所用时间最短。
x 轴正向取水平向右方向，y 轴正向取垂直向下方向。
四、（条件极值问题）试求给定椭圆内长方体的最大体积，即在约束
1222222=++c z b y a x
的条件下，求xyz V 8=的最大值。
五、（泛函的变分）求泛函⎰=2
1
)(2t t dt t x J （)(t x 为宗量函数）的变分。
六、（欧拉方程与固定端点变分问题，泛函极值的充分条件）求泛函
⎰+=1
2)12(dt xt x
J 满足边界条件0)0(=x ，1)1(=x 的极值函数)(*t x ，并判别极值的性质。
七、（欧拉方程与固定端点变分问题）（1）利用公式αδαδ+∂∂=
x J [x 0]=α求
泛函⎰=f t t dt x x
x L J 0],,[ 的变分。
若已知端点情形00)(x t x =，f f x t x =)(，
00)(x t x '='，f
f x t x '=')(，求在此情形下的欧拉方程。
（2）利用以上结论，求泛函
⎰-+=112)8(dt
x x J
在边界条件)1()1()1()1(x x x x ==-=-0=下的极值曲线。
八、（可变端点的变分问题）设性能指标泛函
⎰+=f
t dt x
J 0
2/12)1( 其终端时刻f t 自由。
已知1)0(=x ，要求
f f f t t t x -==2)()(ϕ
求使泛函取极值的最优曲线)(*t x 及相应的*
f t 和*J 。
九、（应用变分法求解最优控制问题）设系统用以下状态方程描述
)(10)(0010)(t u t x t x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 状态向量[]T t x t x t x )()()(21=，性能指标泛函
⎰=20
2)(21
dt t u J 边界条件[]T x 11)0(=，[]T x 00
)2(=。
试求使性能指标泛函取极值的最优曲线
)(*t x 和最优控制)(*t u 。
十、（连续系统极大值原理）设系统方程及初始条件为
)()()(11t u t x t x
+-= ，1)0(1=x )()(12t x t x
= ， 0)0(2=x 其中1)(≤t u ，若系统终态)(f t x 自由，试求)(*t u 使性能指标
)1(2x J =
取极小。
十一、（无限时间LQR 问题）被控系统和性能指标分别为
)()()(21t u t x t x
+-= ，101)0(x x = )()(12t x t x
= ， 202)0(x x = dt t u t x u J )](1.0)([21)]([2022+=
⋅⎰∞ 试求最优控制)()(**t Kx t u -=，使性能指标达极小。
十二、（输出调节器问题）已知状态方程和输出方程
)(10)(0010)(t u t x t x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
[])(01)(t x t y = 状态向量[]T t x t x t x )()()(21=，性能指标泛函
dt t ru t y J )]()([21
2
02+=⎰∞，0>r
试构造输出调节器，使J 取极小。
（15分）
注：题目前括号中的说明指出了该题所属的内容。
矩阵A的元素（i,j）为状态xj[k]与xi[k+1]之间的路径增益，bi为输人与xi[k+1]之间的路径增益，ci为xi[k]与输出之间的路径增益，而do为输人－输出直通路径的增益。
图1 概括了上述关系。