最优控制理论复习题

最优控制理论复习题

一、说明最优控制问题的含义。

二、说明在最优控制问题中性能指标的类型。在终端时刻、终端状态固定的最优控制问题中，一般采用哪种类型的性能指标，为什么？

三、写出最速降线问题的数学模型：质量为m 的物体，在重力作用下，由0(，)0点下降至1(x ，)1y 点，求路径)(x y y =，使所用时间最短。x 轴正向取水平向右方向，y 轴正向取垂直向下方向。

四、（条件极值问题）试求给定椭圆内长方体的最大体积，即在约束

1222222=++c z b y a x

的条件下，求xyz V 8=的最大值。

五、（泛函的变分）求泛函⎰=2

1

)(2t t dt t x J （)(t x 为宗量函数）的变分。

六、（欧拉方程与固定端点变分问题，泛函极值的充分条件）求泛函

⎰+=1

2)12(dt xt x

J 满足边界条件0)0(=x ，1)1(=x 的极值函数)(*t x ，并判别极值的性质。

七、（欧拉方程与固定端点变分问题）（1）利用公式αδαδ+∂∂=

x J [x 0]=α求

泛函⎰=f t t dt x x

x L J 0],,[ 的变分。若已知端点情形00)(x t x =，f f x t x =)(，

00)(x t x '='，f

f x t x '=')(，求在此情形下的欧拉方程。（2）利用以上结论，求泛函

⎰-+=112)8(dt

x x J

在边界条件)1()1()1()1(x x x x ==-=-0=下的极值曲线。

八、（可变端点的变分问题）设性能指标泛函

⎰+=f

t dt x

J 0

2/12)1( 其终端时刻f t 自由。已知1)0(=x ，要求

f f f t t t x -==2)()(ϕ

求使泛函取极值的最优曲线)(*t x 及相应的*

f t 和*J 。

九、（应用变分法求解最优控制问题）设系统用以下状态方程描述

)(10)(0010)(t u t x t x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 状态向量[]T t x t x t x )()()(21=，性能指标泛函

⎰=20

2)(21

dt t u J 边界条件[]T x 11)0(=，[]T x 00

)2(=。试求使性能指标泛函取极值的最优曲线

)(*t x 和最优控制)(*t u 。

十、（连续系统极大值原理）设系统方程及初始条件为

)()()(11t u t x t x

+-= ，1)0(1=x )()(12t x t x

= ， 0)0(2=x 其中1)(≤t u ，若系统终态)(f t x 自由，试求)(*t u 使性能指标

)1(2x J =

取极小。

十一、（无限时间LQR 问题）被控系统和性能指标分别为

)()()(21t u t x t x

+-= ，101)0(x x = )()(12t x t x

= ， 202)0(x x = dt t u t x u J )](1.0)([21)]([2022+=

⋅⎰∞ 试求最优控制)()(**t Kx t u -=，使性能指标达极小。

十二、（输出调节器问题）已知状态方程和输出方程

)(10)(0010)(t u t x t x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

[])(01)(t x t y = 状态向量[]T t x t x t x )()()(21=，性能指标泛函

dt t ru t y J )]()([21

2

02+=⎰∞，0>r

试构造输出调节器，使J 取极小。（15分）

注：题目前括号中的说明指出了该题所属的内容。

矩阵A的元素（i,j）为状态xj[k]与xi[k+1]之间的路径增益，bi为输人与xi[k+1]之间的路径增益，ci为xi[k]与输出之间的路径增益，而do为输人－输出直通路径的增益。图1 概括了上述关系。