模拟退火算法中分形和相变现象_张贵清

文章编号:0465-7942(2012)06-0001-05

模拟退火算法中分形和相变现象

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张贵清1,　喻　孜1,　白　宇2,　杨秋英3(1.南京林业大学理学院物理系,江苏南京210037; 2.南开大学物理科学学院,天津300071;

3.常熟理工学院物理与电子工程学院,江苏常熟215500)

摘要:对模拟退火算法寻找极值的非线性动力学行为进行了研究.通过图像对比直观说明算法涉及的主要参数对寻优结果的影响,如初始温度、步长、退火速率等.适当控制模拟退火算法参量,画出步长、初值及最终所得到极值点的关系图像,在极大值吸引域附近对图像进一步放大,发现了和原图相似的图形和分形结构,分形维数为2维,将这一现象归原因于吸引子之间的相互作用.进一步对图形进行分析,发现随着初值的增加,最小值的寻优概率变化呈现很好的相变曲线和类渗流现象.

关键词:模拟退火;分形;类渗流;相变现象

中图分类号:O 41 文献标识码:A

0　引 言

模拟退火算法(Simulated Annealing ,简称为SA 算法)是启发式算法(Heuristic Alg orithm )的一种[1-6].模拟退火算法是自然计算的重要分支.Kirkpatrick S,Gelatt C D 和Vecchi M P 在1983年成功应用在组合优化问题中[1].而Cerny V 在1985年也独立发明此算法[2].由于模拟退火算法的特性,在寻优方面,能够避免陷入局部极小,得到全局最优解[7-12].

“模拟退火”的原理和金属退火的原理近似[11,13].退火是将材料加热后再经特定速率冷却,目的是增大晶粒的体积,减少晶格中的缺陷,材料中的原子原来停留在内能有局部最小值的位置,加热使能量变大,原子会离开原位置而随机在其他位置中移动.退火冷却时速度较慢,使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置,最终在晶格上瑕疵最小化.模拟退火算法在退火的过程中采用M etr opo lis 等提出的重要性采样法,即以概率接受新状态.具体而言,若当前状态为i ,产生的新状态j ,若两者能量E j

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.M andelbor t)首先提出的[14-15].按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但它们具有相似性,简单地说,就是把复杂对象的某个局部进行放大,其形态和复杂程度与整体相似.分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似.发现了类似于渗流的相变行为和相变特征

[16],同时在此渗流体系中得到了很好的自相似分形结构.第46卷　第1期

2013年2月南开大学学报(自然科学版)

A cta S cientiar um N atur alium U niver sitatis N ankaiensis V o l.46　№1

　Feb.2013

X 收稿日期:2011-09-20基金项目:国家自然科学基金(10675060,11247217);江苏省高校自然科学基金(10K JB14002);南京林业大学高学历

人才(B2010-14)作者简介:张贵清(1983-),男,江苏南京人,博士,副教授,主要从事理论物理和非线性动力学研究.email :

nkzhang gq @163.co m

1　算法的关键问题

模拟退火算法的关键问题包括新模型的产生、温度更新函数、循环终止准则,以上环节的设计将决定算法的性能.新模型产生步骤:(1)状态产生函数.为了展现SA 算法的寻优过程,以概率分布方式构造状态产生函数为:X i +1=X i +s (rand -0.5),其中X i +1与X i 分别为新旧状态值,s 是步长扰动系数因子,与解空间的规模(即未知数个数)有直接关系,r and 是(-1,1)均匀分布的随机数.(2)温度更新函数.用于在循环中修改温度值.初始温度较高采用指数退温策略[12]

即T k +1=aT k ,a 为退温速率.初始温度越高,获得高质量解的几率越大.(3)内循环终止准则,也即抽样稳定准则,用于决定在各温度下产生候选解的数目.记录使目标函数在该温度下达到最小值的状态函数值,作为降温后的状态参数初值,内循环采用定步长抽样,外循环采用定温度.外循环终止采用运行达到控制参数的终值要求标准,算法停止,即T

选取下面函数作为研究对象:

f =x (x -1)(x -2)(x -5)

(1)其特点是在区间[0,5]上有2个最小值(横坐标分别为x min 1=0.3990、x min2= 4.0565),1个极大值

(横坐标为x max1= 1.5444).函数图像如图1所示.

2.1　寻优结果随初始温度和结束温度的变化

模拟退火算法包括状态产生函数、状态接受函数、温度更新函数、循环终止准则等,这些环节的设计将直接决定退火算法的寻优性能.初始温度T 的选择对算法性能有很大影响.循环终止准则采取按一定的步数抽样,结束温度T 0成为衡量循环终止的实际参数.这一部分主要研究初始温度T 和结束温度T 0对寻找函数极值的影响.图2是数值模拟100次寻优结果的直方图分布.图2(a)表示的是初始温度T 逐渐升高,对函数寻优的影响.在其他参数不变的情况下,初温越高,找到全局最小的次数越多,但同时寻优时间也会相应增长;图2(b)表示的是随着结束温度的逐渐降低函数寻优的直方图分布,和初温相反,结束温度越低找到全局最优的概率越大.通过图2分析,在实际寻优过程中,应根据实际需要选择合适的初始温度和结束温度,在保证寻优结果的同时,尽可能的减少计算机寻优时间

.图1　f (x )=x (x -1)(x -2)(x -5)函数图像

Fig .1　Conf iguration of f unction f (x )=x (x -1)(x -

2)(x -5)图2　初始温度和结束温度对模拟退火寻优影响的直方图Fig .2　Histogram graph of global optimization f or diff erent initial and end temperature

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南开大学学报(自然科学版)第45卷