最新专题：正交曲线坐标系

考察第Ⅰ项
A1h1q1 A1h1q1 A1h1q1 A1h1 q1
A1h1
q1
q1
A1h1
q2
q2
A1h1
q3
q3
q1
(qi
1 hi
eˆi
)
A1h1
q2
q2
q1
A1h1
q3
q3
q1
1 h1h2
A1h1
q2
eˆ2
eˆ1
1 H1H3
A1h1
q3
eˆ3 eˆ1
1 h1h2
(A 3 h 1 h 2 q 1 q 2 ) h 1 h 1 2 h 3 (h 1 h q 2 3 A 3 )
证毕
旋度
A A 1 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 1 A 2 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 2 A 3 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 3
(A 1q h1 2h3) q1( q2 q3)
1 (A1h2h3) h1h2h3 q1
(qi
1 hi
eˆi
)
同理可得
(A 1 h 2 h 3 q 2 q 3 ) h 1 h 1 2 h 3 (A 1 q h 1 2 h 3 )
(A 2 h 3 h 1 q 3 q 1 ) h 1 h 1 2 h 3 (h 1 q A 2 2 h 3 )
专题：正交曲线坐标系
柱坐标系：
Cylindrical coordinates
x rco s
y
r
sin
z z
x2 y2 z2
arc tg
y x
z z
Cylindrical coordinates
Spherical coordinates
梯度
ijk x y z
dq1 dq2 dq3
q1 x
q2 x
q3 x
q1 y
q2 y
q3 y
q1 z
dx
q2 z
q3 z
dy dz
x x x
dx dy dz
q1 y q1 z
q2 y q2 z
q3 y q3 z
dq1 dq2 dq3
q1 q2 q3
考察第Ⅰ项
( ALeabharlann Baidu1 h 2 h 3 q 2 q 3 ) A 1 h 2 h 3 ( q 2 q 3 ) ( A 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 )
( q 2 q 3 ) q 3 ( q 2 ) q 2 ( q 3 ) 0
( A 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 ) ( A 1 q h 1 2 h 3 ) q 1 ( A 1 q h 2 2 h 3 ) q 2 ( A 1 q h 3 2 h 3 ) q 3 ( q 2 q 3 )
h 1 1 q 1e ˆ1 h 1 2 q 2e ˆ2 h 1 3 q 3e ˆ3
梯度
证明： ( q 1 i q 1 j q 1 k ) ( x i y j z k ) ?
x y z q 1 q 1 q 1
qi qi(x,y,z)
xi xi(q1,q2,q3)
( q 1 i q 1 j q 1 k ) ( x i y j z k ) 1
x y z q 1 q 1 q 1
r q1 q1 1
q1
r q1
1
qi
r qi
1
考虑到 q i 沿等值面 qi C 的外法线方向（即 eˆ i ）
以及
r qi
hieˆ i
qi
1 hi
eˆi
ijk x y z
qi
1 hi
eˆi
(q1q2q3)i(q1q2q3)j(q1q2q3)k q1x q2 x q3 x q1y q2 y q3y q1z q2 z q3 z
(q1iq1jq1k)(q2iq2jq2k)(q3iq3jq3k) q1 x y z q2 x y z q3 x y z
A1h1
q2
eˆ3
1 h1h3
A1h1
q3
eˆ2
1 h1h2h3
A1h1
q3
h2eˆ2
A1h1
q2
h3eˆ3
同理可得
A 2 h 2 q 2 h 1 h 1 2 h 3 A q 2 1 h 2 h 3 e ˆ 3 A q 2 3 h 2 h 1 e ˆ 1 A 3 h 3 q 3 h 1 h 1 2 h 3 A q 3 2 h 3 h 1 e ˆ 1 A q 3 1 h 3 h 2 e ˆ 2
h 1 d q 1 h 2 d q 2 A 3 q 3 d q 3 h 1 d q 1 h 2 d q 2 A 3 q 3 ( h 1 h q 2 3 A 3 ) d q 1 d q 2 d q 3
(h1qA22h3)dq1dq2dq3
(A1qh12h3)dq1dq2dq3
散度 A A 1 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 1 A 2 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 2 A 3 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 3
q1q1 q2q2 q3q3h11q1eˆ1h12 q2eˆ2h13 q3eˆ3
证毕
散度
矢量 A A 1 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 1 A 2 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 2 A 3 ( q 1 , q 2 , q 3 ) e ˆ 3
A h 1 h 1 2 h 3 (A 1 q h 1 2 h 3 ) ( h 1 q A 2 2 h 3 ) ( h 1 h q 2 3 A 3 )
h1eˆ1 A 1
h1h2h3 q1 A1h1
h2eˆ2 q2
A2h2
h3eˆ3 q3 A3h3
(qi
1 hi
eˆi )
证明： A P e ˆ 1 Q e ˆ 2 R e ˆ 3
(qi
1 hi
eˆi )
A 1 h 1 q 1 A 2 h 2 q 2 A 3 h 3 q 3
A h 1 h 1 2 h 3 (A 1 q h 1 2 h 3 ) ( h 1 q A 2 2 h 3 ) ( h 1 h q 2 3 A 3 )
证明： A ( e ˆ1 h 1 1 q 1 e ˆ2h 1 2 q 2 e ˆ3 h 1 3 q 3 )
( A 1 h 2 h 3 q 2 q 3 h 1 A 2 h 3 q 3 q 1 h 1 h 2 A 3 q 1 q 2 )