关于“分式线性映射及不动点“的讨论
第七讲 分式线性变换
第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d adbc cz d+=∈-≠+£且的分式函数,即等价于 :f →＃,az b z w cz d +→=+为分式线性变换. f 是£上的双射.设()az b w f z cz d +==+,1()b dw z f w z cw a --=⇒=-,即1()dw b f w cw a --+=-. 1f -也是分式线性变换.特别地,11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b af cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞⎧=⎪⎪+⎪∞==⎪+⎨⎪=-⎪⎪-+⎪∞==--⎩1 反演变换形如1w z=的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换(1)平移变换:(),()f z z h h =+∈£(如图7.2).(2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=⋅∈¡(如图7.3).(3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图7.4).综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=⋅+.引理1形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d+=∈-≠+£且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线性变换.证明:(⇒) case1:0()az b a b c f z z d d d+=⇒==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c-≠⇒=⋅++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→→⋅→⋅++++ (⇐) 设''()''a zb g zc zd +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('')aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++=+++ 为分式线性变换.证毕.反演变换的性质✓ 保圆周性定理2 分时线性变换()az b f z cz d+=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一)Q ()az b f z cz d +=+是1w z=和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z=的情形. 圆周曲线的方程为0Azz Bz Bz C +++=其中,2,,A C B AC ∈>¡.(当0A =时,是直线方程).代入1w z=得到 0Cww Bw Bw A +++=依然为圆周曲线的方程.得证.(方法二)(1)圆周方程也可写为0z z r -=如图7.5,在反演变换1w z=下,像可写为 case1:圆周不过原点0z ≠(即0z r ≠)时,像为0222200z r w z r z r -=--依然是圆周曲线的方程. case2:圆周过原点0z =(即0z r =),像为001z w z w +=01(Re())2z w =,得证.(2)直线方程0(,,,)ax by c z x iy a b c ++==+∈¡,即Re(())a ib z c -=-,在反演变换下:case1:当0c ≠时,像是圆周曲线22a ib a ib w c c--+=. case2:当0c =时,像是直线Re(())0a ib w +=.✓ 保交比性定义 在£中取1234,,,(,,1,2,3,4)i j z z z z z z i j ≠=,则交比314112344232(,,,):z z z z z z z z z z z z --=--. 注:若4z =∞,则31123432(,,,)z z z z z z z z -=-. 保交比性 分时线性变换()az b f z cz d +=+,设()(1,2,3,4)i i w f z i ==,则 12341234(,,,)(,,,)w w w w z z z z =.ex1: 已知圆周11z -=上有三点1230,2,1z z z i ===+(如图7.6),求()az bf z cz d+=+使得1(0),(1),(2)12i f f i f -=∞+==. 解:由保交比性得1(,1,,)(0,2,1,)2i w i z -∞=+,即 110(1)0::112(1)212z i i w z i -+-=---+--(3)4()(1)i z f z i z --⇒=-.✓ 保边界性复函数()w f z =,其定义域D 为区域,则值域()f D 也是区域；设D ∂是D 的边界,则()f D ∂是()f D 的边界.若指定D ∂定向,则()f D ∂保持定向.注:沿区域D 的边界行走时,区域D 总在左边(如图7.7).ex2:如图7.8,设1{|Im 0},()D z z f z z=>=,求()f D . 解:D 边界{}D ∂=实数轴,()f D ∂也是()f D 的边界,由1w z =知()f D D ∂=∂,所以()f D 边界仍为实轴.D ∂Q 定向从左到右,由1w z=知()f D ∂定向从右到左()f D ⇒必是下半平面.✓ 保对称性称平面上的点12,z z 关于圆周或直线C 对称,设12,z z ∈£,case1:当C 为直线时,12,z z 关于C 对称,即通常意义下是镜像对称； case2:当C 为圆周时, C 的方程为0z z r -= 12,z z 关于C 对称21020012()(),,z z z z r z z z ⇔--=⇔三点一线,并且他们之间的距离满足21020z z z z r -⋅-=.若()az b f z cz d +=+且12,z z 关于C 对称,则12(),()f z f z 关于()f C 对称.ex3:求()az b f z cz d+=+满足 ()0,arg '(),{|Im 0},(){|1}2f i f i D z z f D w w π==-=>=<(如图7.9).解: i -Q 与i 关于实轴对称,由保对称性()f i -与()f i 关于()f D 对称()f i ⇒-=∞可推出()()k z i f z z i-=+ 由保边界性,0D ∈∂Q 故(0)()f f D ∈∂,即(0)1f =(0)(0)0k i f k i-==-+Q (0)1f k ∴== ∴可设i k e θ=,则()()i e z i f z z i θ-=+ 22'()()i i f z e z i θ∴=⋅+代入z i =得 ()21'()()arg '()222i i i f z e e f z πθθπθ-=-=⇒=- 由条件得01k θ=⇒= ()z i f z z i-∴=+. 更一般的变换()w f z =在D 上解析且'()0,f z z D ≠∀∈,称:()f D f D →为解析变换.✓ 保角性如图7.10,θ是曲线12,C C 在点P 处的夹角,则12(),()f C f C 在点()f P 处的夹角也是θ.设曲线[]0:(),,,()C z z t t P z t αβ=∈=,在点P 处的切线方向为0000'()|'()'()'()t t z t z t x t iy t ==+@,设曲线°[]:(),,C z z t t αβ=∈%%,曲线°C在点P 处的切线方向为 0'()z t % C ∴与°C 在点P 处的夹角0'()z t @与0'()z t %的夹角θ,即00'()arg '()z t z t θ=%,如图7.11. 设:()f D f D →解析变换(也就是解析函数),f 在0z z =处满足0'()0f z ≠,同上,设°,C C 在0z z =处相交(记号同上)如图7.12解析函数()w f z =是C 对应的方程,有000000'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =⋅⇒=+ (1)解析函数°()w f z =%是°C对应的方程,有 °°000000'()'(())'()arg '()arg '()arg '()w t f z t z t w t f z z t =⋅⇒=+%%% (2) 上(1)(2)两式相减得°0000'()'()arg arg '()'()w t z t w t z t =% 由定义°0000'()arg '()'()arg '()w t w t z t z t ϕθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩% 由上式得θϕ=,该性质称为保角性.注:00'()0arg '()f z f z ≠⇒有定义.引理1 设()w f z =在D 上解析且'()0,f z z D ≠∀∈,则f 在D 上每点保角. 注:若f 是D 上单叶解析函数,则:()f D f D →称为共形映射(保形映射).。
6-2分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
17
试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
9
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
10
三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
19
y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
分式线性映射
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
§3 分式线性映射
装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。
注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。
((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。
(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。
当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。
所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。
规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。
2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。
也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。
2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。
定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。
复变函数填空
11．设iz 101103+-=，则=_z ____. 12．方程i z 31ln π+=的解为____. 13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.15．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.16．若在幂级数∑∞=0n nn zb 中，i b b nn n 43lim1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.1．复数1-cos ϕ+i sin ϕ (0＜ϕ≤π) 的指数形式为 ______ ； 2．方程 z =x +iy =t 2+2ti （t 是实参数）给出的曲线是 ______ ；3．函数w =z1将z 平面上的曲线 (x -1)2+y 2=1变成 w 平面上的______； 4．∫c dz = ______ ，其中C 是连接起点为 a 终点为 b 的一条简单曲线； 5．刘维尔定理： ______； 6．（平均值定理）如果函数f (z ) 在圆｜z -z 0｜＜R 内解析，在 ｜z -z 0｜≤R 上连续，则 f (z 0)=______ ；7．方程z 7-5z 4+z 2-2=0 在单位圆内有______个根．8．幂函数 w =e z 将带形区域 d ∶0＜Im z ＜π共形映射成区域D ： ______． 1.设z =x +iy ，则|e i-2z |=________； 2.方程z =(1+i )t （t 是实参数）给出的曲线是_____；3.关系式11z 1-z <+所表示的z 点的轨迹是________； 4.z a z c nd )(1⎰-=________，其中C 表示以a 为圆心，ρ为半径的圆周，而n 为整数； 5.设区域D 的边界是周线C ，f （z ）在D 内解析，在D =D +C 上连续，则有柯西积分公式f (z )=________(z ∈D )；6.当|z |＜1时，幂级数1+z +z 2+…+z n -1+…的和函数为________；7.设在圆环K ：r ＜|z -a |＜R （0＜r ＜R ＜+∞）上有表示式f (z )=∑+∞-∞=-n n n a zc)(，则c m =________(m =0,±1,…)；8.如果f (z )________，则称f (z )在点z 0解析。
浅谈分式线性变换的性质及应用
浅谈分式线性变换的性质及应用1 分式线性变换的定义在复变函数中，如果)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称它为D 内的共形映射. 形如dcz baz w ++=(1)其中0≠-bc ad 且R d c b a ∈,,,,称为分式线性变换,简记为)(z L w =,可变形为acw bdw z -+-=('1)且(1)式总可以分解成下列简单类型变换的组合: (Ⅰ)h kz w += (0≠k ) 称为整线性变换 (Ⅱ)zw 1=称为反演变换 由上可知分式线性变换是共形映射中的一种常见的基本变换,是扩充复平面到自身的一对一的映射.德国数学家A.F.Mobius 对此作过大量的研究,所以在很多文献中分式线性变换也称为Mobius 变换.2 分式线性变换的性质分式线性变换作为共形映射的一种基本变换,具有四个重要的性质,这些性质使它具有了很多的优点:在处理边界为圆弧或直线的区域变换中发挥了重要的作用,使复杂问题简单化.下面将给出它的四个重要性质.2.1 分式线性变换的保形性 定义1)289](1[P 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α.按照上面的定义,反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的,且整线性变换在扩充z 平面上是保角(形)的,由此我们得出 定理1)290](1[P 分式线性变换(1)在扩充z 平面上是保形的.2.2 分式线性变换的保交比性 定义2)291290](1[-P 扩充z 平面上有顺序的四个相异点1z ,2z ,3z ,4z 构成下面的量,称为它们的交比,记为(1z ,2z ,3z ,4z )(1z ,2z ,3z ,4z )=2414z z z z --:2313z z z z --注 当四点中有一个点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 定理2 在分式线性变换下,四点的交比不变. 证明 设 dcz baz w i i i ++= 4,3,2,1=i则))(())((d cz d cz z z bc ad w w j i j i j i ++--=- (j i ≠)利用上式可得(1w ,2w ,3w ,4w )=23132414:w w w w w w w w ----=2414z z z z --:2313z z z z --=(1z ,2z ,3z ,4z ) 证完.2.3 分式线性变换的保对称点性 定义3)294](1[P 1z ,2z 关于圆周γ:R a z =-对称是指1z ,2z 都在过圆心a 的同一条射线上,且合221R a z a z =--.此外,我们规定圆心a 与点∞关于γ对称. 在介绍定理之前先引入一引理如下: 引理)295](1[P 扩充z 平面上两点1z ,2z 关于圆周γ对称的充要条件是通过1z ,2z 的任意圆周都与γ正交.定理3 设扩充z 平面上两点1z ,2z 为关于圆周C 的一对对称点,那么在分式线性变换)(z L w =下,它们的象点1w =)(),(221z L w z L =两点也是关于圆周C 的象曲线圆周Γ的一对对称点.证明 设 过1w 及2w 的任何圆周'Γ,都是过1z ,2z 的圆周'C 由分式线性变换（1）变换而来,由上面的引理, 过1z ,2z 的任意圆周'C 都与C 正交,根据分式线性变换的保形性,过1w ,2w 的任何圆周'Γ与圆周Γ正交,又由引理知1w ,2w 关于Γ对称.证完.2.4 分式线性变换的保圆(周)性定理4 在分式线性变换(1)下,扩充z 平面上的圆周共形映射成扩充w 平面上的圆周. 证明 在圆周方程0)(22=++++D Cy Bx y x A (2) 中,令2_z z x +=,iz z y 2_-=,_22z z y x =+则(2)变为0___=+++D z z z Az ββ (3) 注 ,,,,R D C B A ∈AD >2β(在0=A 时,表示一直线),)(21iC B -=β. 在分式线性变换(1)下,利用('1)及 _______aw c b w d z -+-=(3)式变成扩充w 平面上的圆周0___=+++F w w w Ew γγ 其中Aba Dab a b a b Ab F cDc d c d c d Ad E -=++-=++-=γββββ__________)()(都是实数(在0=E 时,方程表示直线) 证完.3 分式线性变换的应用分式线性变换从几何角度“形”的方面对解析函数进行研究，是复变函数的重要组成部分，在复变函数中它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中具有重要的作用,即任给两个圆周(或直线)C 及Γ,必存在一个分式线性变换,它把C 保形变换到Γ,若在C 上按逆时针方向取三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上也是按逆时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,且这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的左(右)侧区域;若在C 上按逆时针方向取的三个点)3,2,1(=i z i 相应地变到Γ上按顺时针方向的三个点)3,2,1(=i w i ,则这个分式线性变换将C 所围的左(右)侧区域变到Γ所围的右(左)侧区域.下面是几个典型的分式线性变换.3.1 将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换例1 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成dcz baz w ++=,其中R d c b a ∈,,,且0>-bc ad (4)证明 )(21Im _w w iw -=)(21__dz c b z a dcz b az i ++-++=)(21_2z z d cz bcad i -+-=z dcz bc ad Im 2+-=此时它必将下半平面共形映射成下半平面.注将上半z 平面共形映射成下半w 平面的分式线性变换dcz baz w ++=只需让上式（4）中条件0<-bc ad ，它必将下半z 平面共形映射成上半w 平面.3.2 将上半平面共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例2 求出将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换,并使上半平面上一点)0(Im >=a a z 变为0=w .解 如图根据分式线性变换的保对称点性,点a 关于实轴的对称点_a ,应该变到0=w 关于单位圆周的对称点∞=w ,这个变换应当具有形式_az a z kw --=其中k 是常数, k 值的确定,可使实轴上的点,例如0_=z 共形映射成单位圆周上的一点_aa kw =所以k aa k==_1因此,可以令βi e k =(β是实数),最后得到所求的变换为 _az a z e w i --=β(0Im >a ) （5）此时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆外部1>w .注 如果将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆周外部1>w ,只需将（5）式中括号里的条件变为0Im <a ,同时它必将下半平面0Im <z 共形映射成单位圆内部1<w .3.3 将单位圆周内部共形映射成单位圆周内部的分式线性变换例3 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周1<w 的分式线形变换,并使一点)1(<=a a z 变到0=z .解 如图)(z L w =由题意,所求的映射应将z 平面上的单位圆1:=z C 变为w 平面上的单位圆1:'=w C .由于要把点)1(<=a a z 变为点0=w ,而关于圆周C 与点a 对称的点是_1a,关于圆周'C 与点0=w 对称点是∞,由分式线形变换的保对称点性知,所求映射应将点a z =共形映射成点0=w ,将点_1az =共形映射成点∞=w .不妨设所求分式线性变换为_'1az az kw --=,'k 为待定系数. 即za a z k a w _'_1---=令'_k a k -=得za a z kw _1--=为确定k ,利用C 上的点的象在'C 上,取点1=z 代入上式应满足1=w ,即111_=--=aa kw所以1=k ,从而得θi e k =,(θ为任意实数).所以 za a z e w i _1--=θ,(1<a ,θ为任一实数). （6）此时它必将单位圆周外部1>z 变到单位圆周外部1>w .注 求将单位圆周1<z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换只需让（6）式括号中1>a 即可;同时,它必将单位圆周外部1>z 共形映射成单位圆周内部1<w .3.4 分式线性变换的综合应用综上所述,我们可求出任意圆形区域(含半平面)到圆形区域的线性变换,若没有任何其它要求,这种线性变换的表达式中包含了两个任意常数,因此,这种变换有无穷多个;如果指定区域内某点的象,则相应的这一点关于圆周(或直线)的对称点应变到相应象点关于象圆周的对称点,这样线性变换中就剩下一个任意复常数;圆的位置变换可经平移得到,圆心在原点的圆可用)0(>=ααz w 使圆放大或缩小,这样我们就可以将任意圆形域(含半平面)变成任意的圆形域(含半平面).例4 求将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0的分式线性变换)(z L w =,使符合条件0)(w i L =,.0)('>i L解 做分式线性变换Rw w 0-=ξ 将圆R w w <-0共形映射成单位圆1<ξ.然后,作出上半平面0Im >z 到单位圆1<ξ的共形映射,使i z =变成0=ξ,该分式线性变换为iz iz ei +-=θξ (为了应用以上三例的结果,我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面——ξ平面.)复合以上两个分式线性变换得iz iz e R w w i +-=-θ0 它将上半z 平面共形映射成圆R w w <-0，i 变成0w .又由条件0)('>i L 可得()ie i z iz i z e dzdw R i iz i iz 2112θθ=++-+=== 也就是 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=2'221Re πθθi i e R i i L所以 i e i ===-θπθπθ,2,02故所求分式线性变换为 0w iz iz Riw ++-= 从以上讨论得到分式线性变换作为一类特殊的共形映射有很好的性质,保圆性、保对称点性、保形性、保交比性，并且分式线性变换能将圆形区域(含半平面)变成规则的区域,它有很多用途.总结分式线性变换的这些特性对我们以后的学习会很有帮助的.而上述这些从性质和应用两方面说明了分式线性变换的重要性，鉴于此，我尝试对该领域内主要贡献者的观点进行归纳整理，力求使该部分内容更加清晰、系统，并从几何角度对分式线性变换作全面分析，更加体现出分式线性变换的重要作用.参考文献：[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005[2] 余家荣. 复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2005[3] 肖荫庵. 复变函数论[M].吉林: 东北师范大学出版社,1987[4] 于慎根、杨永发、张相梅. 复变函数与积分变换[M].天津：南开大学出版社，2006[5] 钟玉泉. 复变函数学习指导[M].北京: 高等教育出版社，2005[6] 杨林生. 复变函数[M].北京: 高等教育出版社，2001[7] 郑建华. 复变函数[M]. 北京: 清华大学出版社，2005[8] 方企勤. 复变函数教程[M]. 北京: 北京大学出版社，2003[9] James Ward Brown、Ruel V. Churchill （邓冠铁译）复变函数及应用[M].机械工业出版社，2006[10] 郭洪芝、腾桂兰. 复变函数[M]. 天津：天津大学出版社，2002。
第2节 分式线性映射
复变函数
2. w=az
这是一个旋转与伸长（或缩短)的映射。
事实上，设z re i ei , 那么w rei( ) .
(z)=(w) w
因此，把z先旋转一个角度a，
再将 |z| 伸长(或缩短）到
z
|a|= 倍后， 就得到w 右图. o
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线性映射。
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复变函数 二、 分式线性映射的分解
设有线性映射 w ( 0) 把它化为
( ) ( )
w
( ) 1
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复变函数
3. w=1\z
先讨论 圆C的一对对称点。
T
如果有两点p 和p'满足关系式 r
op op r 2 那么我们就称这 O P
P
两点为关于圆周C的对称点。此外，我们规定，
无穷远点的对称点是圆心O 。
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复变函数
将映射w 1 z
分解为w1
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复变函数
这表明z'. 在C上，而Γ的切线就是C的半径， 因此Γ与C正交。
(充分性) 设是经过z1 z2 且与C正交的任一圆周， 那么连接z1与z2 的直线作为 的特殊情形。
（半径为无穷大的圆）必与C正交， 因此必过z0 。
又因 与C于交点z’处正交，因此C的半径z0 z' 就是 的切线。
反演映射
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共形映射-分式线性映射
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
w(t0 ) f (z0 )z(t0 ) 0 Argw(t0 ) Argf (z0 ) Argz(t0 )
2.分式线性映射的保角性
Def. 两条曲线在的夹角定义为这两条曲线在映射w 1
下的像曲线在原点的夹角,且方向相同.
z
Thm. 分式线性映射在扩充复平面上处处保角. Proof .只要验证w az b(a 0)与w 1的保角性. z
(1) w az b(a 0)的保角性
Review
(对数留数定理) f 在简单正向闭曲线C上解析且
非零, 在C内部除有限个极点外处处解析,则
1 f (z)
2i C
dz N ( f ,C) P( f ,C). f (z)
对数留数的几何意义
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
1
2
C Argf
(z)
绕原点的圈数
C1
:
1 z1 (t
)
与C2
:
1 z2 (t)
在
0的夹角.
1, 2在w 的夹角等于映射
与2
:
1 az2 (t)
b
在
0的夹角.
1 w
下1
:
1 az1 (t )
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
第2节分式线性变换PPT课件
Department of Mathematics
1
一 分式线性变换及其分解
1 分式线性变换概念
(1) 函数
w az b ,
ab adbc0
(7.3),
cz d c d
称为分式线性变换,简记为 w L(z).
(2) 在扩充z平面上补充定义
c0,L(d),L()a;
c
c
c0,L().
即: z 1
z 1
且,z都在过单位圆
与
z
关
于
单
位
圆
对
称
的
性
质
.
心O的同一条直线上,
8
例1
试将线性变换 w
3z 4 iz 1
分解为简单变换的复合.
解
w 3z 4
3
i
(iz 1)
3 i
4
iz 1
iz 1
3 i
3 4i i(iz 1)
(3 4i) 1 z i
3i
因此可分解为
:1, 1
相当于z3 .
15
2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设 wk则 cazzkw k kd bwj k ((ac zdk1 ,2 bd,c3 ))(,(c4 zzk,jzdj)),
因此
(w1,w2,w3,w4)
w4 w4
w1 w2
:
w3 w3
w1 w2
(ad bc)( z4 z1) (ad bc )( z3 z1 )
即
w w
位似(伸缩)
w w h 平移
5
旋转与伸长(或缩短)变换
w ei z
线性映射讲义
第七章 线性映射§7.1线性映射（一）教学目的：①理解线性映射的定义，掌握线性映射的性质②掌握线性映射单，满的刻划教学重点与难点：线性映射的定义，性质以及单射，满射的刻划授课内容与过程：一 基本概念定义1：线性映射：设σ是V 到W 的一个映射，如果下列条件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射.（ⅰ）对于任意()()()V ξησξησξση∈++，，=； （ⅱ）对于任意()(),,a F V a a ξσξσξ∈∈=.注：1：要验证一个映射是否为线性映射只须验证（ⅰ）（ⅱ）两条即可.2：定义中的（ⅰ）（ⅱ）⇔（ⅲ）,,,a b F V ξη∀∈∀∈有()()()a b a b σξησξση+=+证明（略）二 举例例1 令A 是数域F 上一个m n ⨯矩阵.对于n 元列空间nF 的每一向量12n x x x ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，规定：()A σξξ=.()σξ是一个1m ⨯矩阵，即是空间m F 的一个向量.根据矩阵运算的性质，易证σ是一个映射并且对于,,na F F ξη∈∈，我们有()()()()()()()();A A A a A a a A a σξηξηξησξσησξξξσξ+=+=+=+===所以，σ是nF 到mF 的一个线性映射.例2 对于[]F x 的每一多项式()f x ，令它的导数()f x '与它对应.根据导数的基本性质.这样定义的映射是[]F x 到自身的一个线性映射.例3令[],C a b 是定义在[],a b 上一切连续实函数所成的R 上向量空间.对于每一()[],f x C a b ∈，规定()()().xaf x f t dt σ=⎰()()f x σ仍是[],a b 上一个连续实函数.根据积分的基本性质，σ是[],C a b 到自身的一个线性映射.三 几个特殊的线性映射1：零映射：令V 和W 是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量ξ，令W 的零向量0与它对应，这是V 到W 的一个线性映射，叫做零映射，即：:fV Wξ→.2：位似：令V 是数域F 上一个向量空间，取定F 的一个数k ，对于任意V ξ∈，定义()k σξξ=容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射.这样一个线性映射叫做V 的一个位似. 注：单位映射和零映射都是位似的特殊情形.思考与练习：设V 是数域F 上一个一维向量空间.证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是：对于任意V ξ∈，都有()a σξξ=这里a 是F 中一个定数. 3：nF 上一个线性型.取定F 上的一个n 元数列()12,,,n a a a ，对于n F 的每一向量()12,,,n x x x ξ=，规定()1122n n a x a x a x F σξ=+++∈容易验证，σ是nF 到F 的一个线性映射.这个线性映射也叫做F 上一个n 元线性函数或nF 上一个线性型.四 线性映射的一些基本性质性质1：线性映射将零向量映成零向量. 证明（略） 性质2：任意12,,,n a a a F ∈和任意12,,,n V ξξξ∈都有()()()()11221122n n n n a a a a a a σξξξσξσξσξ+++=+++.[可用数学归纳法证明]设σ是向量空间V 到W 的一个线性映射，如果V V ⊆'，那么(){}|V σξξ'∈是W 的一个子集，叫做V '在σ之下的像，记作()V σ'.设W W '⊆，则(){}|V W ξσξ'∈∈是V 的一个子集，叫做W '在σ之下的原像.定理7.1.1：设V 和W 是数域F 上向量空间，而:V W σ→是一个线性映射.那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间. 证明：设V '是V 的一个子空间.如果ξ，η是()V σ'的任意向量，那么总有,V ξη'∈，使()(),ξσξηση==因为σ是线性映射，所以对于任意,a b F ∈，()()()a b a b a b ξησξσησξη+=+=+但V '是V 的子空间，所以 a b V ξη'+∈，因而()a b V ξησ'+∈这就证明了()V σ'是W 的一个子空间.现在设W '是W 的一个子空间.令V '是W '在σ之下的原像.显然0V '∈.如果,V ξη'∈，那么()(),W σξση'∈.因为σ是线性映射而W '是子空间，所以对于任意,a b F ∈，()()()a b a b W σξησξση'+=+∈即a b V ξη'+∈.这就证明了V '是V 的一个子空间.特别，向量空间V 在σ之下的像是W 的一个子空间，叫做σ的像，记作()Im σ，即()(){}()Im |V V σσξξσ=∈=.另一方面，W 的零子空间{}0在σ之下的原像是V 的一个子空间，叫做σ的核，记作()Ker σ，即()(){}|0Ker V σξσξ=∈=下面，我们给出线性映射是单，满射的刻划.定理7.1.2：设V 和W 是数域F 上向量空间，而:V W σ→是一个线性映射，那么 （ⅰ）σ是满射()Im W σ⇔=. （ⅱ）σ是单射(){}0Ker σ⇔=证明：论断（ⅰ）是显然的.我们只论断（ⅱ）.如果σ是单射，那么()Ker σ只能含有唯一的零向量.反过来设(){}0Ker σ=.如果,V ξη∈而()()σξση=.那么()()()0σξησξση-=-=，从而(){}0Ker ξησ-∈=，所以ξη=，即σ是单射.（注：在证明过程中主要向学生灌输证明映射是单射，满射的方法）作业： P120 1，3。
第四节 分式线性映射
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
§6.2 分式线性映射
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
分式映射
再由 w ' ( i ) > 0先求得
dw dz z+i−z+i = Re ( z + i )2
iθ iθ
z=i
z=i
1 = Re 2i
iθ
1 R i (θ − π2 ) 即 w' ( i ) = Re = e 2i 2
∴θ −
π
2
=0 θ =
π
2
e =i
iθ
z−i 故w = Ri + w0 z+i
在 w平面上也任意给定三个 相异的点 w1 , w 2 , w 3 ⇒ ∃ 唯一的分式线性映射 f ( z ) :
f f : zk ⎯ ⎯→ w k ( k = 1,2,3 )
az + b 证明 设w = (ad − bc ≠ 0), 将z k ( k = 1,2,3)依次 cz + d az k + b → w k ( k = 1,2,3), 即w k = ( k = 1,2,3) cz k + d
例5
中心分别在 z = 1与 z = − 1, 半径为 2的二 z−i 圆弧所围区域 , 在映射 w = 下映成 z+i 什么区域 ?
解
两圆弧的交点为 − i与 i , 且互相正交 , 交点 z=i→w=0 z = −i → w = ∞
∴ 映射后的区域是以原点 为顶点张角为 角形区域 .
(第三象限的点 )
式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
(1) 点 z 1 , z 2 , z 3 ⎯由 ⎯ ⎯ → 点 w 1， w 2， w 3
$①
②
且 等式两边依次同时变为 0 , ∞ ,1 .
③ 式(1)左端的式子通常称为四
7月浙江自考复变函数试题及答案解析
1浙江省2018年7月自学考试复变函数试题课程代码：10019一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1．i 2012=_________.2．若函数f (z )在|z |≤1上解析，且f (z )≡0(|z |=1)，则f (21)=_________. 3．⎰-Cdz z )1(=_________，其中C 是|z |=1的上半部分逆时针方向. 4．n n in z e ∑∞=12的收敛半径是_________. 5．设f (z )=cos z 3，则f (9)(0)=_________.6．n ni i )1()1(-+=_________.7．函数cos z -sin z 在z =∞处的留数为_________.8．点1+i 关于单位圆周|z |=1的对称点是_________.二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1．函数f (z )=z-11在单位圆|z |<1内一致连续.( ) 2．若-π<arg f (z )≤π，则arg f (z )在复平面上除去原点外都连续.( )3．对任意的复数z 及整数m ，都成立(e z )m =e mz .( )4．若复级数∑∞=1n n α绝对收敛，则任意排它各项的次序所得的级数也绝对收敛，但其和改变.( )5．每一个幂级数都收敛于一个解析函数.( )6．分式线性映射的不动点至多为2个.( )2 7．若f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内解析，则u (x ,y ),v (x ,y )在区域D 内都是调和函数.( )三、完成下列各题(本大题共6小题，每小题5分,共30分)1．设z =-i 2321+，求满足等式z n =z 且大于1的最小正整数n . 2．讨论函数f (z )=(x 2-y 2-x )+i (2xy -y 2)在z 平面上的可微性与解析性.3．证明：方程9z 4=sin z 在|z |<1内有4个根.4．求级数∑∞=1n n nz (|z |<1)的和函数. 5．求函数f (z )=⎰=-1||ξξξξξd z e 在区域1<|z |内的洛朗(Laurent )展开式. 6．求z e z-1cos 在z =0处的留数.四、（本大题10分）证明：设连续曲线C ∶z =z (t )，t ∈［α,β］，有z ′(t 0)≠0(t 0∈［α,β］)，则曲线C 在点z (t 0)有切线.五、（本大题10分）求积分I =⎰-+C dz z z )2)(1(1的值，其中C 为|z |=r >0,r ≠1,2. 六、（本大题10分）求出函数f (z )=443)π(sin )3()1(z z e z --在扩充复平面上的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的阶）.七、（本大题10分） 求出将角形区域2πarg 4π<<-z 映为上半平面Im w >0，且使点1-i ,i ,0映为2,-1,0的映射.。
分式线性变换及其映射性质
当四点中有一点为,应当将包含此点项用1代替. 如:z1 ,即有
1 1 (, z2 ,z3 ,z4 )= : . z4 z2 z3 z2
定理6.2.2 对于扩充z上任意三个不同的点 z1 , z2 , z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1 , w2 , w3 ,
存在唯一的分式线性函数, 把z1 ,z2 ,z3分别映射成 w1 , w2 , w3 .
~~~~~~~~
P'
x
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
T
设给定圆C :| z z0 | R(0 R )，如果两个有限点 z1与z2在过点z0的同一条射线上, 且 |z1 z0 | | z2 z0 | R 2 . 则称z1与z2为关于圆C的对称点.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2 w w1 z z1 z3 z1 : . w w2 z z2 z3 z2
(6.2.4) (6.2.5)
上两式左右两边分别称为w1 , w2 , w3及z1 ,z2 ,z3的交比, 记作( w1 , w2 , w3 , w)及( z1 , z2 , z3 , z ).
z0
z1
z2
引理6.2.1 不同两点z1与z2是关于C的对称点 通过z1与z2的任何圆与圆C直交. 证 如果C是直线或者C是半径为有限的圆, 而且 z1与z2之中有一个是无穷远点,引理显然成立.
现在考虑C :| z z0 | R(0 R ), 且 z1与z2是有限点的情形.
必要性() 设z1与z2是关于C的对称,
P'
第六章6.3分式线性映射
三、分式线性映射的几种特性
3、保对称点性
定理 设点 z1, z2关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理
的象点 w1, w2也关于象曲线 C 对称。
6.7
O z1 C
z2 Γ Γ
O w1 C
Γ w2 Γ
21
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 w az b 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
6.3 则称 A 和 B 是关于圆周 C 对称的。
自然地，规定圆心 O 与无穷远点关于该圆周对称。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
w
1 z
令 z | z |ei ,
则有
w
到
单位圆外(或内)，且辐角反号。
结论
w
1 z
是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。
zi
解
方法一 分解为四种简单映射
πi
w 2 2e 2
1
.
zi
1
πi
z zi
平移
z1
z1 倒数
z2
e 2 z2
旋转
z3
2z3 相似
z4
z4 2 平移
w
i
πi
e 2 z2
旋转
2i
zi 平移
2z3 相似 1
1 z1
倒数
z4 2 平移
2i 1
12
例 求直线 C {z : Imz 1} 在映射 w 2z 下的像曲线。 zi
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，
而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。