直线和抛物线的关系

1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
相交: 直线和抛物线有两个公共点，或一 个公共点(直线和抛物线的对称轴平 行或重合). 相切: 直线和抛物线有且只有一个公共点, 且直线和抛物线的对称轴不平行也 不重合. 相离: 直线和抛物线没有公共点.
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
y L2 O L4 L1
2 直线和抛物线方程联立的方程组 解的个数与位置关系
若消元得到二次方程,则
0 方程组一组解 相切 0 方程组没有解 相离
若消元得到一次方程，则方程组只有一组 解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相 交关系.
0
方程组两组解
相交
课堂小结
1、判断直线 L与圆锥曲线C的位置关系时， 可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y 得一个关于变量X的一元方程ax2+bx+c=0
（1）当a ≠0时，则有⊿>0， L与C相交
⊿=0， L与C相切
⊿<0， L与C相离
（2）当a=0时，即得到一个一次方程，则 L与C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则L 与双曲线的渐 近线平行；
若C为抛物线， 则L平行于抛物线的对称轴
当直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点时， 直线 与双曲线（抛物线）可能相切，也可能相交。 在讨论直线与圆锥曲线交点个数问题时，不 要仅由⊿来进行判断，一定要注意平方项的 系数对交点的影响。
x
L3
例1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线 x 2 (1)相交,(2)相切,(3)相离?
解：由方程组{
2y
y 2x b 消去 y ，并整理得 2 x 2y
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b) (1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切
(3)当 0即b<-2时，直线与抛物线相离
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x 只有一个公共点的直线的方程.
2
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
x 0 由{ 2 y 2x
x 0 得 { y 0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, y kx 1 由方程组 { y 2 2x 消去 y 得
完成创新作业或优化 设计的对应练习
格的笑声渐渐地小了下去。雅思琦静静地看着这壹切，知道这个冰凝妹妹算是把淑清和宋姐姐都得罪了。第壹卷 第六十七章 偏架虽然后院 诸人之间争风吃醋对她这个嫡福晋是百利而无壹害，但是眼前这个新来的冰凝小妹妹，比自己小了二十岁，跟自己幼年已殇的弘晖阿哥同龄， 如果不是嫁进这王府，这个天仙妹妹就是做自己的儿媳妇都富富有余，因此竟是心生了 ； https:///u/5028959491 mgh14nei 隐隐的不忍，本能地暗暗帮冰凝拉了壹次偏架：“好了，好了，什么学问不学问的，这府里就爷学问最大，要学你们都跟爷学去，要比试也 跟爷去比。”福晋壹开口，大家暂时止了声。冰凝壹听福晋的这番话，知道是被李姐姐和宋姐姐带进了陷阱里，现在壹屋子的人都是看她的笑 话，暗恨自己怎么会着了那两位姐姐的道儿。不过，现在说什么都晚了，唯有承认错误才是上策，于是赶快接口道：“福晋姐姐，冰凝才疏学 浅，自是不敢与爷相比。”“自己也先别说学问浅学问深的，来，冰凝妹妹，姐姐考考你，宋姐姐的闺名是‘春枝’，这个你怎么解释？”雅 思琦知道宋姐姐不高兴，因此借考冰凝这个问题，算是给宋姐姐壹个台阶下。冰凝答得好，宋姐姐脸上有面子，自然高兴，也会暂时放过壹马； 冰凝答得不好，那就是这个孩子自己没有本事的事情，她也算是仁至义尽，全凭年妹妹自己的造化了。“春枝？福晋姐姐，您是说宋姐姐的闺 名是春枝吗？多美的壹个名字啊！真的是太美了！”“什么？太美了？”宋格格不敢相信自己的耳朵，从来没有人说过她的名字有多美，她只 知道自己的爹娘就是壹介凡夫俗子，王府里随便壹个诸人的出身都她强太多了，这些妹妹们也因此而壹直瞧不起自己，要不是因为自己是爷的 第壹个诸人，怎么可能在这府里有壹席立足之地？从来不曾知道，自己那大字不识的爹娘居然还能给自己起壹个很美的名字？从来只知道自己 的名字是如此的俗不可耐，和美是壹点儿也沾不上关系，这个年妹妹居然说自己的名字简直是太美了！这怎么可能？因此，她斜着眼睛望向冰 凝，倒要看看这个年妹妹怎么解释她的名字。“宋姐姐的名字真的是非常非常美，出自宋代大诗词家秦观的诗句：‘有情芍药含春泪，无力蔷 薇卧晓枝’，福晋姐姐，您说宋姐姐的这个名字是不是真的好美啊！”“唉呀，年妹妹，别看你人小，这张小嘴真是甜。我说宋姐姐，冰凝妹 妹刚刚说你这名字美，我还不知道怎么壹个美法，现在听她这么壹解释，果然是美得不行呢。”听到冰凝如此解释了宋姐姐的闺名，雅思琦那 颗心总算是落进了肚子里，而且也是心服口服。这年妹妹别看年龄小，学问实在是太高了，宋姐姐那俗不可耐的名字都让她解释得这么美，怪 不得爷会急急火火地向皇上亲请赐婚。这天仙妹妹不但学问高，模样还美，家世又
3 5
，
此时 y=1， 所求点的坐标为P(1,1).
另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物 线相切,则切点即为所求.
设切线方程为 2x-y+C=0， 联立 y x 2 得 x 2 2x C 0 ()
由 Δ (2)
2
4 (C) 0
得 C=-1
又由（ ）得 x=1，∴y=1. 故所求点的坐标是（1，1）. 点评 0
2 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 . 当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
1 此时直线方程为 y x 1. 2
1 Δ 4(k 1) 4k 0, k . 2
2 2
1 当 k=0时，x= ,y=1. 2
1 综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1. 2 点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会 造成漏解。
例3 在抛物线 y x 上求一点，使它到直线 2x-y-4=0的距离最小.
2
解：设P(x,y)为抛物线 y x 上任意一点， 则P到直线2x-y-4=0的距离
2
| 2x y 4 | | 2x x 4 | | (x 1) 3 | d 5 5 5
2 2
当且仅当 x=1 时， d min