电磁场、微波技术与天线图文 (1)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果f和F分别是变量的标量函数和矢量函数，则它们的 积的导数由式(1-2-1)
d fF lim f f F + F fF f lim F F lim f lim F f
du
u 0
u
u0 u
u0 u u0 u
当Δu→0时，上式右端第三项趋向于零。因此有
d fF f dF F df
(与er垂直) (与eθ垂直) (与eφ垂直)
(1-1-9)
体积元是 dτ=dlr dlθ dlφ=r2 sinθ dr dθ dφ
(1-1-10)
第1章 矢量分析
1.1.2
由图1-1-4所示的几何关系，可直接写出三种坐标系的
1. 直角坐标系与柱坐标系的关系
x cos
y
sin
z z
x2 y2
因为只有在直角坐标系中各点的坐标单位矢量方向是固 定的，而在柱坐标系和球坐标系中的各单位坐标矢量的方向 随空间点位置的变化而变化，所以为了判断场是否均匀，最 好将柱、球坐标系的矢量转换为直角坐标系的矢量。
第1章 矢量分析
(1) 由式(1-1-18)
Ex cos
Ey
sin
Ez 0
sin cos
eer
sin cos
0 0
cos e
sin
e
e 0 1 0 ez
(1-1-19)
e sin
e
0
ez cos
cos
0
sin
0 1
er e
0 e
(1-1-20)
第1章 矢量分析
图1-1-5 直角坐标系与柱坐标系 的坐标单位矢量之间的关系
第1章 矢量分析
图1-1-6 柱坐标系与球坐标系的
解 在空间任一点P(x，y，z)
利用例1-1-1
A=xex+yey+zez
A x cos y sin A x sin y cos
Az z
第1章 矢量分析
代入x=ρ cosφ， y=ρ sinφ Aρ=ρ Aφ=0 Az=z
A=ρeρ+zez
A=rer 可见，位置矢量在不同坐标系下得到的表达式是不同的。
第1章 矢量分析
例1-1-3 试判断下列矢量场E (1) 在柱坐标系中E=eρE1 sinφ+eφE1cosφ+ezE2，其中E1、 E2 (2) 在球坐标系中E=erE0，其中E0是常数。
第1章 矢量分析
解 均匀矢量场E的定义是：在场中所有点上，E的模处 处相等，E的方向彼此平行。只要这两个条件中有一个不符
(2) E=erE0，虽然这一矢量场在各点的模是一个常数， 但它的方向是er的方向。显然在不同点，er的方向是不同的， 所以它不是均匀矢量场。
利用式(1-1-22)，将球坐标单位矢量转换为直角坐标单
E = er E0 ex E0 sin cos ey E0 sin sin ez E0 cos
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
1.1 三种常用的坐标系 1.2 矢量函数的微积分 1.3 标量函数的梯度 1.4 矢量函数的散度 1.5 矢量函数的旋度 1.6 场函数的微分算子和恒等式
第1章 矢量分析
1.1 三种常用的坐标系
1. 直角坐标系中的三个坐标变量是x、y、z，如图1-1-1所 示，它们的变化范围是
e e e e ez ez ez 0
0 r
0 π 0 2π
第1章 矢量分析
图1-1-3 球坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点M(r，θ，φ)的坐标单位矢量为er、eθ、eφ， 如图1-1-3所示，它们相互正交，并遵循er×eθ=eφ的右手螺旋 法则。必须注意，er、eθ和eφ的方向都因M点位置的变化而 变化，但三者之间总是保持上述正交关系。在点M的任一矢 量A可表示为
x y z
空间任一点M(x，y，z)的x坐标变量是点M到平面yOz的 垂直距离，y坐标变量是点M到平面xOz的垂直距离，z坐标 变量是点M到平面xOy
第1章 矢量分析
图1-1-1 直角坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点的坐标矢量记为ex、ey、ez，它们相互正 交，而且遵循ex×ey=ez的右手螺旋法则。ex、ey、 ez的方向 不随M点位置的变化而变化，这是直角坐标系的一个很重要 的特征。在直角坐标系内的任一矢量A可表示为
2 z2
z
2 z2
(1-1-15) (1-1-16)
第1章 矢量分析
1.1.3 三种坐标系坐标单位矢量之间的关系
直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的 坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。因此， 这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-5表示出来， 这种变换关系写成矩阵形式为
x x
ex Ex ey Ex ez Ez
Ex
ex x
ex
Ex x
Ey
ey x
ey
Ey x
Ez
ez x
ez
Ez x
wk.baidu.com
ex
Ex x
ey
Ey x
ez
Ez x
第1章 矢量分析
在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常 矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到微分符号之外。 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量的偏导数是：
可以看出，θ=0°时， E的方向是沿z轴的；而当θ=90°时， 则没有z轴分量，这清楚地说明E在不同点有不同的方向。
第1章 矢量分析
1.2 矢量函数的微积分
1.2.1 矢量函数的导数
若一个矢量，无论是模还是方向， 或两者都是一个自
设F(u是单变量u的矢量函数，矢量函数F(u)对u的导数 定义为
dF lim F lim F u +Δu F u
e sin
sin sin cos sin
cos
cos ex
sin
e y
(1-1-21)
0 ez
ex sin cos
e y
sin
sin
ez cos
cos cos cos sin
sin
sin er
cos
e
(1-1-22)
0 e
第1章 矢量分析
例1-1-1 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为 A=Aρeρ+Aφeφ+Azez，试求出它在直角坐标系下的各分量大小。
A e A e A ez Az
(1-1-3)
第1章 矢量分析
在点M(ρ，φ，z)处沿eρ、eφ、ez方向的长度元分别是
dl d dl d
dlz dz
(1-1-4)
第1章 矢量分析
与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是
dS
dl dlz
ddz
dS dldlz ddz
dSt dldl dd
(与ex垂直) (与ey垂直) (与ez垂直)
(1-1-2)
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系(简称柱坐标系)中的三个坐标变量是ρ、φ、 z，如图1-1-2所示。z变量与直角坐标系的相同，是点M到 xOy平面的垂直距离；ρ是点M到z轴的垂直距离；将点M在 xOy平面投影为M′， φ是OM′与x轴的夹角。各变量的变化范
0
0 E cos
0
E
sin
1 Ez 0
sin cos
0
0 E1 sin 0
0
E1
cos
E1
1 E2 E2
第1章 矢量分析
E=eyE1+ezE2
E的模 E E12 E22 常数 ，E与y轴的夹角为 arctan E2 常数 E1
所以E
第1章 矢量分析
0
0
2π
z
第1章 矢量分析
图1-1-2 柱坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点M(ρ，φ，z)的坐标单位矢量为eρ、eφ、ez， 如图1-1-2所示，它们相互正交，并遵循eρ×eφ=ez的右手螺旋 法则。值得注意的是，除ez外，eρ、eφ的方向都随M点位置 的变化而变化，但三者之间总是保持上述正交关系。在M点 的任一矢量A可表示为
解 利用式(1-1-17)
Ax A ex Ae ex Ae ex Azez ex A cos A sin Ay A ey Ae ey Ae ey Azez ey A sin A cos
Az A ez Ae ez Ae ez Azez ez Az
arccos
z
x2 y2 arcsin
x2 y2 z2
x2 y2 z2
arctan
y
arcsin
y
arccos
x
x
x2 y2
x2 y2
(1-1-13) (1-1-14)
第1章 矢量分析
3. 柱坐标系与球坐标系的关系
r sin
z r cos
r 2 z2
arcsin arccos
arctan
y x
arcsin
zz
y arccos x2 y2
x x2 y2
(1-1-11) (1-1-12)
第1章 矢量分析
图1-1-4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
第1章 矢量分析
2. 直角坐标系与球坐标系的关系
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r
x2 y2 z2
fF F f
f F
u1
u1 u1
(1-2-4)
第1章 矢量分析
对 F 再次取偏微分又可以得到诸如 2F 、 2F
u1
u12
u1u2
等这样一些矢量函数。若F至少有连续的二阶偏导数，则有
2F
2F
u1u2 u2u1
在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其导数
为零。利用式(1-2-4)则有
E
第1章 矢量分析
直角坐标系和球标系的坐标单位矢量间关系要用三维空 间图形才能表示出来，其图解要复杂一些。但利用前面得到 的坐标单位矢量之间的相互转换关系，将式(1-1-17)代入式 (1-1-19)，将式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到
er e
sin cos
cos cos
A ex Ax ey Ay ez Az
(1-1-1)
第1章 矢量分析
由点M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分别取微分长度元dx、 dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；z，z+dz这六个面决定一个直 角六面体，它的各个面的面积元是
dS dS
x y
dydz dxdz
dSz dxdy
A er Ar e A e A
(1-1-7)
第1章 矢量分析
在点M(r，θ，φ)处沿er、eθ、eφ方向的长度元分别是
ddllr
dr
rd
dl r sin d
(1-1-8)
第1章 矢量分析
与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是
dSr dl dl r2 sin dd dS dlrdl r sindrd dS dlrdl rdrd
体积元是:
(与eρ垂直) (与eφ垂直) (与ez垂直)
dτ=dlρ dlφ dlz=ρ dρ dφ dz
(1-1-5) (1-1-6)
第1章 矢量分析
3. 球坐标系中的三个坐标变量是r、θ、φ，如图1-1-3所示， r是点M到原点的直线距离，θ是正方向z轴与连线OM之间的 夹角，θ称为极角，φ与柱坐标系的相同，φ称为方位角。它
第1章 矢量分析
Ax cos
Ay
sin
Az 0
sin cos
0
0 A
0
A
1 Az
显然，上式与式(1-1-18)一致。其他坐标系的矢量变换 可以类似得到，它们与坐标单位矢量的变换是一致的。
第1章 矢量分析
例1-1-2 写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量表 达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球坐标系下的
du u0 u u0
u
(1-2-1)
第1章 矢量分析
这里假定此极限存在。在一般情况下，矢量的增量ΔF不一 定与矢量F的方向相同，如图1-2-1所示，一阶导数dF/du仍 然是一个矢量函数。逐次求导，就可得到F的二阶导数 d2F/du2以及更高阶导数。
第1章 矢量分析
图1-2-1 矢量微分示意图
第1章 矢量分析
du
du du
(1-2-2)
第1章 矢量分析
可见，f和F之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导数
如果F是多变量(如u1，u2，u3)的函数，则对一个变量u1 的偏导数的定义是
F u1,u2,u3 lim F u1 u1,u2,u3 F u1,u2,u3
u1
u1 0
u1
(1-2-3)
对其余变量的偏导数有相同的表达式。由式(1-2-3)可以 证明
e cos
e
sin
ez 0
sin cos
0
0 ex
0
ey
1 ez
(1-1-17)
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
(1-1-18)
第1章 矢量分析
柱坐标系和球坐标系都有一个φ变量，有一个共同的坐 标单位矢量eφ，而其他坐标矢量都落在过z轴的平面内。因 此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-6表示 出来，将这种变换关系写成矩阵形式为
d fF lim f f F + F fF f lim F F lim f lim F f
du
u 0
u
u0 u
u0 u u0 u
当Δu→0时，上式右端第三项趋向于零。因此有
d fF f dF F df
(与er垂直) (与eθ垂直) (与eφ垂直)
(1-1-9)
体积元是 dτ=dlr dlθ dlφ=r2 sinθ dr dθ dφ
(1-1-10)
第1章 矢量分析
1.1.2
由图1-1-4所示的几何关系，可直接写出三种坐标系的
1. 直角坐标系与柱坐标系的关系
x cos
y
sin
z z
x2 y2
因为只有在直角坐标系中各点的坐标单位矢量方向是固 定的，而在柱坐标系和球坐标系中的各单位坐标矢量的方向 随空间点位置的变化而变化，所以为了判断场是否均匀，最 好将柱、球坐标系的矢量转换为直角坐标系的矢量。
第1章 矢量分析
(1) 由式(1-1-18)
Ex cos
Ey
sin
Ez 0
sin cos
eer
sin cos
0 0
cos e
sin
e
e 0 1 0 ez
(1-1-19)
e sin
e
0
ez cos
cos
0
sin
0 1
er e
0 e
(1-1-20)
第1章 矢量分析
图1-1-5 直角坐标系与柱坐标系 的坐标单位矢量之间的关系
第1章 矢量分析
图1-1-6 柱坐标系与球坐标系的
解 在空间任一点P(x，y，z)
利用例1-1-1
A=xex+yey+zez
A x cos y sin A x sin y cos
Az z
第1章 矢量分析
代入x=ρ cosφ， y=ρ sinφ Aρ=ρ Aφ=0 Az=z
A=ρeρ+zez
A=rer 可见，位置矢量在不同坐标系下得到的表达式是不同的。
第1章 矢量分析
例1-1-3 试判断下列矢量场E (1) 在柱坐标系中E=eρE1 sinφ+eφE1cosφ+ezE2，其中E1、 E2 (2) 在球坐标系中E=erE0，其中E0是常数。
第1章 矢量分析
解 均匀矢量场E的定义是：在场中所有点上，E的模处 处相等，E的方向彼此平行。只要这两个条件中有一个不符
(2) E=erE0，虽然这一矢量场在各点的模是一个常数， 但它的方向是er的方向。显然在不同点，er的方向是不同的， 所以它不是均匀矢量场。
利用式(1-1-22)，将球坐标单位矢量转换为直角坐标单
E = er E0 ex E0 sin cos ey E0 sin sin ez E0 cos
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
1.1 三种常用的坐标系 1.2 矢量函数的微积分 1.3 标量函数的梯度 1.4 矢量函数的散度 1.5 矢量函数的旋度 1.6 场函数的微分算子和恒等式
第1章 矢量分析
1.1 三种常用的坐标系
1. 直角坐标系中的三个坐标变量是x、y、z，如图1-1-1所 示，它们的变化范围是
e e e e ez ez ez 0
0 r
0 π 0 2π
第1章 矢量分析
图1-1-3 球坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点M(r，θ，φ)的坐标单位矢量为er、eθ、eφ， 如图1-1-3所示，它们相互正交，并遵循er×eθ=eφ的右手螺旋 法则。必须注意，er、eθ和eφ的方向都因M点位置的变化而 变化，但三者之间总是保持上述正交关系。在点M的任一矢 量A可表示为
x y z
空间任一点M(x，y，z)的x坐标变量是点M到平面yOz的 垂直距离，y坐标变量是点M到平面xOz的垂直距离，z坐标 变量是点M到平面xOy
第1章 矢量分析
图1-1-1 直角坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点的坐标矢量记为ex、ey、ez，它们相互正 交，而且遵循ex×ey=ez的右手螺旋法则。ex、ey、 ez的方向 不随M点位置的变化而变化，这是直角坐标系的一个很重要 的特征。在直角坐标系内的任一矢量A可表示为
2 z2
z
2 z2
(1-1-15) (1-1-16)
第1章 矢量分析
1.1.3 三种坐标系坐标单位矢量之间的关系
直角坐标系和柱坐标系都有一个z变量，有一个共同的 坐标单位矢量ez，其他坐标矢量都落在xOy平面内。因此， 这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-5表示出来， 这种变换关系写成矩阵形式为
x x
ex Ex ey Ex ez Ez
Ex
ex x
ex
Ex x
Ey
ey x
ey
Ey x
Ez
ez x
ez
Ez x
wk.baidu.com
ex
Ex x
ey
Ey x
ez
Ez x
第1章 矢量分析
在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不是常 矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到微分符号之外。 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量的偏导数是：
可以看出，θ=0°时， E的方向是沿z轴的；而当θ=90°时， 则没有z轴分量，这清楚地说明E在不同点有不同的方向。
第1章 矢量分析
1.2 矢量函数的微积分
1.2.1 矢量函数的导数
若一个矢量，无论是模还是方向， 或两者都是一个自
设F(u是单变量u的矢量函数，矢量函数F(u)对u的导数 定义为
dF lim F lim F u +Δu F u
e sin
sin sin cos sin
cos
cos ex
sin
e y
(1-1-21)
0 ez
ex sin cos
e y
sin
sin
ez cos
cos cos cos sin
sin
sin er
cos
e
(1-1-22)
0 e
第1章 矢量分析
例1-1-1 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为 A=Aρeρ+Aφeφ+Azez，试求出它在直角坐标系下的各分量大小。
A e A e A ez Az
(1-1-3)
第1章 矢量分析
在点M(ρ，φ，z)处沿eρ、eφ、ez方向的长度元分别是
dl d dl d
dlz dz
(1-1-4)
第1章 矢量分析
与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是
dS
dl dlz
ddz
dS dldlz ddz
dSt dldl dd
(与ex垂直) (与ey垂直) (与ez垂直)
(1-1-2)
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系(简称柱坐标系)中的三个坐标变量是ρ、φ、 z，如图1-1-2所示。z变量与直角坐标系的相同，是点M到 xOy平面的垂直距离；ρ是点M到z轴的垂直距离；将点M在 xOy平面投影为M′， φ是OM′与x轴的夹角。各变量的变化范
0
0 E cos
0
E
sin
1 Ez 0
sin cos
0
0 E1 sin 0
0
E1
cos
E1
1 E2 E2
第1章 矢量分析
E=eyE1+ezE2
E的模 E E12 E22 常数 ，E与y轴的夹角为 arctan E2 常数 E1
所以E
第1章 矢量分析
0
0
2π
z
第1章 矢量分析
图1-1-2 柱坐标系
第1章 矢量分析
过空间任意点M(ρ，φ，z)的坐标单位矢量为eρ、eφ、ez， 如图1-1-2所示，它们相互正交，并遵循eρ×eφ=ez的右手螺旋 法则。值得注意的是，除ez外，eρ、eφ的方向都随M点位置 的变化而变化，但三者之间总是保持上述正交关系。在M点 的任一矢量A可表示为
解 利用式(1-1-17)
Ax A ex Ae ex Ae ex Azez ex A cos A sin Ay A ey Ae ey Ae ey Azez ey A sin A cos
Az A ez Ae ez Ae ez Azez ez Az
arccos
z
x2 y2 arcsin
x2 y2 z2
x2 y2 z2
arctan
y
arcsin
y
arccos
x
x
x2 y2
x2 y2
(1-1-13) (1-1-14)
第1章 矢量分析
3. 柱坐标系与球坐标系的关系
r sin
z r cos
r 2 z2
arcsin arccos
arctan
y x
arcsin
zz
y arccos x2 y2
x x2 y2
(1-1-11) (1-1-12)
第1章 矢量分析
图1-1-4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
第1章 矢量分析
2. 直角坐标系与球坐标系的关系
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r
x2 y2 z2
fF F f
f F
u1
u1 u1
(1-2-4)
第1章 矢量分析
对 F 再次取偏微分又可以得到诸如 2F 、 2F
u1
u12
u1u2
等这样一些矢量函数。若F至少有连续的二阶偏导数，则有
2F
2F
u1u2 u2u1
在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其导数
为零。利用式(1-2-4)则有
E
第1章 矢量分析
直角坐标系和球标系的坐标单位矢量间关系要用三维空 间图形才能表示出来，其图解要复杂一些。但利用前面得到 的坐标单位矢量之间的相互转换关系，将式(1-1-17)代入式 (1-1-19)，将式(1-1-20)代入式(1-1-18)可以得到
er e
sin cos
cos cos
A ex Ax ey Ay ez Az
(1-1-1)
第1章 矢量分析
由点M(x，y，z)沿ex、ey、ez方向分别取微分长度元dx、 dy、dz。由x，x+dx；y，y+dy；z，z+dz这六个面决定一个直 角六面体，它的各个面的面积元是
dS dS
x y
dydz dxdz
dSz dxdy
A er Ar e A e A
(1-1-7)
第1章 矢量分析
在点M(r，θ，φ)处沿er、eθ、eφ方向的长度元分别是
ddllr
dr
rd
dl r sin d
(1-1-8)
第1章 矢量分析
与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别是
dSr dl dl r2 sin dd dS dlrdl r sindrd dS dlrdl rdrd
体积元是:
(与eρ垂直) (与eφ垂直) (与ez垂直)
dτ=dlρ dlφ dlz=ρ dρ dφ dz
(1-1-5) (1-1-6)
第1章 矢量分析
3. 球坐标系中的三个坐标变量是r、θ、φ，如图1-1-3所示， r是点M到原点的直线距离，θ是正方向z轴与连线OM之间的 夹角，θ称为极角，φ与柱坐标系的相同，φ称为方位角。它
第1章 矢量分析
Ax cos
Ay
sin
Az 0
sin cos
0
0 A
0
A
1 Az
显然，上式与式(1-1-18)一致。其他坐标系的矢量变换 可以类似得到，它们与坐标单位矢量的变换是一致的。
第1章 矢量分析
例1-1-2 写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量表 达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球坐标系下的
du u0 u u0
u
(1-2-1)
第1章 矢量分析
这里假定此极限存在。在一般情况下，矢量的增量ΔF不一 定与矢量F的方向相同，如图1-2-1所示，一阶导数dF/du仍 然是一个矢量函数。逐次求导，就可得到F的二阶导数 d2F/du2以及更高阶导数。
第1章 矢量分析
图1-2-1 矢量微分示意图
第1章 矢量分析
du
du du
(1-2-2)
第1章 矢量分析
可见，f和F之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导数
如果F是多变量(如u1，u2，u3)的函数，则对一个变量u1 的偏导数的定义是
F u1,u2,u3 lim F u1 u1,u2,u3 F u1,u2,u3
u1
u1 0
u1
(1-2-3)
对其余变量的偏导数有相同的表达式。由式(1-2-3)可以 证明
e cos
e
sin
ez 0
sin cos
0
0 ex
0
ey
1 ez
(1-1-17)
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
(1-1-18)
第1章 矢量分析
柱坐标系和球坐标系都有一个φ变量，有一个共同的坐 标单位矢量eφ，而其他坐标矢量都落在过z轴的平面内。因 此，这两种坐标系的坐标矢量及其关系可以用图1-1-6表示 出来，将这种变换关系写成矩阵形式为