数学建模

论文题目

考虑不同因素与估测深井深度的关系

领航队

论文指导教师：王爱武

解题指导教师：王瑞兵

队长：刘永强学号:100421124 专业：10届采煤四班

队员：刘向栋学号:100421125 专业：10届采煤四班

队员：施超超学号: 090412029 专业：09届采矿一班

2011年五月二十五日

目录

摘要 (2)

关键词 (2)

问题的提出 (3)

模型的假设 (3)

符号说明 (3)

问题分析 (4)

模型建立 (5)

模型的求解 (8)

模型的检验 (10)

模型的评价 (11)

模型的推广 (11)

参考文献 (11)

附录 (12)

摘要

“深井估测”数学模型是通过计算井深来探讨空气摩擦力和回声时间对所研究结果的影响，减少误差对实验结果的负面影响。由于空气阻力和回声分别对石子下落加速度和时间造成影响，利用数学知识/物理知识并联系实际问题，作出相应解答和处理。问题一为理想状态下测井深度，考虑到它属于物理中的自由落体运动，故建立数学模型。接下来，关于模型求解问题顺理成章。问题二，在考虑空气阻力影响的情况下并假设空气阻力与石块下落速度成正比，通过牛顿第二定律列出相应方程运用数学微积分的原理最终可化为路程与时间的函数式并建立模型求解。问题三和问题二类似，不同的是空气阻力与石块下落速度二次方程正比，也需要运用武力和数学建模相关知识。问题四和实际联系最大，因为在现实生活中不仅要考虑阻力，更有回声声速对时间的影响，而该题的关键是分别求出三种情况的时间，进而求得井深。此问运用物理微分方程列式并借助数学软件求解。

关键词：重力加速度、自由落体、回声、空气阻力、微分学、函数

一．问题的提出

现实生活中，我们常常借助一些高科技仪器进行深度估测。如果我们身上仅带着一只具有跑表功能的计算器，而且规定我们仅能利用此估测深井深度，然而由于外界环境的不定性和多变性，假设我们仅考虑理想状态即下落过程中仅考虑物体受重力作用，则可以测出较准确的洞深。我们必须多方面考虑各种因素包括摩擦力和声速。为此，我们必须通过合理的方案，将各种情况进行综合分析并比较，最后得出一个一种最精确，考虑最全面的方案，将测量误差达到最低，达到最终估测的目的。 二 模型的假设

1 洞内不含其它积聚气体，防止因气体密度不均影响石块受力。

2 无论井多深人都能听到回声而且跑表正常工作，保证四次实验中仅有所研究的变量，不考虑其他变量。

3洞内地形简单，两壁无影响，保证石块顺利碰到洞底。 4 洞内空气均匀且为常温15摄氏度，声速传播为340m/s 。

5洞内物体的重力加速度g=9.82

m

s 。

三，符号说明

四、问题的分析

问题一由题意可知，目的是为了建立一种模型解决深井的深度问题。本问石子运动属于物理中的自由落体，忽略空气的阻力引入这一理想化模型而且石子只在重力作用下。从静止开始运动，顺理成章想到相应模型。问题一中可直接建立井深与时间关系。根据题中所给的数据，可算出井深。而问题二，微积分方式求解，以牛顿第二定律为条件，求解出井深与时间的方程。问题三和问题二类似。根据牛顿第二定律列式并对其进行一系列微分、积分，得到最终结果。问题四考虑到回声的影响。此处我们假设声速为15摄氏度下的数值----340米每秒，

分别列数学模型并计算出各自井深与时间的函数表达式，最终得到各自的最优解 五，模型的建立 模型一

本模型中，先以石块下落过程为理想状态为假设，建立出自由落体函数模型后，得出深井深度

1. s=v 0t +1/2at

２

2. v 0

=0

3. a=g

4.

s=1/2gt 2

模型二

本模型中，通过考虑石块受空气阻力且阻力与速度成一次线性关系，以牛顿第二定律为基础构建微积分模型(2)

111

111

111

10

11

1

(1)

k t

v t

m

dv a mg k v ma dt

dv dt

mg k v m

dv dt mg v e mg k v m k -=-==-=

=--⎰

⎰

由牛顿第二定律得由以上两式可得两边积分可得

经计算

又由于

由以上两式联立并整理可以得到：

11

(1)k t m

mg ds e

dt

k -=-

两边积分后可得到：

积分并整理可以得到

111

()k t

m

mg m s t e

c

k k -=++

经计算22

1m g

c k -=

所以

12

2

11

1

()k t

t

m mg m m g s t e

k k k --=++

模型三

本模型中，通过石块受空气阻力f 与v 成二次线性比例，同理以牛顿第二定律为基础构建微积分和函数模型

2

2221

22

2222220

0222421

1

*1(21-*

321*

3v t dv

a mg k v ma dt

dv dt

mg k v m

dv dt e v mg k v m In e e In s In c =-==--==-+=+=⎰

⎰由牛顿第二定律得由以上两式可得两边积分可得经计算

模型四