赵树嫄微积分第四版第一章 函数

对偶律： A B A B A B AB
例1 证明对偶律 A B A B . 证明 设 x A B ， 则 x A B ，
即 x A 且 x B ，于是 x A 且 x B ， 因此 x A B ， 所以 A B A B ； 反之，若 x A B ， 即 x A 且 x B ，
如果a是集合A的元素，则记作 aA，读作a属于A；
如果a不是集合A的元素，则记作 aA ，读作a不属于A。
常见数集的记号：
自然数集 N { 0,1, 2, 3, , n, }
整数集 Z { 0, 1, 2, 3, , n, }
正整数集 Z {1, 2, 3, , n, } 有理数集 Q { p | p N , q Z ,且 p, q 互素}
例如：A = { 2, a, b, 9 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } (2) 描述法：给定一个条件 P(x)，当且仅当元素 a 使 P(a) 成立时，a A。其一般形式为 A = {a | P(a) }。
例如 上述集合 B = { a | a N 且 4 a 8 }
A ，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B 或 B A .
B A
如果集合 A 和 B 互相包含，即A B 且 B A，则称 A 和 B 的相等 ，记作 A = B 。
对任一集合 A ，有 A U .
常用数集： N Z Q R
(五) 集合的运算
1、并集 A B { x | x A 或 x B }
第一章 函 数
第一节 集合
(一) 集合的概念
把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待 时，这个整体便称为是一个集合。 组成集合的那些个体称为集合的元素。 例如 全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均 是这个集合的元素。
通常用大写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母 a、 b、c 等表示集合的元素。
例3 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，以集 合A表示这些工厂；61个生产乙种机床，以集合B表示这些 工厂；55个两种机床都生产。试用集合表示下列各类工厂， 并计算出各类工厂的数目：
(1) 生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂； (2) 生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂； (3) 甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂； (4) 甲、乙两种机床都不生产的工厂。
A E A.
集合元素的计数问题：
定义 集合 A 中所含元素的个数称为集合 A 的基数， 记作 | A |。 容斥原理： 设 A, B 为有限集，则
| AB|| A||B|| A B|
特别，如果 A B ，(称为分离的) 则 | AB|| A|| B|
例1 有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言， 35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言。问有 多少人对这两种语言都不熟悉？
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
教材：
《微积分》
主编 赵树嫄
中国人民大学出版社
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。
在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集 合的子集，则称此集合为全集，记作 U . 不含任何元素的集合称为空集，记为 Ø。
(四) 子集
如果集合 A 的元素也是集合 B 的元素，则称 B 包含
A ，或称 A 是 B 的子集，记作： A B 或 B A .
如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于
解 (1) | A B | | A | | A B | 80 55 25 ;
80 55 61
(2) | A B | 61 55 6 ;
U
(3) | A B | | A | | B | | A B | 80 61 55 86 ;
绝对值不等式的解：
|x|aa xa; | x | a x a 或 x a
例1 解下列绝对值不等式：
(1) | x 1 | 3 (2) | x 1 | 2
解 (1) | x 1 | 3 3 x 1 3
x A B
所以 A B A B 。
例2 证明 A B A B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x A B
所以 A B A B 。
U
A B
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (A U)(A B)
A (U B) A U
A.
吸收律 A ( A B) A 证明留作练习。
例4 证明 A ( A B) A B
证明 A ( A B)
A B A B
A பைடு நூலகம்A B)
A (A B) (A A)(A B)
(A B) A B .
A B {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} B A {(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)} 一般， A B B A 。
设 A, B 都是有限集，则有 | A B | | A | | B |
例2 设 A {x | 0 x 2} ，B { y | 0 y 1} ，
解 设A—能被 6 整除的整数；
B—能被 8 整除的整数.
则
|
A
|

[
2000 ]

333 ，
6
|
B
|

[
2000 ]

250
,
8
| A B | [ 2000] 83， 24
333 83250
S
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.
q 实数集 R { 全体实数}
例如：2 N，2.5 N，-3 N，2.5 Q，-3 Z 。 由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个 元素构成的集合称为无限集。
(二) 集合的表示法
通常集合的表示有两种方法： (1) 列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花 括号内，元素之间用逗号隔开。
也即 x A 且 x B ，于是 x A B ， 从而 x A B ， 所以 A B A B 。
综上所述， A B A B 。
例1 证明对偶律 A B A B .
或证 对任意的 x A B
x AB x A且xB xA 且xB
(4) | A B | 100 | A B | 14 .
(七) 集合的笛卡尔乘积
定义 按先后次序排列的两个元素组成一个整体，
称序偶，记为(a,b) 。
定义 称集合 {(x, y)| x A , y B } 为集合 A 与 B 的
笛卡尔乘积，记为 A B . 例1 设 A {a, b} ， B {1, 2, 3} ，则
基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A A B B A
结合律： ( A B) C A(B C) (A B) C A (B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
E
A
B
例如，A {1, 2, 3} , B {3, 4, 5} , 则 A B {1, 2, 3, 4, 5}
基本性质：A A B , B A B
A A , AU U, A A A
2、交集 A B { x | x A 且 x B }
E
A
B
绝对值的基本性质：
| a | 0 ; | a | | a |; | a | a2 ; |a| a |a|; | a b| | a | | b|; |a||b| |ab|; | ab | | a | | b | ; |a | |a|,b0. b |b|
解 (1) | A B | | A | | B | | A B |
333 250 83 500 . (2) | A B | | A B |
2000 | A B | 1500 .
333 83250
S
(3) | A B | | A | | A B | 333 83 250 .
解 由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
| A B|| A|| A B|
E
B
A
特别，若 B A ，则| A B | | A | | B | 。
E BA
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.
E
A B
E A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质： A B A B
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如，U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
例5 证明 A B A A B
证明 "" 设 A B A , A B A ,
A B (A B) B A (B B) A .
"" 设 A B ,
A B A B (A B)
(A B)(A B) A (B B)
例如， A {x | x 1} , B {x | 0 x 2 } , 则 A B {x|0 x 1}.
基本性质： A B A , A B B
A , A U A, A A A
3、差集 A B { x | x A 但 x B }
无理数 (无限不循环小数)
数轴
x
01
实数与数轴上的点是一一对应的。
(二) 实数的绝对值
设 a 为一实数，则其绝对值定义为
|
a
|

a, a ,
a0 a0
几何意义：| a | 表示数轴上点 a 到原点的距离。
|a |
0
ax
| a - b | 表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离。
又如 C {2i | i N } 即 C {20，21，22，23， }
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0，2，4， ，98, 100}
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称 为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。
AB
E
A
B
(三) 全集与空集
则 A B {(x, y) | 0 x 2, 0 y 1} ，
它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：
y
1
o
2x
例3 设 R 为实数集，则R×R 表示坐标平面，
而 R×R×R 表示三维实空间。
(一) 实数与数轴
实数
有理数
整数 分数
正整数 零
负整数
p 有理数: q
其中p,q为既约
整数,且 q 0 .