高中数学选修2 1期末考试试题及答案

高中数学选修2-1期末考试试题及答案．新世纪教育培训中心
高二期末考试数学试题
一．选择题（每小题5分，满分６0分）
１.设均为直线,其中在平面的?”?nm且?l”是“l?a内,则
“l nm,n,,lm（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也
不必要条件
２.对于两个命题：
①，②，221x?cos x?,sin?x?R1sin x?R?x?,?1?）。

下列
判断正确的是（
都 C. ①②假①真②①A. 假②
真 B.
都真①②假 D.
共焦点且过点的双曲线方程是３.与椭圆
2x
（）222xxy D.
21y??(2,1)Q4
A.
B.
C.
４.已知是椭圆2221??y??1y?x?122422yx1??33
的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的F,FF121弦
交椭圆与,两点，则是正三角形，则椭圆的
离心ABF?BA2率是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
321 C
B A
3222
新世纪教育培训中心1D 3与抛５.过抛物线的焦点作
倾斜角为直线，直线20x8?y45ll物线相交与，两
点，则弦）的长是（AB BA A 8 B 16 C 32
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D 64的曲线方
程６.在同一坐标系中，22222)b?0?ax?by0(a?bax?x?1与）
大致是
（
． C．．A B D．22在椭点７.已知椭圆的两个
焦点(>0) F，F，yx ba?P1??2122ba最大值一定是
（圆上，则的面积）FPF?21 A B C 222a baa?ab D 22b?ba
的值则实数k互相垂直,已知向量８.ba?k0,2),且a?b
与2?),,a?(11,0b?(1, )
是(
137．．．1 B． C D A 555所中，是棱.９在正方体的中点，则与EABD DCAABCD?B BA E11111111）成角的余弦值为（
3
新世纪教育培训中心105510．．． AC． BD510510
过原点与A，B两点,交于10.若椭圆22x与直线
y?1?n?1(m?0,?0)nymx?n2( ) ，则线段AB的值是
中点的连线的斜率为m2223C.D2
B..2A.292作直线交抛物线于F的焦点11.
过抛物线2y?4x两点，若，则的值为（）????6y?Px,y y,P?x,y PP2121122112A．5 B．6 C．8 D．10
=1的焦点为顶点，12..以顶点为焦点的椭
22yx
圆方程为?124（）
222222yxyxxy
D.
B.
A. C.
1???1???141216161612二．填空题（每小题４分）
1OCOB?OM?xOA?y面13．已知A、C三点不共线，对平B、3是实数，若外一点O，给
出下列表达式：其中x，yABCx+y=___ 、B、C四点共面，则点M与A且与抛的焦点，
y2＝4x14．斜率为1的直线经过抛物线___ 两点，则A,B等于物线相交于AB，则实数“P：x＞0，”是真命题15．若命题2?0x?2ax??2．a的
取值范围是___，则直，为空间中一点，且．已
知16C??90AOB???AOC??BOC?60所成角的正弦值为与平面．线___AOBOC4
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三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

）
17．（本小题满分14）
设命题：，命题：；22尰?a?x??2ax,xa?2x?2??xR,R?x?Q P如果“或”为真，“且”为假，求的取值范围。

aQQ PP w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18．（15分）如图①在直角梯形ABCP中，BC ∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，
的中点，BC、PD，G分别是线段PC⊥平PDCPDC
折起，使平面现将Δ ABCD（如图②）面；EFG（Ⅰ）求证AP∥平面的大小；（Ⅱ）求二面角G-EF-D，试给ADQPC上确定一点Q，使⊥平面PB（Ⅲ）在线段出证明．
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19．(15分) 如图，金砂公园有一块边长为
2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图
中DE把草坪
分成面积相等的两部分，D在AB上，E在ACA
. xEy
D 的函数关，求关于DEAD（Ⅰ）设＝，＝yy xx CB 系式；的是灌溉水管，我们希望它最短，
则DEDE（Ⅱ）如果. 位置应在哪里？请予以证明
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的左、右（20.15分）设分别为椭圆)?0(a?b:C??1F,F 22yx
两个焦点.
2122ba
3上的点（Ⅰ）若椭圆两点的距离之和等于4，,1FA(F)到,C122求椭圆的方程和焦点坐标；C （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，1。

的最大值|PQ|求,(Q0),2
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，：的焦点为F设抛物线21.（15分）如图，C2y?4x)x,yP(00），为抛物线上的任一点（其中≠0x0QP过点．点的切线交轴于y
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）证明：；FQFP? MQOM，过点关于原点的对称点为（Ⅱ）
y
PQ两C于A、点作平行于B的直线交抛物A 点，若的值．，求???)MB?AM?MF
PB
x
OQ
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高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：ABCCB DCBDB DD
2 １5.二、填空题：１３. １4.8 )4(??, 3
的在平面内的射影必在１6.详解：由对称性点CAOBD AOB ?则由三垂线定平分线上作于，连结CEOADE ?E
，理，设又 2OE ?OE ?COE ?60,CE ??1DE 2?OE ?1?OD OE ?CE
所成，因此直线与平面所
以 AOBOC 222ODOCCD ??? 2，本题亦可用向量法。

１角的正弦值?sin ?COD 2 .６ex ?y 三．解答题： １７解：命题：2xxRx ??,?2?a P 9
新世纪教育培训中心恒成立即22a?1)1x??2x?(x?分…………31??a?：命题2尰??2?a?x?R,x?2axQ即方程有实数根20a?x?2ax?2?或∴
20)??4(2?a??(2a)2?a??
.…………6分1?a一真一且”为假，∴与∵“或”为真，“QQQ PPP…………8分假
真时，假时，；当假当真QQ1??2?a?PP10
…………1a?的取值范围是
∴
a……
)[1,??(?2,?1) 1４…⊥平面PDC)分解法一：（Ⅰ）在图②中
∵平面１８(14CD ⊥ABCD，APDA ⊥ PD⊥CD，PD∴ABCD
⊥平面∴PDz、DCDP分别为与如图. 以D为
坐标原点，直线DA、
yx、…………………1分轴建
立空间直角坐标系：则??????????0,0A,20,,22B????2,,0P00,D00,??0,0,2C0,1,2F00,,1G1,1E0,
????01EF?,0?22??,,AP?分……………… 3??FG,21?,?10 新世纪教育培训中心的法向量GEF设平面，由法向量的定义得：),y,zn?(x?0y?0)?0y,y?0n?EF?0(x,z)?(0,?1,???????????
zx?01(x,y,z)?(,2,?1)?0x?2y?z?????0FG?n??),1?n(1,0， z=1不妨设分
则………………………………4 5
分………………………………02??1?2?0?1?2AP?n??，点P 平面EFG
n??AP?∴AP∥平面EFG 6分………………………………?(1,0,1)n（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量，因平面EFD与坐标平面PDC重合
则它的一个法向量为=（1，0，i n?i12 8分
0）………………………………???cos?2?2n设二面角为.?D?EF?G
则…………9分
由图形观察二面角为锐角，故二面角G-EF-D 的大DEF?G?小为45°。

………10分
（Ⅲ）假设在线段PB上存在一点Q，使PC ⊥平面ADQ，
∵P、Q、D三点共线，则设，又，
????DBDP?tDQ?(1?t)20DP?,0,02DB?,2,∴，又 (11)
分??),2t,t?22?DQ(2t2DA?,0,0若PC⊥平面ADQ，
又)2?,2,PC?(0?(0,2,-2)?(2,0,0)?0PC?DA?0?1???2?2t?2(2?2t)?0?t??? (1)
５分则02t?)2,?(0,2,-2)(2t2t,?2??0DQPC???1
(DP?DQ?DB），………………………………∴13分211
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故在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且点Q为线段PB的中点。

……1５分
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP ∥平面?EFG ……………………4分
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD 过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故二面角G-EF-D的大小为45°。

…………………8分
（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM ∥BC，∴QM⊥PC
在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ ……………………1５分
１９(14分)解: （1）在△ADE中，2＝2＋AE2－y x2·AE·cos60°x－AE22＋＝·AE,① 2y?xx………………113a
222又S△ADE＝ S△ABC＝· 2＝·AE·sin60°x12
新世纪教育培训中心分②……4·AE＝2.?x2
42)(2?2?x x2x∴, 2（＞2②代入①得＝2＋－0）yyy x＝………6分
2，，矛盾，所以≥又≤2，若
2AE??xx1?x1x42?x2?2x∴＝（1≤≤
y x2）. ………………………7分
4＝≥（2）如果DE是水管
y22??x2x, ………………10分22?2?2?4当且仅当2＝，即＝时“＝”成22xxx 立，…………………………1５分
故DE∥ BC，且DE
＝. …………………………2……1５分
２０解：（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，AF、F两点的距离之和是由椭圆上的点到4，212a=a=2. …….2，即分得 432)(31…….4又点分222.?1于是3得??,)1A(,在椭圆上因此1b?,c222b2所以椭圆C的方程为13
新世纪教育培训中心22yx .6分……).,0?,焦点F(1,0),F(1??1（Ⅱ）设22yx4
2134
分…….8221??y(x,),则Py?4?x?
343171411分…….10 222222??y??y?|PQ|??xy?(?)y?4?yy?
4432331
.12分……又3?3? y?3５
25??(y?)?23
分…….15|?,|PQ??当y?时max2
２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知，1?|PF|?y0x，
所在直线方程为，可得PQ0)(x?y?y?x0022x
0??|k?y xPQx?20x
∵0?y04Q) 点
坐标为∴得(0, y?0QFPF| |=|∴ |∴1??y|QF|0
yxyMAxyB , )（Ⅱ）设，又() , )，点
坐标为((0, 01212AB方程为∴x
分。

…
….80yy?x?022?yx4??由得
……∴2,2xxx??x?y??xx4?010202114
204x?y?xx?2x?000yxy???02?
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①…….10 得：由，?),y??y)?y?(x(?x,y?MB?AM022101……∴
?x?x?21…….12分。

②
?x2(1?x)??xx，得，由≠0可得由①②知
，≠0解
02222??x?)x4(1??202222?x?x?02
得：． .1，，又……∴2????2?32?4)??1(1?
５分。

15。