第七章弯曲应力
秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面：矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C
拉
z
M
z
C
压
拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（2）静力平衡关系 由平面假设，横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下，梁横 截面上的内力只有Mz=M，轴力和 My等其他内力均为零，则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方
y
与y成正比，沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（4）物性关系
y 将 代入物性关系，得： y E E
可见，梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比， 即 （1）沿截面高度线性分布； （2）在中性层处为零，在上、下表面 处最大。
My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁，如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式： 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13
材料力学-第七章弯曲剪应力
2.公式推导 (1) 取微段dx
mn
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m dx n
s2
M
F x
1
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
s1 m dx n
s2
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
8.6106 Pa 8.6 MPa
17
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
18
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
4
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A
*
材料力学第七章弯曲剪应力
对于标准工字钢梁：
t max
*
F SS zmax Izb
FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上：
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*
M Iz
Sz*
FN II
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
解：叠梁承载时，每
F
梁都有自己的中性层
L
FS
F
-FL
M
h 2
1.梁的最大正应力：
h 2
b
s max
1 2
M
max
W
其中：
W
b( h )2 2
bh2
6 24
s max
M max 2W
12FL bh2
理论力学第七章梁的应力
WZ
IZ y max
圆截面
IZ
d 4 64
d 3 W Z 32
空心圆截面
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3
32
(14)
矩形截面
IZ
bh 3 12
WZ
bh 2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h0/2)
q=40kN/m
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.
k
d
o
k'
o'
y
最大切应力发生在中性轴上
maxFISzSb*z
4FS 3A
式中 A πd 2 为圆截面的面积. 4
4.圆环形截面梁
z
k
图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为
，环的平均半径为r0，由于 «r0 故可假设
z （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；
d
o
k'
o'
y
（b）切应力的方向与圆周相切.
A
C
FAY
1.5m l = 3m
解：
B
x
FBY
FS 90kN
x
90kN 1. 绘制内力图
x
M
弯曲应力(2011)
可得挠曲轴的曲率方程：
M EI z
1
EIz ——抗弯刚度。EI z 越大, 梁的弯曲程度就越小
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
正应力的计算公式为
My Iz
弯曲正应力 强度条件：
M max max [ ] Wz
横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截
面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中
M dA
z(中性轴) M x 将
由
F 0得 dA =0
x
A
dA
E
A
y
y(对称轴)
Sz 0
y E dA 0
代入，得
E
Ayຫໍສະໝຸດ A 0ESz 0
(c)
Sz
A
ydA
图形对z轴的静矩
Sz yc A
因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心。
静力平衡条件 考虑平衡条件
Fy 0,
M
y
Fz 0,
M
x
0 自动满足。
0
由于y轴为截面的对称轴
I yz 0
(d)
yz E M y (dA) z E dA yzdA 0 A A A
[工学]第七章弯曲应力-修订版
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z M C y z dA x
M y z dA 0
A
σ
M z y dA M
A
y
(1) 确定中性轴的位置
N dA
A
E
Ey
A
dA
M C y
z x
A
ydA 0
z dA
σ
静矩 S z ydA 0
A
y
结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.
(2) 确定形心主轴
( M dM ) y1 N1 ( d )dA dA A1 A1 IZ
b τ" τ´ Q τ τk c τ
σ
σ+dσ
z
M τ´
dx τ
M +dM
h
右侧
y
z c N2 τ´
* z
M dM IZ
( M dM ) S z A1 y1dA IZ
A1
x
y y1
式中 左侧
解: (1)确定梁的中性轴位置. 平面假设成立
1 E1
y
y
b
σ h2 h h1 z
2
ห้องสมุดไป่ตู้
y
2 E2
}
(a)
y
σ
1
确定中性轴的位置(N=0)
b σ h2 z
2
1 h1 1 E2 h2 E1 h1b h2b 0 2 2
h h1 σ
1
Eh E h
2 1 1
l
b
h 2 h 2
QP
中性层上的剪应力
3 Q 3P ' 2 A 2bh
第七章压力容器中的薄膜应力弯曲应力和二次应力
m
pD
4
16
环向薄膜应力:
pD
2
经向薄膜应力:
m
pD
4
中径公式
17
结论：
（1）内压圆筒筒壁上各点的薄膜应力相同， 就某一点，该点环向薄膜应力是经向薄膜 应力的二倍。
（2）
p
2
D
m
p
4
D
决定应力水平高低的截面几何量是圆筒 壁厚与直径的比值，而不是壁厚的绝对 值。
18
（二）圆球形壳体上的薄膜应力
m
一 回转壳体的薄膜应力 二 圆形平板的弯曲应力 三 边界区内的二次应力 四 强度条件
1
第一节 回转壳体中的薄膜应力——薄膜理论简介
一 基本概念与基本假设 1 基本概念 (1) 容器：化工生产所用各种设备外壳的总称。（贮 罐、换热器、蒸馏塔、反应器、合成炉）
接管
人孔 封头
液面计
筒身
支座
2
(2)容器的几何特点
（2）直法线假设。沿厚度各点法向 位移均相同，即厚度不变。
（3）不挤压假设。沿壁厚各层纤维 互不挤压。
7
二 回转壳体中的拉伸应力及其应力特点
化工容器和化工设备的外壳， 一般都属于薄壁回转壳体：
S / Di ＜0.1 或 D0 / Di ≤1.2
在介质压力作用下壳体壁内 存在环向应力和经（轴）向应力。
σ1 σ2 σ2
σ1
8
环向薄膜应力σθ： 在介质均匀的内压作用
下，壳壁的环向“纤维”受到拉伸，在壳壁的纵 截面上产生的环向拉伸应力。
经向薄膜应力σm：在介质均匀的内压作用
下，壳壁的经向“纤维”受到拉伸，在壳壁的锥 截面上产生的经向拉伸应力。
9
第七章压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
第七章压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力章小结本章介绍了容器承压时器壁内存在的三种性质不同的应力，即一次薄膜应力，一次弯曲应力和边界应力。
这三种应力在容器的强度计算中将不同程度的涉及。
其中一次薄膜应力是最基本的，在下一章中容器强度计算的讨论基本上是以薄膜应力为基础展开的，所以在三种应力中，薄膜应力是必须掌握的重点。
一次弯曲应力虽然也是十分重要的，但是在压力容器中以弯曲为主的受压元件较少，所以从强度计算的数量来说远少于薄膜应力。
二次应力由于它的产生原因不同于一次应力，而且又是考虑容器强度问题时不能回避的应力，所以对于二次应力的产生原因、性质特点、限制条件我们都作了定性的分析讨论。
通过这种讨论应该了解在什么情况下以及为什么可以不考虑二次应力而在另外一些情况下又为什么必须考虑二次应力。
有了这个基础，才能够理解下一章将要讨论的压力容器强度计算与结构设计中对一些问题的处理。
7.1 回转壳体中的薄膜应力1.容器是化工生产所用各种设备外部壳体的总称。
2.容器一般是由筒体、封头、法兰、支座、接管及人孔等元件构成。
筒体和封头是容器的主体。
3.压力容器壳体除平板形封头外都是回转壳体。
4.以任何直线或平面曲线为母线，绕其同平面曲线为母线，绕其同平面内的轴线旋转一周后形成的曲面，称为回转曲面。
5.过球形壳体上任何一点和球心，不论从任何方向将球形壳体截开两半，都不可以利用受力平衡条件求得截面上的薄膜应力为σ=pD/4δ。
6.与圆筒形壳体相比，球形壳体上的薄膜应力只有圆筒形壳体上最大薄膜应力值得一半。
7.圆锥形壳体中间面的母线虽然也是直线，但它不是平行于回转轴，而是与回转轴相交，其交角称为圆锥形壳体的半锥角。
正是由于这个缘故，圆锥形壳体中面上沿其母线上各点的回转半径不相等。
因此，圆锥形壳体上的薄膜应力从大端到小端是不一样的。
7.2边界区内二次应力1.筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
材料力学精美ppt第七章弯曲应力课件
max
Q Izb
BH 2
8
(
B
b
)
h2 8
min
QB Izb 8
H 2 h2
3
工字形梁腹板上的切应力分布
讨论
4、当B=10b, H=20b, t=2b时
max /min=1.18, 大致均匀
分布
Hh
5、腹板上能承担多少剪力？ 积分 得 —— 总剪力的95％～97％
近似计算公式：
Q
对称
L/5
4L/5
M qL2/10
ymax
0.014 PL3 EI
x
ymax
0.0073 PL3 EI
21
提高弯曲强度的措施之四 —— 用超静定梁
qL2
M8 q
L
x
ymax
0.013 qL4 EI
超静定梁
M q
L/2 L/2
9qL2 /512 x
qL2 32
ymax
0.326103 qL4 EI
或
（+）
（拉应力小）
（-） （-）
钢筋混凝土 [ t ] [ c ]
（压应力小）
（+）
18
提高弯曲强度的措施之二 —— 整体考虑
变截面梁的例子 1. 梁的纵向 —— 变截面、开孔或等强度 2. 梁的变型 —— 单根梁转化为结构
19
提高弯曲强度的措施之三 ——改善受力状态
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小
12
如何确定弯曲中心的位置
弯心处，主矩 M= Q1h－Qe＝ 0
e Q1h b2h2t Q 4Iz
弯曲中心位置与外 力大小和材料的性 质无关，是截面图 形的几何性质之一
第七章压力容器中的薄膜应力、弯曲应力和二次应力
第七章_压力容器中的薄膜应力、弯曲应力和二次应力第七章压力容器中的薄膜应力、弯曲应力和二次应力在压力容器设计中，薄膜应力、弯曲应力和二次应力是三种主要的应力类型，对容器的结构和稳定性有着至关重要的影响。
了解和掌握这三种应力的性质和计算方法，对于设计者来说是至关重要的。
一、薄膜应力薄膜应力是一种主要的应力类型，通常发生在压力容器表面。
它是由容器内外的压力差引起的。
在压力容器设计中，薄膜应力是必须考虑的重要因素之一。
它可以通过薄膜应力强度因子进行计算，这个强度因子通常由经验公式和实验数据确定。
对于圆形平盖和球形封头，薄膜应力的计算公式可以分别简化为对圆板和球壳的薄膜应力计算公式。
对于其他更复杂的形状，如椭圆或锥形，则需要使用更复杂的公式进行计算。
二、弯曲应力弯曲应力通常发生在压力容器的部分区域，例如在容器壁的局部区域或连接处。
这种应力是由于容器内外的压力差和容器结构的自重引起的。
弯曲应力的计算通常需要考虑多种因素，如材料的弹性模量、泊松比、压力以及容器的几何形状和尺寸等。
在压力容器设计中，弯曲应力可以通过有限元分析等方法进行计算和评估。
这种方法可以更准确地模拟容器的实际结构和载荷条件，从而得到更精确的弯曲应力结果。
三、二次应力二次应力是由于局部区域的薄膜应力和弯曲应力的组合而产生的。
它通常发生在压力容器的某些特定区域，如连接处或容器壁的局部区域。
二次应力的计算需要考虑多种因素，如材料的弹性模量、泊松比、压力以及容器的几何形状和尺寸等。
在压力容器设计中，二次应力的计算通常需要通过有限元分析等方法进行。
这种方法可以更准确地模拟容器的实际结构和载荷条件，从而得到更精确的二次应力结果。
同时，二次应力的分布和大小也需要通过实验进行验证和校核。
四、设计建议在压力容器设计中，为了降低薄膜应力、弯曲应力和二次应力对容器结构的影响，以下一些建议可以作为参考：1.优化容器的几何形状和尺寸：通过改变容器的几何形状和尺寸，可以降低应力集中程度，从而降低薄膜应力、弯曲应力和二次应力的大小。
材料力学：第七章 弯曲应力
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
40a工字钢 Wz 1090cm3
（5）讨论 q 67.6kg/m
28
目录
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m -4kNm
M 2.5kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
1.合理设计截面
矩形木梁的合理高宽比
h
北宋李诫于1100年著«营造法式 »
R
一书中指出:矩形木梁的合理高宽
比 ( h/b = ) 1.5 b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中
指出: 矩形木梁的合理高宽比为
h 2 时,强度最大; h 3 时,刚度最大。
b
b
36
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
解：画弯矩图并求危面内力 RA 2.5kN ; RB 10.5kN M C 2.5kNm (下拉、上压 ) M B 4kNm（上拉、下压）
画危面应力分布图，找危险点
A
对称面
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
EIz 杆的抗弯刚度。
s My
Iz
(4)
（四）最大正应力：
s max
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
第七章弯曲应力(讲稿)材料力学同济
第七章弯曲应力一、教学目标和教学内容一、教学目标⑴把握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导进程，明白得推导中所作的大体假设。
⑵明白得横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
⑶把握中性层、中性轴和翘曲等大体概念和含义。
⑷把握各类形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的散布和计算。
⑸熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的成立和相应的计算。
⑹了解什么情形下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
⑺从弯曲强度条件动身，把握提高弯曲强度的假设干方法。
⑻明白得等强度梁的概念。
⑼确信薄壁杆件切应力流的方向。
⑽明白得弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，把握确信弯曲中心的方式。
二、教学内容⑴梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力⑵梁横力弯曲时横截面上的切应力⑶提高弯曲强度的假设干方法、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
二、重点难点⑴重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。
横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算。
弯曲的强度计算。
弯曲横截面上的剪应力。
重点处置：从弯曲变形的特点动身，让学生了解两个应力的散布规律，并对两个应力的散布进行对照，增强学生明白得和经历。
分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方式，结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。
难点：弯曲正应力、剪应力推导进程和弯曲中心的概念。
难点处置： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方式，增强学生对内容的把握。
对照A N=σ,pt I M =τ的推导消化难点，以学生明白得这一推导思路。
结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲明白得弯曲中心。
三、教学方式采纳启发式教学，通过提问，引导学生试探，让学生回答下列问题。
四、建议学时 8学时 五、实施学时 六、讲课提纲一、几个大体概念 ⑴平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情形，称为平面弯曲。
第七章 压力容器中的薄膜应力、弯曲应力、二次应力n
b a=2b a
σm
b a=2b
σθ a
pa
pa 2
7.1 回转壳体的薄膜应力
7.1 回转壳体的薄膜应力
中间面：居内、外表面之间，且与内外表面等距离的面 回转壳体：以回转曲面为中间面的壳体 纵截面：用过壳体上的某点和回转轴截开壳体得到的截 面称作壳体的纵截面。显然回转壳体上所有的纵截面都是 一样的。
纵截面
中间面
7.1 回转壳体的薄膜应力
锥截面：用过壳体上的某点并与回转壳体内表面正交的 倒锥面截开壳体得到的截面称作壳体的锥截面。
7.1 回转壳体的薄膜应力
第二类压力容器：
具有下列情况之一的，为第二类压力容器:
a．中压容器； b．低压容器（仅限毒性程度为极毒和高度危害介质）；
c．低压反应容器和低压储存容器（仅限易燃介质或毒 性程度为中度危害介质）；
d．低压管壳式余热锅炉；
e．低压搪玻璃压力容器。
第一类压力容器：
除上述规定以外的低压容器为第一类压力容器。
铜及其合金—深冷容器。
铸铁—不承压塔节等。 b. 非金属：玻璃钢、化工搪瓷、化工陶 瓷等，多作衬里
7.1 回转壳体的薄膜应力
3. 容器的几何特点
容器的主体是由回转曲面形成的。 回转曲面：以任何直线或平面曲线为母线，绕其同平面 内的轴线（回转轴）旋转一周形成的曲面。 母线：绕轴线（回转轴）回转形成回转曲面的平面曲线 或直线。
σθ
Di
D0
p l
作用于任一曲面上介质压力所产生的合力等于介质压 力与该曲面沿合力方向所得投影面积的乘积，与曲面形 状无关。
7.1 回转壳体的薄膜应力
2）合力T
环向薄膜应力的合力 T 2 l （δ：壁厚） σθ
材料力学07弯曲应力ppt课件
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解： M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
＋
－F
Q
Fa
－
M
CD段：只有弯矩没有剪力－ 纯弯曲
AC和BD段：既有弯矩又有剪力－ 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ，
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（5） 平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面。
（√）
（6） 等截面梁产生纯弯曲时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（╳）
（7） 梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。
（╳）
（8）梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力作用点的正应力不一定为零。（√）
（9）梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上最大正应力作用点剪应力一定为零。
则
三、计算题
简支梁上作用两个集中力，已知： =6m，F1=15kN，F2=21kN，如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力 =170MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为38kN.m。根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为
根据算得的Wz值，在型钢表上查出与该值相近的型号，就是我们所需的型号。在附录的型钢表中，20a号工字钢的Wz值为237cm3，与算得的Wz值相近，故选取20a号工字钢。因20a号的Wz值大于按强度条件算得的Wz值，所以一定满足强度条件。如选取的工字钢的Wz值略小于按强度条件算得的Wz值时，则应再校核一下强度，当 不超过 的5%时，还是可以用的，是工程中所允许的。
从所得结果可以看出，无论是最大拉应力还是最大压应力都未超过许用应力，强度条件是满足的。
五、计算题
简支梁AB如图所示。 。梁上的载荷q=10kN/m，=200kN。材料的许用应力为 。试选择适用的工字钢型号。
解：计算梁的支反力。然后作剪力图和弯矩图，如图b和c所示。由弯矩图知 。据弯曲正应力强度条件有：
作Q、M图如图（b）,由图可知
（2）求 和 。
七、计算题
工字形钢梁，截面尺寸如图所示，已知Iz=1184cm2，材料容许应力 =170MPa，梁长6m，支座B的位置可以调节，试求：
（1）最大容许载荷及支座B的位置；
（2）在最大容许载荷q作用下，梁中横截面上的最大剪应力。
（注：可用AB跨中截面弯矩代替 ）
解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为
弯曲截面系数为
最大正应力为
所以满足强度要求。
二、计算题
就计算题一，求梁能承受的最大荷载（即求 ）。
解：根据强度条件，梁能承受的最大弯矩为
跨中最大弯矩与荷载q的关系为
所以
从而得
即梁能承受的最大荷载为 。
上面是根据强度条件求最大荷载的一般方法。对此例来说，在例7—2中，已求得在 时的最大正应力 ，根据应力与荷载成正比（在弹性范围内），最大荷载也可通过下式求得，即
四、计算题
T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许应力 ，抗压许应力为 。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，且 。试校核梁的强度。
解：由静力平衡方式程求出梁的支反力为RA=2.5kN，RB=10.5kN
作弯矩图如图所示。最大正弯矩在截面C上，MC=2.5kN•m。最大负弯矩在截面B上，
第七部分弯曲应力
7.1预备知识
一、基本概念
1、
二、重点与难点
1、
2、
3、
算题
长为 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m,y=0.06m, =2m,F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
解：先算出C截面上的弯矩
截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为
将 、 及y代入正应力公式（7—7）。代入时， 、y均不考虑正负号而以绝对值代入，则
C截面的弯矩为负，K点位于中性轴上边，所以K点的应力为拉应力。
在我国法定计量单位制中，应力的单位为Pa在计算梁的正应力时，弯矩用N.m、y用m、惯性矩用m4，则算得的应力单位即为Pa。
二、计算题
一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知： =4m，b=140mm,h=210mm,q=2kN/m，弯曲时木木材的许用正应力 =10MPa，试校核该梁的强度。
MB=－4kN•m。
T形截面对中性轴不对称，同一截面上的最大拉应力和压应力并不相等。计算最大应力时，应以y1和y2分别代入应力计算公式。在截面B上，弯矩是负的，最大拉应力发生于上边缘各点（图c），且
最大压应力发生于下边缘各点，且
在截面C上，虽然弯矩MC的绝对值小于MB，但MC是正弯矩，最大拉应力发生于截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力
六、计算题
一铁路枕木承受两个集中载荷P=2000kN，如图（a）所示，路基的反力q可假设均布在枕木的长度上。枕木横截面的尺寸为b=300mm，h=250mm，设L=145mm， =50mm。（1）画出剪力图和弯矩图；（2）计算最大的弯曲正应力 和剪应力 。
解：（1）画Q、M图，由静力平衡方程
得均匀分布的路基反力
7.3 练习题
一、概念题
1、是非判断题
试判断下列论述是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“╳”。
（1） 设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。（╳）
（2） 中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （√）
（3） 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力 不一定出现在 的截面上。（╳）
解：（1）应调节B支座位置，使梁中最大负弯矩和最大正弯矩数值相等
M中=
则
解得
所以草药 中
由梁的强度条件 ，即
得
（2）由 得
因而B左截面上剪力为最大，
讨论 在进行梁的设计时，应尽量使梁上最大拉应力和最大压应力同时达到许可数值。在本题中，梁的截面是对称的，所以应使梁上的最大正弯矩和最大负弯矩数值相等，以确定支座的位于置。梁上的最大弯曲正应力和梁上的最大弯曲剪应力不发生在同一截面上，也不在截面的同一点。
查型钢表，选用22a工字钢，其Wz=309cm3。
现在校核梁的切应力。由表中查出Iz/Sz=18.9cm，腹板厚度d=0.75cm。由剪力图知 。代入切应力强度条件
超过 很多，应重新选择更大的截面。现以25b工字钢进行试算。由表查出，Iz/S*z=21.3cm，=1cm。再次进行切应力强度校核
因此，要同时满足正应力和切应力强度条件，应选取用型号为25b的工字钢。