利用空间向量求空间角教案设计
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。
2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。
3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。
4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。
2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。
3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。
4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。
5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。
六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。
3. 空间向量的坐标表示与运算。
4. 空间角的概念及求法。
5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。
（2）空间向量的线性运算及坐标表示。
（3）空间角的概念及求法。
（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。
2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。
（2）利用向量法求空间角的具体步骤。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。
2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。
3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。
4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。
6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。
7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。
8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。
2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。
七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案
立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。
高中数学_利用空间向量求空间角教学设计学情分析教材分析课后反思
利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线夹角、线面角、面面角问题。
体会向量法在立体几何中的应用。
二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。
三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。
四、教学重难点重点：复习向量法求空间角的方法与步骤。
(重点)难点：强化向量法求空间角公式的理解。
(难点)五、教学过程板书设计：课题思维导图例题例题板演利用空间向量求空间角人教B版选修2-1学情分析学生虽已学完立体几何，也对立体几何有了一定认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作，证，算”三部分组成，学生对做出空间角的方法即如何化空间角为平面角，并在可解三角形中求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立体几何问题难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生更好的掌握。
学生已经分节对每一个空间角进行了学习，有些混淆，需要通过思维导图形成知识框架，讨论解决模糊知识，清除知识障碍，并准确迅速求空间角。
利用空间向量求空间角人教B版选修2-1效果分析新课程提倡自主、合作、探究的学习方式，课堂教学效率是学生学习成绩提高的关键。
教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习。
如何才能提高课堂教学的有效性，我在本节课中的教学中主要运用了以下几种方法。
一、创设数学学习情境，激发学生的学习兴趣“兴趣是最好的老师,有兴趣不是负担”,这句话饱含深刻的道理。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
清泉州阳光实验学校高三数学《第课 利用空间向量求空间角》基础教案
清泉州阳光实验学校第83课时利用空间向量求空间角考点讲解掌握利用直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角,求线线角、线面角、面面角.一、根底自测1.在长方形1AC 中,0111130=∠=∠C A B BAB ,那么直线1AA 与C B 1所成的角为.2.在正三棱柱111ABC A B C -中,假设12BB AB =,那么1AB 与B C 1所成角的大小为. 3.二面角l αβ--的大小为060,,m n 为异面直线,且,m n ββ⊥⊥,那么,m n 所成的角为.4.正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,那么侧面与底面所成的二面角等于____________. 5.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D 是A1C1的中点,那么直线AD 与平面B1DC 所成角的正弦值为.6.在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直,且OA ＝OB ＝OC ,M是AB 边的中点,那么OM 与平面ABC 所成的角的正切值为. 7.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,那么1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于.8.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公一一共边AB ,二面角C AB D --的余弦值为33,,M N 分别是,AC BC 的中点,那么,EM AN 所成角的余弦值等于. 二、例题讲解例1.如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,点E1、F1分别在A1B1、C1D1上,且E1B1＝14A1B1,D1F1＝14D1C1,求BE1与DF1所成角的大小. 例2.在正方体ABCD －A1B1C1D1中,F 是BC 的中点,点E1在D1C1上,且D1E1＝14D1C1,试求直线E1F 与平面D1AC 所成角的大小.[例3.在三棱锥S ABC -中,ABC ∆是边长为4的正三角形,面SAC ⊥面ABC ,23SA SC ==,,M N 分别是,AB SB 的中点.(1)证明AC SB ⊥; (2)求二面角N CM B --的大小.例4.E 、F 分别是正方体ABCD －A1B1C1D1的棱BC 和CD 的中点,求:(1)A1D 与EF 所成角的大小;(2)A1F 与平面B1FB 所成角的大小;(3)二面角C －D1B1－B 的大小.板书设计教后感三、课后作业1.正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,那么异面直线1AB BM 和所成的角的大小是.2.过正方形ABCD 的顶点A 引PA ⊥平面ABCD ,假设PA AB =,那么平面ABP 和平面CDP所成的二面角的大小是.3.设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M 、N 分别为AA1和BB1的中点,那么直线CM 和D1N 所成角的正弦值为.4.正四面体A-BCD 中,侧面与底面所成二面角A-BC-D 余弦值为_____________.5.从P 出发三条射线PA,PB,PC 每两条夹角成60ο,那么二面角B-PA-C 的余弦值为.6.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,BB1=5那么平面AB1C 与底面ABCD 所成二面角〔锐角〕的正切值为_________________.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BC 中点,F 在AA1上,且A1F∶FA=1∶2,平面B1EF 与底面A1B1C1D1所成的二面角的余弦值为_______________.8.在正四棱锥P-ABCD 中,假设侧面与底面所成二面角的大小为60°,那么异面直线PA 与BC 所成角的大小等于.9.点P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上的一个动点,记11D P D Bλ=,当APC ∠为钝角时,λ的范围是.10.在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB =,D 在1BB 上,且1BD =,假设AD 与平面11AAC C 所成的角为α,那么α=.11.如图,正三棱柱ABC －A1B1C1的各棱长均相等,点D 是BC 上一点,AD⊥C1D.(1)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1;(2)求二面角C －AC1－D 的大小.12.正方体ABCD －A1B1C1D1中,点M,N 分别是AA1和BB1的中点,求直线CM 与D1N 所成的角.13.如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,点E 是CD 的中点.(1)求证:EB1⊥AD1;(2)求D1E 与AC1所成的角;(3)求EB1与平面AD1E 所成的角.14.(选做题)如图,四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,90ABC BCD ∠=∠=,2AB BC PB PC CD ====,侧面PBC ⊥底面ABCD .(1)PA 与BD 是否互相垂直,请证明你的结论;(2)求二面角P BD C --的大小;(3)求证:平面PAD ⊥平面PAB .。
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题.五、教学过程（一）空间角公式1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，mb a ba b⋅.bθa2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==a na n⋅.3、面面角公式：设1n ，2n 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=或12,n n θπ=-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212cos ,n n n n n n ⋅=.（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=，SO ⊥面OABC ，且1,2OS OC BC OA ====.求：（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值.OABCS解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,0)OB =，(0,0,1)OS =， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB⋅===，所以异面直线SA 和OB . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =，则0,0,n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =，sin cos ,1OS n OS n OS nα⋅∴====⨯（3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =，又OC ⊥平面AOS ，OC ∴是平面AOS 的法向量，令2(0,1,0)n OC ==，则有121212cos ,6n n n n n n ⋅===. ∴二面角B AS O --的余弦值为6（三）巩固练习1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点E 、F 分别11A C ，1AD 的中点，求：（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值； （3）平面11A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1DD ，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于2AB =，11BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，1(,1,1)2E ，11(,0,)22F ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，1(0,2,1)C ，1(0,0,1)D ，则1(0,1,)2EF =--，(0,2,0)DC =，11(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)BC =-，11(0,2,0)DC =.（1）cos ,EF DC EF DC EF DC⋅==-∴异面直线EF 和CD 所成的角余弦值为5； （2）设平面11A BC 的法向量(,,)n x y z =，则有则1110,0,n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =， 又设11D C 与平面11A BC 所成的角为θ，则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯. （3）由（2）知平面11A BC 的法向量1(2,1,2)n =， 又1DD ⊥平面ABCD ，1DD ∴是平面ABCD 的法向量，令21(0,0,1)n DD ==，则12121222cos ,313n nn n n n ⋅===⨯. 故所成的锐二面角的余弦值为23. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =1AD =，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，因为AD =1，CDAC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =π3， ∴AD ∥BC ．(000)A ，，，10)B -，，10)C ，(010)D ，，，102O ⎫⎪⎪⎝⎭，，，112P ⎫⎪⎪⎝⎭，，， 则(310)AB =-，，，112CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴cos ||||2AB CP AB CP AB CP 〈〉===⨯⨯，，∴异面直线AB 与PC ．（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1n =(x 1，y 1，z 1)， 可得111111020y z y ++=-=，， 令11x =，则1(13n =，，，又311(300)2DP DC ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭，，，，，，设平面PCD 法向量为2222()n x y z =，，， 可得22221020y z -+==，，令21y =，则2n =1012⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则121212105cos ==||||35nn n n n n 〈〉，．∴平面PAB 与平面PCD （四）课堂小结1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．2．合理建立空间直角坐标系(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．[易错防范]1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．（五）课后作业三维设计——课时跟踪检测（四十八）。
利用向量法求空间角-教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 让学生学会使用向量法求解空间角。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。
3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。
2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。
3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。
2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 实际问题案例库。
八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。
案例二：求解空间四边形的对角线夹角。
案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。
十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。
十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。
2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。
十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。
2. 掌握向量法求空间角的基本方法。
教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。
2. 向量法求空间角的计算方法。
教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。
2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。
二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。
2. 能够应用向量法求解空间角的问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。
2. 向量法求空间角的计算实例。
教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。
2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。
2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。
教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。
教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。
3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。
四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。
2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。
空间向量求空间角.教案
空间向量求空间角教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法； 2．能用空间向量解决空间角问题。
教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。
教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。
教学难点：线面角，面面角的化归。
一、复习引入：1 ．在三棱锥P ABC -中，,,,PA AB AB AC AC PA ⊥⊥⊥2PA PB PC ===，则面ABC 的法向量是什么？面PBC的法向量又怎么求？2 ．空间向量的数量积运算公式是什么？二、新课探究：四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，11,4,,,AB AA E F G ==分别是11,,CC AC BB 的中点。
问题1：求异面直线11,B F D E 所成角的余弦值.探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？设l 1与l 2是两异面直线，,a b 分别为l 1、l 2的方向向量，它们所成角为θ， l 1、l 2所成的角为ϕ，则θ与ϕ相等或互补，则cos cos a b a bϕθ⋅==αbaCAP问题2：求直线AC 与平面1AGF 所成角的余弦值；探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？如图，设l 为平面α的斜线，lA α=，,a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，它们所成角为θ， l 与平面α所成的角为ϕ，则sin cos a n a nϕθ⋅==问题3：求二面角1A AG F --的平面角的余弦值。
探究：如何用空间向量求二面角？平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，12,n n <> = θ，则二面角l αβ--为θ或πθ-.设二面角的大小为ϕ，则2112cos cos n n n n ϕθ⋅==φn a CB A αφn 2n 1lBA Oβα三、巩固提高：已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，（1）当时2SA a =时，求异面直线AB 和SC 所成角的余弦值；（2）当2SA a =时求直线BD 和平面SCD 所成角的余弦值；（3）当SAAB的值为多少时，二面角B SC D --的大小为120︒?四、小结：1．求异面直线所成的角ϕ时，一定要注意(0,90]ϕ∈︒︒，从而有cos cos a b a bϕθ⋅==2．求直线与平面所成的角ϕ时，一定要注意它和,a n <>之间的关系，从而有sin cos a n a nϕθ⋅==3．求二面角ϕ时一定要注意它和,m n <>之间的关系，从而有cos cos m n m nϕθ⋅==，同时还要观察图形确定二面角的范围。
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念及其运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生对空间几何图形直观感知和分析解决问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的运算法则。
3. 空间向量与空间角的关系。
4. 利用向量法求空间角的方法步骤。
5. 实际应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的基本概念、运算法则、利用向量法求空间角的方法。
2. 教学难点：空间向量与空间角的关系，利用向量法求空间角的步骤。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念、运算法则和求空间角的方法。
2. 运用案例分析法，分析实际应用问题。
3. 引导学生运用小组合作、讨论交流等方式，提高分析解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：简要回顾二维向量的基本概念及其运算法则，引出空间向量的概念。
2. 讲解空间向量的基本概念及其表示方法，让学生掌握空间向量的定义和表示方法。
3. 讲解空间向量的运算法则，引导学生运用运算法则进行向量运算。
4. 讲解空间向量与空间角的关系，引导学生理解向量法求空间角的依据。
5. 讲解利用向量法求空间角的方法步骤，并通过示例演示求解过程。
6. 开展课堂练习，让学生运用向量法求解空间角的问题。
7. 分析实际应用举例，让学生体会向量法在解决空间几何问题中的应用价值。
9. 布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关空间向量运算和空间角求解的习题，检验学生对课堂内容的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组合作、讨论交流中的表现，检验学生对知识的理解和应用能力。
七、教学反思1. 教师应根据学生的实际水平，适当调整教学内容和难度，确保学生能够跟上教学进度。
2. 在教学过程中，注意引导学生运用数学符号和语言进行表达，培养学生的数学思维能力。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 空间向量的坐标表示和运算。
4. 利用向量法求空间角的方法和步骤。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用向量法求解空间角。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。
五、教学安排：1. 第一课时：讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 第二课时：讲解向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 第三课时：讲解空间向量的坐标表示和运算。
4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的方法和步骤，案例分析。
5. 第五课时：课堂练习，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课后作业：布置有关空间向量运算和求空间角的练习题，检验学生对知识的掌握程度。
2. 课堂练习：在课堂上进行实时练习，及时发现并纠正学生的错误。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和学习。
4. 期末考试：设置有关空间向量和空间角的题目，全面评估学生对课程内容的掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：选用权威、实用的教材，如《高等数学》、《线性代数》等。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助讲解和展示。
3. 教学视频：寻找相关的教学视频，为学生提供多角度、直观的学习资源。
4. 练习题库：整理和筛选一批空间向量和空间角的练习题，供学生课后练习使用。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的运算规则1.4 向量的长度和方向第二章：空间向量基本概念2.1 空间向量的定义2.2 空间向量的表示方法2.3 空间向量的运算规则2.4 空间向量的坐标表示第三章：向量点积的性质与应用3.1 向量点积的定义与性质3.2 向量点积的坐标表示3.3 向量点积的应用3.4 向量点积与空间角度的关系第四章：向量叉积的性质与应用4.1 向量叉积的定义与性质4.2 向量叉积的坐标表示4.3 向量叉积的应用4.4 向量叉积与空间角度的关系第五章：空间角度的计算方法5.1 空间角度的定义5.2 空间角度的计算方法5.3 空间角度的坐标表示5.4 利用向量法求空间角度的实例分析第六章：空间向量投影6.1 向量投影的概念6.2 向量在坐标轴上的投影6.3 向量的直角坐标投影6.4 向量投影在空间角度求解中的应用第七章：空间向量的分解7.1 向量分解的概念7.2 向量的线性组合7.3 向量的正交分解7.4 向量分解在空间角度求解中的应用第八章：空间向量夹角8.1 向量夹角的定义8.2 向量夹角的计算公式8.3 向量夹角的余弦值8.4 向量夹角在空间角度求解中的应用第九章：空间向量长度的求解9.1 向量长度的定义9.2 向量长度的计算公式9.3 向量长度的坐标表示9.4 向量长度在空间角度求解中的应用第十章：空间向量垂直与平行的判断10.1 向量垂直的判断10.2 向量平行的判断10.3 向量垂直和平行的坐标表示10.4 向量垂直和平行在空间角度求解中的应用第十一章：空间向量组的线性相关性11.1 线性相关的定义11.2 线性相关的判定条件11.3 线性相关的坐标表示11.4 线性相关性在空间角度求解中的应用第十二章：空间向量组的基底12.1 基底的概念12.2 基底的性质12.3 基底的选取方法12.4 基底在空间角度求解中的应用第十三章：空间坐标变换13.1 坐标变换的概念13.2 坐标变换的公式13.3 坐标变换的性质13.4 坐标变换在空间角度求解中的应用第十四章：空间向量方程14.1 空间向量方程的概念14.2 空间向量方程的求解方法14.3 空间向量方程的解的应用14.4 空间向量方程在空间角度求解中的应用第十五章：空间角度的应用案例分析15.1 空间角度在几何中的应用15.2 空间角度在物理学中的应用15.3 空间角度在工程学中的应用15.4 空间角度在其他领域的应用案例分析重点和难点解析本文主要讲解了利用向量法求空间角的相关知识，重点包括向量基础知识、空间向量基本概念、向量点积与叉积的性质与应用、空间角度的计算方法、空间向量投影与分解、空间向量夹角与长度的求解，以及空间向量垂直与平行的判断等。
利用向量法求空间角教案
§3.2.3立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求解二面角的向量方法 教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形） 2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos |||| （2）两向量夹角公式：||||,cos b a >=<（3）平面的法向量：与平面垂直的向量a二、知识讲解与典例分析知识点1：面直线所成的角（范围：]2,0(πθ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a 、b的角与 和 的夹角的关系？问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、b与 和的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|||||,cos |cos n m =><=θ思考：在正方体1111D C B A ABCD -中，若与分别为11B A 、11D C 的四等分点，求异面直线1DF 与1BE 的夹角余弦值？（1）方法总结：①几何法；②向量法（2）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生运用向量法求空间角的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的坐标运算。
3. 向量法求空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念及其表示方法，空间向量的坐标运算，向量法求空间角。
2. 教学难点：空间向量的坐标运算，向量法求空间角。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。
2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。
五、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的概念及其表示方法。
2. 新课：讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用向量法求空间角。
4. 互动环节：引导学生积极参与讨论，解决实际问题。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点，解答学生疑问。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学目标1. 让学生掌握空间向量的数量积及其运算规则。
2. 培养学生运用数量积求空间角的方法。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。
七、教学内容1. 空间向量的数量积及其运算规则。
2. 数量积在求空间角中的应用。
八、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的数量积及其运算规则，数量积在求空间角中的应用。
2. 教学难点：数量积的运算规则，运用数量积求空间角。
九、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的数量积及其运算规则。
2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。
十、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的数量积及其运算规则。
2. 新课：讲解空间向量的数量积及其运算规则。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用数量积求空间角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用空间向量求空间角
备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬
授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；
情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m
,a b=a b
a b
⋅
.
bθ
a
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为
l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==
a n
a n
⋅.
3、面面角公式：设1n ，2n 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=或12,n n θπ=-（需要根据具体情况判断相等或互补）
，其中12
1212
cos ,n n n n n n ⋅=.
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=，SO ⊥面OABC ，且
1,2OS OC BC OA ====.求：
（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值.
α
θ
O
O
A
B
C
S
n
a
解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,0)OB =，(0,0,1)OS =， （1
）cos ,5SA OB SA OB SA OB
⋅
=
=
=，
所以异面直线SA 和OB . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =，
则0,0,
n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩
取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =，
2sin cos ,1OS n OS n OS n
α⋅∴==
=
=⨯（3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =，
又
OC ⊥平面AOS ，OC ∴是平面AOS 的法向量，
令2
(0,1,0)n OC ==，则有121212
1cos ,6
n n n n n n ⋅=
=
=. ∴二面角B AS O --的余弦值为
6
（三）巩固练习
1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点E 、F 分别11A C ，1AD 的中点，求：
（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值； （3）平面11A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.
解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1DD ，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于2AB =，11BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，
1(,1,1)2E ，11(,0,)22F ，1(1,0,1)A ，
(1,2,0)B ，1(0,2,1)C ，1(0,0,1)D ，则1
(0,1,)2
EF =--，(0,2,0)DC =，11(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)BC =-，11(0,2,0)DC =.
（1）2cos ,EF DC EF DC EF DC
⋅=
=-
∴异面直线EF 和CD 所成的角余弦值为
5
； （2）设平面11A BC 的法向量(,,)n x y z =，则有
则1110,0,
n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩
令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =， 又设11D C 与平面11A BC 所成的角为θ，
则11111121
sin cos ,233
D C n D C n D C n
θ⋅==
=
=⨯. （3）由（2）知平面11A BC 的法向量1(2,1,2)n =， 又
1DD ⊥平面ABCD ，1DD ∴是平面ABCD 的法向量，
令21(0,0,1)n DD ==，则121212
22cos ,313
n n
n n n n ⋅=
=
=⨯. 故所成的锐二面角的余弦值为
23
. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =1AD =，
PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD
=3，AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =π
3
， ∴AD ∥BC ．
(000)A ，，，(310)B -，，，(310)C ，，，(010)D ，，，
31022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，31122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 则(310)AB =-，，，31122CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
∴12
cos 4||||22
AB CP AB CP AB CP -〈〉===-⨯⨯，
，
∴异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为
24
．
（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1n =(x 1，y 1，z 1)， 可得11111
31
022
30x y z x y ⎧++=⎪
⎨⎪-=⎩，， 令11x =，则1(133)n =-，，，
又311(300)22DP DC ⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，，，， 设平面PCD 法向量为2222()n x y z =，，， 可得2222
31
02230x y z x ⎧-+=⎪
⎨⎪=⎩，，
令21y =，则2n =1012⎛
⎫ ⎪⎝⎭，，，则
121212105cos =
=||||35n n
n n n n 〈〉，．
∴平面PAB 与平面PCD （四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范]
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）。