高考线性规划必考题型非常全

线性规划专题

一、命题规律讲解

1、求线性（非线性）目标函数最值题

2、求可行域的面积题

3、求目标函数中参数取值范围题

4、求约束条件中参数取值范围题

5、利用线性规划解答应用题

一、线性约束条件下线性函数的最值问题

线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标()

,x y即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标()

,x y即简单线性规划的最优解。

例1 已知

43

3525

1

x y

x y

x

-≤-

⎧

⎪

+≤

⎨

⎪≥

⎩

，2

z x y

=+，求z的最大值和最小值

例2已知,x y满足

1

241

26

x y

x y

x y

+=

⎧

⎪

+≥

⎨

⎪-≥-

⎩

，求z=5

x y

-的最大值和最小值

二、非线性约束条件下线性函数的最值问题

高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标()

,x y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标()

,x y即最优解。

例3已知,x y满足，224

x y

+=，求32

x y

+的最大值和最小值

例4求函数

4

y x

x

=+[]

()

1,5

x∈的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题

这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标()

,x y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标()

,x y即最优解。

例5 已知实数,x y满足不等式组

10

10

1

x y

x y

y

+-≤

⎧

⎪

-+≥

⎨

⎪≥-

⎩

，求22448

x y x y

+--+的最小值。

例6 实数,x y满足不等式组

220

y

x y

x y

≥

⎧

⎪

-≥

⎨

⎪--≥

⎩

，求

1

1

y

x

-

+

的最小值

四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题

在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标()

,x y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标()

,x y即最优解。

例7 已知,x y

满足y

2

y

x+

的最大值和最小值

1. “截距”型考题方法：求交点求最值

在线性约束条件下，求形如(,)

z ax by a b R

=+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.

1.【广东卷理5】已知变量,x y满足约束条件

2

4

1

y

x y

x y

≤

⎧

⎪

+≥

⎨

⎪-≤

⎩

，则3

z x y

=+的最大值为

( )

2. (辽宁卷理8)设变量,x y满足

-10

0+20

015

x y

x y

y

≤

⎧

⎪

≤≤

⎨

⎪≤≤

⎩

，则2+3

x y的最大值为

A．20 B．35 C．45 D．55

3.(全国大纲卷理) 若,x y满足约束条件

10

30

330

x y

x y

x y

-+≥

⎧

⎪⎪

+-≤

⎨

⎪

+-≥

⎪⎩

，则3

z x y

=-的最小值

为。

4.【陕西卷理14】设函数

ln,0

()

21,0

x x

f x

x x

>

⎧

=⎨

--≤

⎩

，D是由x轴和曲线()

y f x

=及

该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2

z x y

=-在D上的最大值为．