无穷级数课件(同济第五版)

发散；
P 级数
n =1
∑ P
1
n
P > 1 收敛， P ≤ 1
发散；
当 P = 1 ， ∑ 又称调和级数。
n =1
∞
1 n
4、级数性质 P266 性质 5 是级数收敛的必要条件 即
∑ a n 收敛
∞
n =1
→ lim a n = 0
n →∞
例 1、 ∑
n =1
∞
n -1 2n + 1
发散，∵ lim a n = lim
n n
（6） ∑
xn n =1( 1+ x)1+ x2 L 1+ xn
∞
(
) (
x > 0 为常数
（7） ∑
lnn n n =1 2 n
∞
（8） ∑
n =1
∞
ncos 2 4n
解： （1） lim
u n +1 n →∞ u n
2 n +1 (n + 1)! n +1 = lim (n + 1)
∞
n −1
1 n − ln n 1 1 = lim n →∞ n − ln n n →∞ n 1 =0 ln n 1− n

解：① ∵ lim u n = lim
n →∞
②
1 [(n + 1) − ln(n + 1)] − [n − ln n ] = 1 − ln 1 + > 0 n
∴
1 1 > n − ln n n + 1 − ln(n + 1)
1、比较判别法
部分和数列有上界
设 Vn ≥ u n ，如 ∑ Vn 收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
∞
如 ∑ u n 发散，则 ∑ Vn 发散
n =1 n =1
例、判别下列级数敛散性
∞
（1） ∑
n =1
1 4n 2 + n
1 4n 2 + n ≥
（2） ∑
n =1
∞
sin 2
nπ 3
Q lim
n →∞
例、 （1） ∑
n =1
∞
1 n2 +1 + n
（2） ∑ (1 − cos )
n =1
∞
1 n
（3） ∑
lnn n =2 n
∞
1
解： （1）由 lim
n →∞
n n 2 + n + n = lim =1 1 n →∞ n2 + n + n n
1 − cos
（2） lim
n →∞
n →∞
是否有上界。
例、判别下列级数的敛散性
2 n n! （1） ∑ n n =1 n
∞
n （2） ∑ n =1 2n + 1
∞
n
（3）设 a > 0
1 n n =11 + a
∑
∞
（4） ∑
6n n n n =17 − 5
∞
（5） ∑
n =1
∞
n
[4 + (− 1) ]
)
nπ 3
发散 收敛
（3）当 a = 1 lim u n = lim
n →∞
0 < a < 1 lim u n = lim
n →0
1 =1≠ 0 n →∞ 1 + a n 1 n n =1a
∑
∞
发散
a >1
∴ 收敛
1 1 < 1+ an an
为公比
1 < 1 的等比级数 a
6n n n （4）∵ lim 7 − 5
=
∴ 原级数收敛，且绝对收敛。
解：( 2 ) lim
0 < b <1 b >1
u n +1 b n +1 n n = lim ⋅ n = b lim =6 n →∞ u n →∞ n + 1 b n →∞ n + 1 n
原级数绝对收敛 原级数发散
① lim
∞
b =1
原级数为 ∑ (− 1)
n =1 ∞
x 0 < x < 1 1 = x =1 2 0 x >1
∴级数收敛
u n +1 ln(n + 1) 2 n n = lim n +1 ⋅ n →∞ u n →∞ 2 lnn n 1 + n lim = lim ln (n + 1) n + 1 1 = <0 n →∞ 2lnn n 2 1 1 = ≠0 n →∞ 2 2
n =1 ∞ ∞ ∞
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
即 un > un +1
∴ 收敛
4°绝对收敛与条件收敛 定义 P275 如 ∑ un 如 ∑ un
n =1 n =1 ∞ ∞ n =1
∑ u n 为任意项级数
∞
∞
收敛 称 ∑ u n 绝对收敛
n =1
发散 ∑ u n 收敛 称 ∑ u n 条件收敛
n =1 n =Biblioteka Baidu ∞
∞
∞
定理，如 ∑ u n
n =1
n →∞
n −1 1 = ≠0 n →∞ 2n + 1 2
例 2、 ∑
∞
3n − 3n
n =1n
3n 发散，∵ lim = −1 ≠ 0 n →∞ n − 3 n
例 3、 ∑
1 n =1n
∞
发散，但 lim
1 =0 n →∞ n
20 正项级数判别法
∑un
∞
n =1
un ≥ 0
正项级数部分和数列 {S n }单调递增 ∴ 正项级数 收敛
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛 → ∑ u n 必收敛
n =1
∞
例、P276
例 7.17
7.18
例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛
( 1 ) ∑ (− 1)
n =1
∞
n ( n −1) 2
⋅
n 10 2n
(2)
∑ (− 1)
n =1
∞
n
bn n
10
b>0
1 <1 2
10 u n +1 ( n + 1) 2n 1 1 解：( 1 ) lim = lim ⋅ 10 = lim 1 + n + 1 n →∞ u n →∞ 2 n → ∞ n 2 n n
n →∞
≠ 0 发散 = 0 需进一步判别
①如 u n 中含 n! 或 n 的乘积通常选用比值法；
②如 u n 是以 n 为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如 u n 含形如 n α （α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性； ⑤据定义判别级数敛散性， 考察 lim S n 是否存在， 实际上考察 {S n }
n →∞
2 n n! nn
= lim = lim
2n n
n →∞
(n + 1)n
2
n ←∞
1 1 + n
n
=
2 < 1 收敛 e
n 1 = n →∞ 2n + 1 2
（2）方法一： lim n u n = lim
n →∞
收敛
方法二：
∞
n n 1 < = 2n + 1 2n 2
n
n
n
n
∵
1 ∑ 收敛 n =1 2
∴ 原级数收敛
u n +1 x n +1 ( 1 + x) 1 + x 2 L 1 + x n lim = lim ⋅ n →∞ u n →∞ ( 1 + x ) 1 + x 2 L 1 + x n +1 xn n
(
) (
)
(
) (
)
= lim
x n →∞ 1 + x n +1
n
1 n
为交错级数
1 =0 n →∞ n > u n +1
收敛
②un
而 ∑ un = ∑
n =1
1 发散 n =1 n
∞
∴
b = 1 条件收敛
习题七， 8
n =1
∞
u n +1 =ρ n →∞ u n lim
则当 ρ < 1 时，级数收敛， ρ > 1 时发散， ρ = 1 不定
3、根值法
设 ∑ u n 为正项级数，如 lim n u n = ρ
n =1 n →∞
∞
则当 ρ < 1 时，级数收敛， ρ > 1 时发散， ρ = 1 不定 正项级数判别其敛散性的步骤： 首先考察 lim u n
莱伯尼兹判别法： 如交错级数 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n 满足：
( ii )
n →∞
(i)
8
u n ≥ u n +1
n −1
lim u n = 0
则 ∑ (− 1)
n =1
u n 收敛，且和 s ≤ u 1
例、判断下列级数的敛散性。 1 P274 例 7.13
2
∑ (− 1)
n =1
1+ 2 + 3 +L+ n +L
1 − 1 + 1 − 1 + L + (−1) n −1 + L
n
2、定义
Sn = ∑ u K
K =1
a n = Sn +1 − Sn
如 {S n }收敛，则 ∑ a n 收敛
n =1 ∞
3、几个重要极限 等比级数（几何）
∞
n ∑ aq ，当 q < 1 收敛， q ≥ 1 n =0 ∞
∞
n
(
n +1 − n
)
解：①
②
n →∞
lim u n = lim
n →∞
(
n + 1 − n = lim
)
1 n +1 + n
n →∞
=0
un = n +1 − n
=
1 1 > n +1 + n n + 2 + n +1
= n + 2 − n +1 = u n +1
∴ 收敛
3
∑ (− 1)
n =1
第七章 无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L
∞
n =1
a n 称为一般项或通项
Sn = u1 + u 2 + L + u n 称为前 n 项部分和
例 1、
1 & = 3 + 3 +L+ 3 +L = 0.3 3 10 10 2 10 n
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法 如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
n2 1 1 ⋅ 5 n
解（1）由于
∞
1 4n 2 + n 2
=
∵∑
1 发散，∴原级数发散 n =1 n
sin 2
（2）由于
nπ ∞ 1 3 ≤ 1 ，而 ∑ 收敛，∴原级数收敛 2 n =1n n2 n2
比较判别法的极限形式 如 lim
un = A 则有 n →∞ Vn
∑ u n ， ∑ Vn ，同时收敛，同时发散
n →∞
6n 7n
7n = lim n =1 n →∞ 7 − 5 n
6 ∵ ∑ n =1 7
∞
n
收敛，
∴ 原级数收敛
（5）
n
[4 + (− 1) ]
∞
n n
n n = 3 n n 5
n为奇数 n为偶数
∴ un ≤
n 3n
n 对∑ n n =13
∴ ∑
u n +1 n + 1 3n 1 ∵ lim = lim n +1 ⋅ = < 1 n →∞ u n →∞ 3 n 3 n