函数零点个数问题赏析

y f x 的图象有三个交点，当且仅当 f 3 b f 1；因此，b
的取值范围为 32ln 2 21,16ln 2 9 。
例 3 、（2009 年陕西高考卷·文）已知函数
。 f (x) x3 3ax 1, a 0
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若 f (x) 在 x 1处取得极值，直线 y m 与 y f (x)
，即 。 b (3t2 1)a 2t3
2t3 3at2 a b 0
于是，若过点 (a，b) 可作曲线 y f (x) 的三条切线，则方
程 2t3 3at2 a b 0 有三个相异的实数根。
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记 ，则 。 g(t) 2t3 3at2 a b
g(t) 6t2 6at 6t(t a)
（Ⅲ）若直线 y b与函数 y f (x) 的图像有 3 个交点，
求b 的取值范围。
解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
， f x 16 ln 1 x x2 10x, x 1,
f x 2 x2 4x 3 2(x 1)(x 3) ， x 1, ，故函数单调性与极
1 x
1 x
x (, 1)
f (x)
f (x)
Z
1 0 f极大 1
(1,1)
]
1 0 f极小 3
(1, )
Z
因为直线 y m与函数 y f (x) 的图象有三个不同的 交点，又 f (3) 19 3， f (3) 17 1，结合 f (x) 的单调性可知，m 的取值范围是（ 3，1）。
评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与 一个函数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化 为一个 N 型函数 f (x) 有三个零点问题，即方程 f (x) 0 或
N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数
，二可能是函数 ， f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)
f (x) ax2 bx ln(x t) (a 0)
它们在定义域内都必须有两个极值点。
例 1、（2006 年福建高考卷）已知函数 f (x) x2 8x ，
。 g(x) 6 ln x m
值情况如下表：
x
(1,1)
1
(1, 3)
f '(x)
f (x) Z
0
f极大 16 ln 2 9
]
3
3
0 f极小 32 ln 2 21
பைடு நூலகம்(3, )
Z
因此，
， f 16 162 1016 16 ln 2 9 f 1
， f e2 1 32 11 21 f 3
所以在 f x 的三个单调区间1,1,1,3,3,上，直线 y b 与
当t 变化时， g(t)，g(t) 变化情况如下表：
t
(，0)
0
(0，a)
a
(a， )
g(t)
0
0
极大值
g (t )
Z
]
ab
极小值
Z b f (a)
由 g(t) 的单调性，当极大值 a b 0 或极小值b f (a) 0 时，
方程 g(t) 0最多有一个实数根；
当 a b 0 时，解方程 g(t) 0 得 t 0，t 3a ，即方程 g(t) 0 只 2
域内连续可导，有两个极值点 x1、 x2 并将其定义域分 成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，
在此条件的基础上，方程 f (x) 0 或 f (x) m 的根的个数与
参数取值范围相关的问题。这里注意：函数 y f (x) 在
其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一
端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 M (t，f (t)) 处的切线方程；
（Ⅱ）设 a 0 ，如果过点 (a，b) 可作曲线 y f (x) 的三条
切线，证明： a b f (a) 。
解析：（Ⅰ）切线方程为： 。 y (3t2 1)x 2t3
（Ⅱ）如果有一条切线过点 (a，b) ，则存在 t ，使
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f (x) m 有三个根的问题，列相应不等式组，
或
f极大 f极小
0 0
f极小 m f极大 ，解出参数范围，如下图。
x1
x2
y f (x)
图一 （1）
f极大 0
x1
x2
y f (x)
图一 （2）
x f极小 0
例 4、（2007 年全国高考Ⅱ卷）已知函数 f (x) x3 x 。
，为此有： 。 (x) 0
极小极大m
m 6 ln
7 3
0 15
0
7
m
15
6
ln
3
故 m 的取值范围为（7，15 6ln 3）。
例 2 、（2008 年四川高考卷）已知 x 3是函数
f (x) a ln(1 x) x2 10x 的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间；
函数零点个数问题赏析
近年高考试卷中的 N 型函数零点个数问题赏析
近些年来，有不少的 N 型函数零点个数问题出
现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不
能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高
三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是 N 型
函数零点个数问题呢，就是含参函数 y f (x) 在其定义
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）因为 f (x) 在 x 1处取得极
大值，所以 f 1 3 (1)2 3a 0 ，
得 ： a 1， 继 而 ， f (x) x3 3x 1 ， 由 f (x) 3x2 3 f (x) 0 解 得
x1 1, x2 1。如下表
（Ⅰ）求 f(x)在区间[t,t 1]上的最大值 h(t) ；
（Ⅱ）是否存在实数 m ，使得 y f (x) 的图象与 y g(x)
的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的
取值范围；若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数
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， ； (x) f (x) g(x) x2 8x 6 ln x m x 0
求导得： '(x) 2x2 8x 6 2(x 1)(x 3) ， x 0 ，函数单调
x
x
性与极值列表如下：
x
(0,1)
1
(1, 3)
3
(3, )
'(x)
0
0
(x) Z
极大 m 7
]
极小 m 6 ln 3 15
Z
依题意，转化为函数(x) 图象与 x 轴的交点为 3 时
情 形 ， 当 x 充 分 接 近 0 时 ， (x) 0， 当 x 充 分 大 时 ，