控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

2)、但对于非线性系统：只能在小范围一致 稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛xe 或 其附近。
3)、稳定含义之间的区别
经典控制理论(线 不稳定
性系统）
(Re(s)>0)
临界情况
(Re(s)=0)
Lyapunov意义下 不稳定
稳定
稳定
(Re(s)<0)
渐近稳定
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4)、不同的稳定性概念 1）外部稳定性：
当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。
反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统 将不断从外界吸收能量，其存储的能量将越来越大。
❖1907（15年后）出版了法文版 ❖1992（100年后）出版了英文版 ❖当今任何一本控制期刊都有李雅
普诺夫的名字。
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引言
李雅普诺夫 通过求解特征方程的特征值，利
第一法
用其性质判断系统的稳定性（间
Lyapunov稳
接法）
定性方法
其基本思路和分析方法与经典理论一致
主要内容：李第雅二普法诺夫巧构不造求能 Nhomakorabea量微函分数方-程---，李而雅利普用诺经夫验函和数技来
❖研究的目的和意义：
❖稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、必 要条件，是一个重要特征。
❖要求：
❖在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破， 但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态， 或者趋于另一平衡状态继续工作。
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引言
❖俄国学者李雅普诺夫 Lyapunov （1857－1918）
❖1892年在博士论文中提出稳定性 理论 ----不仅适用于单变量线性系统， 还适用于多变量、非线性、时变 系统，是确定系统稳定性的更一 般性理论。
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 ，使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
判断系统的稳定性（直接法）
对任意阶线性或非线性、 定常或时变系统的稳定性 特别适用于非线性系统和时变系统 分析均适用的一般性方法 （因其状态方程求解困难）
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一、 李雅普诺夫意义下的稳定性
(一)几个基本概念
1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。
其状态方程描述为：x& f (x,t) x(t0 ) x0
系统的稳定性都是相对具体的某个平衡状态而言的。 李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态 附近自由运动的行为特征，指的正是内部稳定性。
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二、 李雅普诺夫稳定性理论 (一) 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1） 线性定常系统渐近稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部。
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2）线性定常系统 BIBO 稳定的充要条件：
传递函数 G(s) C(sI A)1 B 的所有极点均 位于S左半平面。
注意！： 由于所有极点都是A的特征值，所以渐近稳
定的系统，必然也是输入输出稳定的。 但是， 由于不是A的所有特征值都是传函的极点
S(ε) S(δ)
.x0 .xe
状态轨迹具 有：有界性 和渐近性
渐近稳定性的几何表示
说明：
(b)
平衡状态
S ε
x2 x1
渐近稳定性表明系统
能完全消除扰动的影 响；
x0 t0
但，只是一个局部概
念，依赖系统的平衡
S δ
状态。
状态轨迹
x2 Sε x1
t
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4、大范围(全局)渐近稳定
对系统任意的状态，如果由该状态出发的状态轨 迹都保持渐近稳定性，即随时间推移最终都收敛到
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则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
若 δ 与t0 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。
时变： 与 t0 有关 定常系统： 与t0 无关，xe 是一致稳定的。
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S(ε) S(δ)
.x0 .xe
x2
S ε
x1
x0 t0
其解表示为：x(t; x0 , t0 )
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹
只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动
下的特性）：
2、初态：x& f (x,t) 的解为 x(t, x0, t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
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3、平衡状态
n维状态 向量
对系统 x f (x,t)
变量 x1, x2 , , xn 和t的n维向量函数
若对所有t，总存在 xe f (xe ,t) 0 ，则称 xe
为系统的平衡状态或平衡点。
注意：
系统能维持在某 状态不再变化
1）如果系统是线性定常的，即： x Ax ，则当
A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点；
Axe 0 xe 0
的任一条轨迹当时间t趋于无穷时，都不脱离 S( ) ，
且收敛于 xe ， 则称系统的平衡状态 xe 为渐近稳定的， 其中球域 S( ) 被称为平衡状态 xe 的吸引域。
1）渐近稳定必然是Lyapunov意义下的稳定
2）ltim x(t; x0,t0 ) xe 0
3） 与t0无关 一致渐近稳定
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若忽略高阶项 R(x)
则线性化状态方程为： x Ax
一次近似式
A
f xT
x xe
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结论(李雅普诺夫第一法基本内容)：
1) 若 Re(i ) 0 i 1,2, , n ，则非线性
系统在 xe 处是渐近稳定的，与 R(x)
无关。
2) 若 Re(i ) 0 Re(j ) 0 i j 1, , n
(a)
S δ
平衡状态
状态轨迹
李氏意义下稳定性的几何表示
x2 Sε x1
t
即：如果对应于每一个S( )，存在一个 S( ) ，使得当t趋于
无穷时，始于S( )的轨迹不脱离 S( )，则系统的平衡 状态称为在Lyapunov意义下稳定。 状态响应有界
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3、渐近稳定
如果平衡状态 xe 是稳定的，并且始于域 S( )
0 xe2 1
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3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定； 而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定， 而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对 于平衡状态而言的。
4）线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数， 而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关； 但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有 关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。
限制在某一范围之内时，可
以表示为 x x ,且具有明确的几何意义。 e
用此概念来分析系统的稳定性。
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(二) 稳定性的几个定义
1、预备知识 x xe
表示状态矢量 x与平衡状态 xe
的距离
点集 S ε
表示以xe为中心 ε 为半径的超
球体（球域）
则 xSε
表示 x xe ε
1
x xe x1 x1e 2 x2 x2e 2 xn xne 2 2
s( ) , x xe大范围稳定
• 当 与 t0无关 一致大范围渐近稳定。
• 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
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5、不稳定性
如果对于某个实数 0 和任一个实数 0， 不管这两个实数多么小，在 S( ) 内总存在一
个状态 x0 ，使得始于这一状态的轨迹最终会
脱离开 S( ) ，那么平衡状态 xe 0 称为不稳 定的。
向量的2范数或 欧几里得范数
当 ε很小时，称 S ε为 xe 的邻域。
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则 x0 Sδ
意味着 x0 xe δ
若方程 x f x,t的解 xt; x0,t0 位于球域内，则：
xt; x0,t0 xe
表明齐次方程 x f x,t由 初态 x或0 短暂
扰动所引起的自由响应是有界的
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2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
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S(ε) S(δ)
.x0 .xe
x2
S ε
x1
x0 t0
x2 Sε x1
t
(c)
S δ
平衡状态
状态轨迹
不稳定性的几何表示
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局
部发散的轨迹。
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几点说明：
1)、 对于线性系统（严格）：渐近稳定等价 于大范围渐近稳定 (线性系统稳定性与初始 条件的大小无关)。
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输 出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
外部稳定性也称为有界输入有界输出BIBO （Bounded Input Bounded Output）稳定性。
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4)、不同的稳定性概念 2）内部稳定性（或称状态稳定性）：
系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收 敛性，而与输入作用无关。
在平衡状态 xe 0 附近存在各阶偏导数，于是：
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其中：
x f
x R(x)
xT xxe
R(x) --级数展开式中二阶及以上各项之和
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1 xfnn
x1 x2
xn
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• 上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1 f2 fn T
x x1 x2 xn T
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当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
Axe 0 无穷多个 xe
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这 些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在 x xe ）
如： x1 x1
x1 0
三个平衡
x2 x1 x2 x23 x2 0
状态
xe 1
0 0
0 xe3 1
❖ 预备知识
❖ 几个稳定判据
➢线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
❖李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用
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引言 ❖ 稳定性：
表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡 状态，而在扰动消失后，系统本身仍有能 力恢复到平衡状态的一种“顽性”，属于 系统的基本结构特性，而与输入作用无关。
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引言
❖不同的稳定性概念：
（1）李雅普诺夫意义下的稳定性——内部稳定性； （2）输入输出稳定性——外部稳定性
闭环极点 s=-3 ，位于s 平面左半部分，所以系统为
输入输出稳定。 结论： BIBO稳定
渐近稳定。
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2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级 数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系 统的平衡状态处的稳定性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
（ G(s)中可能存在零极点对消现象），所以输入 输出稳定的系统，不一定具有渐近稳定性。
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例1、试分析如下所示系统的渐近稳定和BIBO稳定。
y 0 1 x
解: 1、 | I A | ( 1) 6 0.
1 2 2 3 故系统不是渐近稳定的。
2、G(s) c(sI A)1b 1
s3
平衡状态 xe 0 ，则系统称为大范围渐近稳定。
或者说，如果系统的平衡状态 xe 0 的渐近稳
定的初始条件扩大为整个状态空间，则称此时
系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。
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即：对 x0 s( )
都有
lim
t
x(t; x0, t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。
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5）孤立的平衡状态：
在某一平衡状态的充分小的领域内不存 别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
因此，仅仅需要讨论系统在xe 0 这个平衡
状态处的稳定性即可。 ----“原点稳定性问题”极大简化了研究， 又不失一般性，是Lyapunov的重要贡献。
则系统的平衡状态总是不稳定的。
3) 若 Re(i ) 0，则稳定性与 R(x) 有关，
即不能由其一次近似式来表征。
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(二) 李雅普诺夫第二法
一、李雅普诺夫第二法简介：
李氏第二法称为直接法，建立在用能量观点分 析稳定性的基础上 。
若系统的平衡状态是渐近稳定，则系统激励后 其存储的能量将随着时间的推移而衰减，
Modern Control Theory
预备知识---
控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov) 稳定性分析
主要内容
➢ 李雅普诺夫意义下的稳定性 ❖ 平衡状态 ❖ 稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义
➢ 李雅普诺夫稳定性理论
➢李雅普诺夫第一法
❖ 线性系统的稳定判据
❖ 非线性系统的稳定判据
➢ 李雅普诺夫第二法
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4、状态向量 x 的范数
在n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，
表示为：
1
x x2 x2 x2 (xT x)2
1
2
n
状态向量 x(t) 到平衡点 xe 的范数： 欧几里得范数
x x (x x )2 (x x )2 (x x )2
e
1
1e
2
2e
n
ne
当范数
xx e