1机事件及其概率
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P( B | A) P( A)
例1.7.2： 某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品, 不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是 次品,问第二次再取到次品的概率是多少?
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
例:无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4发 出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时, 收报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-” 时,收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报 台收到信号“-”的条件下,发报台发出信号“.” 的概率. •解:设B1={发出信号“.”},B2={发出信号“”},A1={收到信号“.”},A2={收到信号“-”}.由于 B1B2=,B1∪B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是
概率论与数理统计
§ 古典概型
例1.4.1：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地放回地接连取 4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例1.4.2： (一个古老的问题)一对大小不同的骰子，连 掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?
例：12名新生中有3名优秀生，将这12名学生平均分 配到3个班中去，求： （1）每班分配到一名优秀生的概率； （2）3名优秀生分配到同一个班的概率。 解:设A:每班分配到一名优秀生; B: 3名优秀生分配到同一个班 12! 4 4 4 N C1 2C 8 C 4 4! 4! 4!
• 解法 2:按题意知 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 • 而 A1 , A1 A2 , A1 A2 A3 是两两互不相容的事件,故有 •
P( B ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
• P( B ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) =1/2+7/10(1-1/2)+9/10 (1-1/2)(1-7/10) =197/200 所以
P( B1 | A2 ) P( A2 B1 ) P( A2 )
P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B2 ) P( A2 | B2 ) 0.6 0.02 0.029 0.6 0.02 0.4 0.99
例:根据以往的临床录,某种诊断癌症的的试验具有如 下的效果:若记 A={试验反应为阳性},C={被诊断者患有 癌症},则有 P(A|C)=0.95, P( A | C ) =0.95.现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌症的概率 P(C)=0.005,试 求 P(C|A).
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
[1 P( A1 )][1 P( A2 )]
=(1-10%)(1-3%)=0.873 所以 P(B)=1-P(A)=1-0.873=0.127
• 例:设一个产品分二道工序独立生产,第一道工 序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%. 问该产品的次品率是多少? • 解法2:
所以
54 P(A | B) 0.9 60
•例:设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每 次取一件,作不放回抽样.设A={第一次抽到合格 品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).
• 解法1:在A已发生的条件下,产品数变为99件, 其中次品数仍为5件,所以 P(B|A)=5/99
• 解法2:从100件产品中连续抽取2件(抽后不放 回),其样本空间Ω 的基本事件总数为100×99,使 AB发生的基本事件数为95×5. 于是P(AB)=(95×5)/(100×99),又P(A)=95/100 故有 P(B|A)=5/99
P( B) P( A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 )
=10%+3%-10%×3% =0.127
• 例:设袋中有4个球,其中1个涂成白色,1个涂成红 色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色.今 从袋中任取一球,设 A={取出的球涂有白色},B={取出的球涂有红 色},C={取出的球涂有黄色} 试验证事件A,B,C两两独立,但不相互独立.
例： 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分 之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你 坚持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖 的概率是多少？ 解 按假设，每次中奖的概率是10-5 于是每次未中奖的概率是1-10-5 十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的 故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是 P=（1-10-5）520≈0.9948
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
例： 某厂有甲， 乙两个车间生产同一种型号的产品， 结果如下表，从这 100 件产品任取一件，设 A 表 示取到合格品，B 表示取到甲车间产品，则 A 表示 取到次品， B 表示取到乙车间产品，求 P（A） ，P （B） ，P（AB） P(A B) . ，
9! 3! 3! 3! 3! 16 P(A) N 55
3C C C P(B) N
1 9 4 8
4 4
§7.1 条件概率
• 例1.7.1:将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正 反面的情况.设事件A={至少有一次为正面H},事 件B={两次掷出同一面},求已知事件A发生的条件 下事件B发生的概率. • 解:样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT}, A={HH,HT,TH}.若记已知事件A发生的条件下事件B 发生的概率为P(B|A),则有 P(B|A)=1/3 易知 P(A)=3/4, P(AB)=1/4, P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4), 故有 P( AB)
3 P(A 2 | A1 ) 9
6 P(A3 | A1 A 2 ) 8
P(A1 A2A3 ) P(A1 )P(A2 | A1 )P(A | A1 A2 ) 3
4 3 6 10 9 8
• 例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打 破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落 下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第 三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三 次而未打破的概率.
i 1 3
2 1 3 3 5 6 0.273 10 15 10 15 10 15
• 例:有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品, 一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三 个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任 取一件产品,求取得的是正品的概率.
3 P(B2 ) 10
3 P(A | B 2 ) 2 C 6 15
2 C3
5 P(B3 ) 10
P(A | B1 )
C2 2 2 C6
1 15
6 P(A | B3 ) 2 C 6 15
C2 4
(b) 按全概率公式所求的概率
P(A) P(Bi )P(A| Bi )
• §7.2 乘法公式
例: 一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放 回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白 球的概率.
解 设事件 Ai 表示第 i 次取得白球（i=1、2、3） 按题意即指第一次取得黑球，第二次取得黑球， 第三次取得白球也就是事件 A1 A 2 A 3
易知
4 P(A1 ) 10
合 格 品 数 甲车间产品数 乙车间产品数 总 数 54 32 86 次 品 数 6 8 14 总 数 60 40 100
Biblioteka Baidu
解
86 P(A) 0.86 100
60 P(B) 0.6 100
54 P(AB) 0.54 100
而求P(A|B)实质上是求在事件B发生的条件下A 发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由 于甲车间产品有60件，而其中合格品有54件
P( B) 1 P( B ) 1 1 9 73 2 0 0 0 0 2
§8 全概率公式 和 贝叶斯公式
例: 有十个袋子，各袋中装球的情况如下： （1）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球； （2）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球； （3）五个袋子中各装有 4 个白球与 2 个黑球.
•解:设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3),A={取 得正品}.由题意知Ω=B1+B2+B3 且B1,B2,B3 是两两互不相 容的事件. P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.64
• 例:甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设三人射 中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7;一人射中飞机被击 落的概率为0.2,两人射中飞机被击落的概率为0.6,三 人射中,则飞机被击落.求飞机被击落的概率. •解:设Bi={有i人射中}(i=1,2,3),A={飞机被击落}.则 •P(B1)=0.4×(1-0.5)×(1-0.7)+(1-0.4)×0.5×(1-0.7) +(1-0.4)×(1-0.5)×0.7=0.36 P(B2)=0.4×0.5×(1-0.7)+0.4×(1-0.5)×0.7 +(1-0.4)×0.5×0.7=0.41 P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 •P(A|B1)=0.2 P(A|B2)=0.6 P(A|B3)=1 且B1,B2,B3两两互不相容,故有 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
验证:易知 但是 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 P(ABC)=1/4≠ P(A)P(B)P(C)=1/8 所以 P(AB)=P(A)P(B) P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 故A,B,C不相互独立. P(CA)=P(C)P(A) 即事件A,B,C两两独立.
•解:由贝叶斯公式得 P(C|A) =P(AC)/P(A)
P(C) P( A | C) /[P(C) P( A | C) P(C ) P( A | C )]
=0.005×0.95/[0.005×0.95+(1-0.005×(1-0.95)] =0.087
§9 事件的独立性
• 例:设一个产品分二道工序独立生产,第一道工 序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%. 问该产品的次品率是多少? •解法1:设A={任取一件产品为正品},B={任取一 件产品为次品},Ai={第i道工序为正品}(i=1,2), 则
问（a）对于每种袋子，从其中任取
2 个球，求
取出的 2 个球都是白球的概率各是多少. （b）任选一个袋子，并从其中任取 2 个球，求取 出的 2 个球都是白球的概率. 解 设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi 表示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1、2、3）
易知
2 P(B1 ) 10
•解 法 1: 设 Ai={ 透 镜 第 i 次 落 下 未 打 破}(i=1,2,3),B={ 透镜落下三次而未打破 }, 则 B=A1A2A3,故有 •P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概 率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率 为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率 为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
例1.7.2： 某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品, 不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是 次品,问第二次再取到次品的概率是多少?
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
例:无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4发 出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时, 收报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-” 时,收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报 台收到信号“-”的条件下,发报台发出信号“.” 的概率. •解:设B1={发出信号“.”},B2={发出信号“”},A1={收到信号“.”},A2={收到信号“-”}.由于 B1B2=,B1∪B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是
概率论与数理统计
§ 古典概型
例1.4.1：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地放回地接连取 4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例1.4.2： (一个古老的问题)一对大小不同的骰子，连 掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?
例：12名新生中有3名优秀生，将这12名学生平均分 配到3个班中去，求： （1）每班分配到一名优秀生的概率； （2）3名优秀生分配到同一个班的概率。 解:设A:每班分配到一名优秀生; B: 3名优秀生分配到同一个班 12! 4 4 4 N C1 2C 8 C 4 4! 4! 4!
• 解法 2:按题意知 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 • 而 A1 , A1 A2 , A1 A2 A3 是两两互不相容的事件,故有 •
P( B ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
• P( B ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) =1/2+7/10(1-1/2)+9/10 (1-1/2)(1-7/10) =197/200 所以
P( B1 | A2 ) P( A2 B1 ) P( A2 )
P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B2 ) P( A2 | B2 ) 0.6 0.02 0.029 0.6 0.02 0.4 0.99
例:根据以往的临床录,某种诊断癌症的的试验具有如 下的效果:若记 A={试验反应为阳性},C={被诊断者患有 癌症},则有 P(A|C)=0.95, P( A | C ) =0.95.现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌症的概率 P(C)=0.005,试 求 P(C|A).
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
[1 P( A1 )][1 P( A2 )]
=(1-10%)(1-3%)=0.873 所以 P(B)=1-P(A)=1-0.873=0.127
• 例:设一个产品分二道工序独立生产,第一道工 序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%. 问该产品的次品率是多少? • 解法2:
所以
54 P(A | B) 0.9 60
•例:设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每 次取一件,作不放回抽样.设A={第一次抽到合格 品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).
• 解法1:在A已发生的条件下,产品数变为99件, 其中次品数仍为5件,所以 P(B|A)=5/99
• 解法2:从100件产品中连续抽取2件(抽后不放 回),其样本空间Ω 的基本事件总数为100×99,使 AB发生的基本事件数为95×5. 于是P(AB)=(95×5)/(100×99),又P(A)=95/100 故有 P(B|A)=5/99
P( B) P( A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 )
=10%+3%-10%×3% =0.127
• 例:设袋中有4个球,其中1个涂成白色,1个涂成红 色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色.今 从袋中任取一球,设 A={取出的球涂有白色},B={取出的球涂有红 色},C={取出的球涂有黄色} 试验证事件A,B,C两两独立,但不相互独立.
例： 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分 之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你 坚持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖 的概率是多少？ 解 按假设，每次中奖的概率是10-5 于是每次未中奖的概率是1-10-5 十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的 故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是 P=（1-10-5）520≈0.9948
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
例： 某厂有甲， 乙两个车间生产同一种型号的产品， 结果如下表，从这 100 件产品任取一件，设 A 表 示取到合格品，B 表示取到甲车间产品，则 A 表示 取到次品， B 表示取到乙车间产品，求 P（A） ，P （B） ，P（AB） P(A B) . ，
9! 3! 3! 3! 3! 16 P(A) N 55
3C C C P(B) N
1 9 4 8
4 4
§7.1 条件概率
• 例1.7.1:将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正 反面的情况.设事件A={至少有一次为正面H},事 件B={两次掷出同一面},求已知事件A发生的条件 下事件B发生的概率. • 解:样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT}, A={HH,HT,TH}.若记已知事件A发生的条件下事件B 发生的概率为P(B|A),则有 P(B|A)=1/3 易知 P(A)=3/4, P(AB)=1/4, P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4), 故有 P( AB)
3 P(A 2 | A1 ) 9
6 P(A3 | A1 A 2 ) 8
P(A1 A2A3 ) P(A1 )P(A2 | A1 )P(A | A1 A2 ) 3
4 3 6 10 9 8
• 例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打 破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落 下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第 三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三 次而未打破的概率.
i 1 3
2 1 3 3 5 6 0.273 10 15 10 15 10 15
• 例:有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品, 一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三 个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任 取一件产品,求取得的是正品的概率.
3 P(B2 ) 10
3 P(A | B 2 ) 2 C 6 15
2 C3
5 P(B3 ) 10
P(A | B1 )
C2 2 2 C6
1 15
6 P(A | B3 ) 2 C 6 15
C2 4
(b) 按全概率公式所求的概率
P(A) P(Bi )P(A| Bi )
• §7.2 乘法公式
例: 一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放 回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白 球的概率.
解 设事件 Ai 表示第 i 次取得白球（i=1、2、3） 按题意即指第一次取得黑球，第二次取得黑球， 第三次取得白球也就是事件 A1 A 2 A 3
易知
4 P(A1 ) 10
合 格 品 数 甲车间产品数 乙车间产品数 总 数 54 32 86 次 品 数 6 8 14 总 数 60 40 100
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解
86 P(A) 0.86 100
60 P(B) 0.6 100
54 P(AB) 0.54 100
而求P(A|B)实质上是求在事件B发生的条件下A 发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由 于甲车间产品有60件，而其中合格品有54件
P( B) 1 P( B ) 1 1 9 73 2 0 0 0 0 2
§8 全概率公式 和 贝叶斯公式
例: 有十个袋子，各袋中装球的情况如下： （1）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球； （2）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球； （3）五个袋子中各装有 4 个白球与 2 个黑球.
•解:设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3),A={取 得正品}.由题意知Ω=B1+B2+B3 且B1,B2,B3 是两两互不相 容的事件. P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.64
• 例:甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设三人射 中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7;一人射中飞机被击 落的概率为0.2,两人射中飞机被击落的概率为0.6,三 人射中,则飞机被击落.求飞机被击落的概率. •解:设Bi={有i人射中}(i=1,2,3),A={飞机被击落}.则 •P(B1)=0.4×(1-0.5)×(1-0.7)+(1-0.4)×0.5×(1-0.7) +(1-0.4)×(1-0.5)×0.7=0.36 P(B2)=0.4×0.5×(1-0.7)+0.4×(1-0.5)×0.7 +(1-0.4)×0.5×0.7=0.41 P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 •P(A|B1)=0.2 P(A|B2)=0.6 P(A|B3)=1 且B1,B2,B3两两互不相容,故有 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
验证:易知 但是 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 P(ABC)=1/4≠ P(A)P(B)P(C)=1/8 所以 P(AB)=P(A)P(B) P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 故A,B,C不相互独立. P(CA)=P(C)P(A) 即事件A,B,C两两独立.
•解:由贝叶斯公式得 P(C|A) =P(AC)/P(A)
P(C) P( A | C) /[P(C) P( A | C) P(C ) P( A | C )]
=0.005×0.95/[0.005×0.95+(1-0.005×(1-0.95)] =0.087
§9 事件的独立性
• 例:设一个产品分二道工序独立生产,第一道工 序的次品率为10%,第二道工序的次品率为3%. 问该产品的次品率是多少? •解法1:设A={任取一件产品为正品},B={任取一 件产品为次品},Ai={第i道工序为正品}(i=1,2), 则
问（a）对于每种袋子，从其中任取
2 个球，求
取出的 2 个球都是白球的概率各是多少. （b）任选一个袋子，并从其中任取 2 个球，求取 出的 2 个球都是白球的概率. 解 设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi 表示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1、2、3）
易知
2 P(B1 ) 10
•解 法 1: 设 Ai={ 透 镜 第 i 次 落 下 未 打 破}(i=1,2,3),B={ 透镜落下三次而未打破 }, 则 B=A1A2A3,故有 •P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
例:设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概 率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率 为7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率 为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.