14、特征值与特征向量

i 1 m
向量11 , 12 , , 1r1 , 21 , 22 , , 2 r2 ， ， m1 , m 2 , , mrm 线性无关。
证明矩阵 性质2：相似矩阵有相同的特征值。 有相同特 征值的方法 A ~ B A E B E
特征值 的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的 线性组合一般就不 是特征向量了。
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值； 2.对每一个，求方程组( A E ) X O的基础解系；即得到属 于这个 特征值的线性无关的特 征向量。
0 线性无关 3 0 1 2 1, 3 2 的特征向 量只有一个。 0 2 k 1, 1 (1,2,1)T 其全部特征向量为 1 (k 0). 1 0 0 3 1 0 1 0 0 对3 2, B 2E 4 1 0 4 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 3 1 0 1 0 0
2.矩阵的特征值与特征向量的求法：
A ( A E ) O A E 0 是方程组( A E ) X O的非零解
满足 A E 0的数为特征值； (或基础解系) 方程组( A E ) X O的非零解为特征向量。
1 2 2 例1：求矩阵的特 征 值与特征向量。 A 2 2 4 2 4 2 解： 1 2 2
由归纳假设 1, 2 ,, m 1线性无关 ki (i m ) 0 k i m 0 ki 0, i 1,2,, m 1. 代回（1）得： m 0
由归纳原理特征向量 1, 2 ,, m线性无关。
推论：
n阶矩阵A的相异特征值为 1，2， ，m , i1 , i 2 , , iri 是特征值i 所对应的线性无关的特 征向量，则 ri 个特征
1 (2,1,0)T , 2 (2,0,1)T 为属于特征值 的线性无关的特征向量 2 ；其全部特征向量为 k11 k2 2（k1 , k2不全为零）。 ,
同理可求3 7的特征向量为 3 (1， 2)T . 2，
其全部特征向量为 3 (k 0). k
证明详见课本。 在求行列式时特别有用。
4.特征值与矩阵的关系公式：1, 2 , , n是A的特征值，则
(ii) 1 2 n a11 a22 ann .
例1：设三阶方阵A的特征值为 ， 2， 3，求 A 及A1，A， 1
A 6 A2 2 A E的特征值。 1 1 1 A 的特征值 : 1, , ; A 的特征值: 6,3,2; 2 3 (4,2,5) A2 2 A E的特征值: 4,1,4.
A 1 ， 例2：设三阶方阵 的特征值为， 1 2，求 A 3E .
三、特征值与特征向量的性质：
40
性质1：n阶矩阵A的相异特征值 1，2， ，m所对应的
证：用数学归纳法。
特征向量1 , 2 , , m线性无关。
1. m 1, 1的特征向量 1 O,1线性无关；
(i ) A ~ B r( A) r( B)
2.相似矩阵的简单性质：
(ii) A ~ B A B
(iii) A ~ B A与B同时可逆或同时不可逆 ，且当可逆时 1 ~ B1 A
(iv) A ~ B f ( A) ~ f ( B), f ( x) am x m am 1 x m 1 a1 x a0
注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一
3.相似矩阵的简单应用： 例：
1 m 1
a1 ( P AP) a0 E
1
1
P 1 (am Am am 1 Am 1 a1 A a0 E ) P P1 f ( A)P
P a1 P AP a0 P EP
3 1 4 0 1 1 A , , P 验证 P 1 AP并求Ak。 5 1 0 2 1 5 1 5 1 1 k 1 k k 1 P 1 1 1 6 A PP A ( PP ) P P 4k 0 1 5 4 k ( 2) k 4 k ( 2) k k k 0 ( 2) k A 6 5 4 k 5 ( 2) k 4 k 5 ( 2) k
3 32 24 28
经试根知，2是一个根。故
上式 ( 2)( 5 14) ( 2)( 7)( 2) 1 2 2, 3 7 （这就是特征值。）
2
（下面求特征向量。）
对1 2 2, (解( A 2E ) X O) 1 2 2 1 2 2 0 0 x1 2 x2 2 x3 A 2E 2 4 4 0 2 0 0 4 4 0
1 B 4 1 对1 2
1
x1 0, x2 0, x3任意； 3 (0，1)T 0， 0 1 0 0 0 0 其全部特征向量为 3 (k 0). k
5 1 3 EX : C 1 5 3 , r (C ) 2, 求a及C的特征值与特征向量。 3 3 a
2. 假设m 1时结论成立 即 ,
A的相异特征值 1，2， ，m 1所对应的特征向量
1, 2 , , m 1线性无关。下面证明m时成立。
即证明A的相异特征值1，2， ，m所对应的特征 向量1 , 2 ,, m线性无关。
回忆线性无关的证明方法！
矩阵的相似对角形矩阵的特征值与征向量一、相似矩阵： 1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个 阶可逆阵P，使 n
B P 1 AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2) A~B AB,反之不对。 相似与等价的关系
问题： (1) A满足什么条件时能与对 角阵相似？
(2) A与对角阵相似时，可逆阵 及对角阵怎样求？ P
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零 向量，
使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值 的特征向量。
特征向量为非零向量！
1 1 0 B 4 3 0 1 0 2
A E
2 2
2 4
4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 )
(1 )(4 4 2 ) 24 32
A ~ B B P AP Bm ( P1 AP)m P 1 AP P 1 AP P 1 AP P 1 Am P
1
f ( B) am B am 1B
m
1 m 1 m
m 1
1
a1 B a0 E
m 1 1
am ( P AP) am 1 ( P AP) am P A P am 1P A
设k11 k22 kmm O （1） 左乘A A(k11 k2 2 km m ) O ( Ai ii ) k111 k222 kmmm O （2） （1）左乘 m k1m1 k2m2 kmmm O（3） （2）减（3）得： k1 (1 m )1 k2 (2 m )2 km 1 (m 1 m )m 1 O
3.特征值的求法公式：设为A的特征值，则
(i ) k为kA的特征值； (ii) m为Am的特征值； (iii) f ( )为f ( A)的特征值； (iv) 1为A1的特征值；
(v ) A
非常重要的公 式，一定要背过。

为A的特征值；
A可逆。
(vi) 为AT的特征值 .
(i) 12 n A;