高三文科数学暑假作业4

高三文科数学暑假作业（4） 函数及其表示
1．(2012·福建高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则f (g (π))的值为
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π 2．下列各组函数中表示同一函数的是 ( )
A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3
x 3 B.()()2lg ,2lg f x x g x x ==
C.()()||,f x x g t ==()(),f x x f x ==
3．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射
到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
4．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |
B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
图2－1－1
5．(2014·枣庄模拟)如图2－1－1，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
6．(2014·广州模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2014·珠海一中等六校联考)函数f (x )＝lg (4－x )x －3
的定义域为________．
8．（2013年高考北京卷（文））函数f(x)=1
2log ,12,
1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________ 9．已知()f x 的定义域为(0,8)，则2(2)f x x -的定义域为________.
三、解答题 10．求函数()
022
(54)lg 21-=+--x y x x 的定义域．
11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围
函数及其表示答案
1.【解析】根据题设，∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0.【答案】 B
2. 解析：表示同一函数的是C 。

其中B 组的定义域不同，A.D 的对应法则不同。

3.【解析】 由集合性质结合已知条件可得a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.【答案】 C
4.【解析】 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．
对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )， 故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.
5.【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意．
6.【解析】由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．
7.【解析】由题意，⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x ＞0x －3≠0解之得x ＜4且x ≠3.【答案】 {x |x ＜4且x ≠3}
8.【解析】 当x ≥1时，log 12x ≤log 1
21＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0.当x <1时，0<2x <21，
即0<f (x )<2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．
点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。

9.【解析】∵()f x 中08x <<,
∴2(2)f x x -中2
028x x <-<，即2
20228
x x
x x ⎧<-⎪⎨-<⎪⎩，解得20x -<<或24x <<
∴所求定义域是(2,0)(2,4)x ∈-.
点评：有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量
x 的取值范围.如本题中()f x 的定义域为(0,8)即
08x <<；而2(2)f x x -的定义域，
同样只指2(2)f x x -中的单一的自变量x 的取值范围. （2）在同一法则f 之下，括号内的整体范围是一致的。

如本题中，(0,8)应是函数()f x 的自变量x 的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的2(2)f x x -的定义域是
22x x -中x 的取值范围，此处x 的取值范围已不是()f x 中的x 的取值范围；但()f x 中的x 与2(2)f x x -中的22x x -的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。

10【解析】由()540210lg 210⎧-≠⎪->⎨⎪-≠⎩x x x 得45121
⎧≠⎪⎪
⎪
>⎨⎪
≠⎪⎪⎩
x x x ，
所以函数的定义域为：144
(,)
(,1)(1,)255
x ∈+∞。

点评：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，
借助数轴时要注意端点值或边界值。

11.【解】 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，
故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝－1
，故f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意得，x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1＞m ，对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ，
又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m ＜－1.
1、函数的三要素
函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函 数只有两个要素。

当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

2、函数的表示方法
函数的表示方法有三种。

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

若已知函数类型，可以利用待定系数法求函数解析式。

（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。

（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。

3、求函数的定义域的主要依据
（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且
1≠a ；（5）零次幂0x 的底数0≠x ； （6）函数t a n y x =的定义域是}2
|{z k k x x ∈+≠π
π；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，
还要有实际意义。