张量投票算法及其应用

华东师范大学

硕士学位论文

张量投票算法及其应用

姓名：秦菁

申请学位级别：硕士专业：基础数学

指导教师：沈纯理

20080501

摘要

本文主要介绍了一种新的数据分析算法，即张量投票算法．该算法完全利用图像数据，根据张量分析，矩阵论和几何的知识，对数据点进行编译和几何阐释，再根据心理学中的Ｇｅｓｔａｌｔ原理制定一个数据点与周围的数据点之问的信息传递规则，从而推断出一些几何结构．这种方法有诸多优点ｏ．局部性，对噪声的鲁棒性，非迭代的，可处理大量数据的，可同时表示各种几何结构类型等．本文从二维情形开始对该算法进行了详细的数学描述，并推广到高维空间．

这种算法与现在流行的基于偏微分方程的图像处理方法不同，在第三章中就该算法的应用提出了三个方面：１．图像去噪；２．图像分割；３．图像序列．其中，图像去噪是完全利用张量投票算法对数据的处理，可以看到这种算法的有效性．而对于图像中轮廓线的提取，以前也有很多基于能量泛函和偏微分方程的工作，本文从另外一个角度把张量投票算法中出现的显著性信息放到能量泛函中得到跟以前一致，并更精细的方程．限于时间，这个改进的方法没有进一步与之前的方法进行比较和分析．最后，对图像序列中研究不多的过渡图像生成的问题做一些结合张量投票算法的尝试．而这个问题在文献【２３】中并没有得到有效的解决，但我们的方法部分解决了这一问题．

关键词：张量投票算法，图像去噪，轮廓提取，图像序列分析

２

第一章绪论

１．１张量分析的基本知识

１．１．１张量的定义和性质

假设ｙ是一个ＩＩ维的实向量空间，三（ｙ；Ｒ）表示从ｙ到实数集Ｒ的线性函数空间．可以证明己（ｙ；Ｒ）与ｙ有相同的维数ｎ．因此ｙ和Ｌ（Ｖ；Ｒ）为同构的．Ｌ（ｙ；Ｒ）也经常被称为ｙ的对偶空间，记为Ｐ．

若Ⅵ…．，Ｋ都是向量空间，一个函数Ａ：ｖ１×…×Ｋ＿÷Ｒ当满足如下条件：

Ａ（Ｖｌ，ｖ２，…，ｏｉｌ‰１＋ｎ２ｉ％２，…，ｖｓ）＝耐Ａ（＂１，…，钉ｊ，…，％）＋ａｉ２Ａ（ｖ１，…，谚，…，％），

讹ｉ，吐∈Ｒ，叫，蛾２∈Ｋ，ｉ＝１…．，８函数Ａ称为８重线性函数．若向量空间Ⅵ…．，Ｋ中要么为向量空间ｙ要么为其对偶空间Ｖ’，则称Ａ为ｙ上的一个张量．即Ｖ上的ｐ，ｑ）阶张量（Ｐ和口均为正整数）为一个ｐ＋ｇ）重线性函数：

Ａ：Ｖ’×…×Ｖ’×Ｖ×…×Ｖ＿Ｒ

、－·＿＿＿—－ｖ—＿－＿一、·＿＿－＿、一．—·＿＿＿，

ｐ口

当Ｐ＝ｑ＝０时定义（０，０）型张量即为Ｒ中的一个数量，仞，ｏ）型张量也称为Ｐ阶反变张量，（ｏ，口）型张量也称为ｑ阶协变张量．其余类型的张量称为混合张量，一般我们称ｐ，ｑ）型张量为Ｐ＋ｑ阶的张量．用馏表示全体ｙ上的ｐ，口）阶张量所构成的空间，它是一个矿＋ｑ维的线性空间，以

ｅｉｌ＠…ｏ

ｅｉｐｏ哼ｌｏ…ｏ吃，ｉｌ，…，ｉｐ，ｊｌ，…，Ｊｑ＝１，…，Ｔｔ．

为基底．其中ｅｌ，…，ｅｎ为Ｖ的基，ｅ：，…，ｅ：为Ｖ＋中的对偶基．

例如，一阶张量就是一个线性作用将一个向量映为一个数量，从而任何一个向量与一个已知向量的内积可以看作一个一阶张量．同理，二阶张量可以定义为一个把两

１

第一章绪论．２·

个向量映为另一个向量的线性算子．两个向量的并矢积（也称为直积）就是一个二阶张量的例子．给定两个向量ａ，ｂ∈瞅称函数：

砂一ａ（ｂ·Ｖ）Ｖｖ∈戤

为并矢，记为ａＴｂ．根据定义，一个并矢运算将任何一个向量映成平行于ａ的向量．注意这里的并矢并不是一个向量，而是一个算子，有些参考文献也直接用ｎ６表示【１】．由线性性质可知，并矢的线性组合仍然为一个二阶的张量．相反地，任何一个二阶张量可以用一个并矢来表示．

Ｔ＝（兰ｉ囊兰ｉ）

第一章绪论．３·

实际上二阶张量在一般的坐标系下对应到４种分量每种都包含ｎｘｎ个分量（２】，但在笛卡尔坐标系中这４种分量对应于同一个矩阵，故二阶张量可以对应到一个矩阵．进而张量的一些性质可以与矩阵论中的一些已知结论对应．

１．１．４二阶张量及其特征向量表示

假设Ｔ是一个三维欧氏空问中的二阶张量，若有

Ｔ·ｔ，＝Ａｖ，Ａ∈Ｒ，御∈Ｒ．Ｉ

成立，则称Ａ为Ｔ的特征值，移为相应的特征向量．如果有非零向量对应到特征值Ａ＝０，则称Ｔ为奇异的．非奇异张量Ｔ有其逆Ｔ＿１满足如下的方程式：

Ｔ．Ｔ一１＝Ｔ一１．Ｔ＝Ｉ

其中Ｊ为恒等张量也称为度量张量．例如，对于并矢张量Ｄ＝ｅ＂ｒｇ其中Ｆ为单位化的向量，可以证明与Ａ＝１所对应的特征向量平行于孑，与Ａ＝０所对应的特征向量垂直于乏

１．２本文的主要工作

本文的安排主要如下：详细地描述和解释张量投票算法的理论来源以及具体计算和操作过程．并且对于二维和三维的情况做了详细的数学描述，进而推广到高维空间．第三章中将理论具体用相关的Ｍａｔｌａｂ软件实现一些应用，其中包括图像的去噪，提取图像的轮廓，对连续运动图像序列的处理产生过渡图像．这些应用有别于以往用变分模型的处理方式，尤其对于图像序列的应用，在之前的文献中很少提到或不是很好的解决过渡图像生成问题．但本文在一定程度上尝试采用这种新的数值方法来解决，也是本文的新意所在．

第二章张量投票算法·５·

不会产生很大的影响，故对噪声有鲁棒性（ｒｏｂｕｓｔｎｅｓ）．更迸一步，由于其参数较少，有模板可以套用到每一点处，大大减少了计算量，因而可以处理大量的数据．这种算法有着很广泛的应用前景，如三维空间的点云去噪和曲面重构【８】，轮廓修复，图像序列的运动物体的提取，视屏的修复等．把低维的情形推广到高维及其应用，以及和其他方法的结合使用也成为了研究的热点．

以下是应用该算法的基本流程：

２．２二维情形

２．２．１二维中的数据表示

投票的过程中投票者将自己的选票以张量的形式投给邻近的接受者，以下说明二