二次函数的图象与坐标轴的交点

二次函数的图象与坐标轴的交点

课标要求

没有明确要求.

中招考点

1．求二次函数与坐标轴的交点坐标.

2．解决有关实际问题.

3．以二次函数为基架综合考查.二次函数的开放性试题是中考开放性问题中的亮点，其新颖独特的试题鼓励学生探索、创新，对引导中学数学重视创新精神和实践能力的培养起到了很好的导向作用.函数的综合题，也是中考压轴题的主要内容之一，许多题目条件并非传统地给出，而是通过现实背景、表格、图象等给出信息，需从所提供的信息抽象出函数模型并解决实际问题，函数的思想与方程、不等式等知识紧密联系.就其知识结构可分为两大类：一类是以几何图形为主干，综合代数知识的综合题；另一类是以函数图象为主干，综合几何或其他知识的综合题.这些题目均与函数有紧密联系，并跨越了代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初中数学的重要知识和重要思想方法，而且重视函数题目中存在性问题、分类讨论、数形结合等开放、半开放性问题，对学生综合运用知识解题的能力要求较高.

例1 画出函数322

--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．

（1）图象与x 轴，y 轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？

（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值

y 小于0？

解：图象如图.

（1）图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）.（3，0），与y 轴的

交点坐标为（0，-3）．

（2）当x= -1或x=3时，y=0，x 的取值与方程0

322=--x x 的解相同．

（3）当x ＜-1或x ＞3时，y ＞0；当 -1＜x ＜3时，y ＜0．

归纳反思

（1）二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一

元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，

再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2 （1）已知抛物线324)1(22

-+++=k kx x k y ，当k= 时，抛物线与轴相交于两点．

（2）已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，则a= ． 分析：（1）抛物线324)1(22-+++=k kx x k y 与x 轴相交于两点，相当于方程0324)1(22=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数232)1(2

-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，也就是说，方程2(1)2320a x ax a -++-=的两个实数根相等，即⊿=0．

请同学们完成填空．

归纳反思 二次函数的图象与x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．

例3 已知二次函数1)2(2

++-+-=m x m x y ，试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；

分析：要说明不论m 取任何实数，二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

解：⊿=8)1()1(4)2(22+=+⨯-⨯--m m m ，由02≥m ， 得082

>+m ，所以⊿＞0，即不论m 取任何实数，这

个二次函数的图象必与x 轴有两个交点．

例 4 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标

（1-，2.3-）及部分图象如图，由图象可知关于x 的方程02=++c bx ax 的两个根分别是3.11=x 和_______2=x .

分析：只要知道对称轴和图象与横轴的一个交点，就可以利用对称性确定图象与横轴的另一

个交点.

答案：－3.3.

强化练习

一、选择题：

1.二次函数y=x 2-3x 的图象与x 轴两个交点的坐标分别为（ ）

A.(0，0)，(0，3)

B.(0，0)，(3，0)

C.(0，0)，(-3，0)

D.(0，0)，(0，-3)

2.y=14

x 2-7x-5与y 轴的交点坐标为（ ）. A ．-5 B.(0，-5) C.(-5，0) D.(0，-20)

3．抛物线22n mx x y --=)0(≠mn 的图象与x 轴交点为（ ）

A ．二个交点

B ．一个交点

C ． 无交点

D ．不能确定 4．函数m x mx y 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．1个或2个

5．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ）

A.04,02>-

B.04,02>->ac b a

C.04,02<-

D.04,02<->ac b a

二、填空题

6．抛物线5232--=x x y 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标为 ．

7．已知方程05322=--x x 的两根是

25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为 ．

三、解答题

8．函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值及交点坐标．