高考数学填空压轴题：函数

高考数学填空压轴题：函数

1.已知函数12)2(24)(2

2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，则实数p 的取值范围是________)2

3,3(-

解析：反面考虑，补集思想，⎩⎨⎧≤≤-0

)1(0)1(f f 23

,3≥-≤⇒p p

2. 设函数3

()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实

数a 的值为 4

解析：本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，23

31

a x x ≥- 设()23

31g x x x =

-，则()()4312-'=x g x x ， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

上单调递增，在区间1,12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫

==

⎪⎝⎭

，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤

23

31x x -，()

()'

4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住⎩⎨

⎧≥≤⇒⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥-440)2

1(0

)1(a a f f 3.函数1)3()(2

+-+=x m mx x f 的 图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数

m 的取值范围为_______1≤m

解析：显然0≤m 成立，当0>m 时，100230

≤<⇒⎪⎩⎪

⎨⎧>--≥∆m m

m

4.设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数

⎩⎨

⎧>≤=K

x f K K x f x f x f k )(,)(),()(，取函数x

e x x

f ---=2)(，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1≥K

解析：由定义知，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =即为K x f ≤)(恒成立，即求)(x f 的最大值，由'()10,x

f x e

-=-=知0x =，所以(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，当

(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，所以max ()(0)1,f x f ==即()f x 的值域是(,1]-∞

5. 已知函数()log (2)a f x ax =+的图象和函数1()log (2)a

g x a x =+(0,1a a >≠)的图象

关于直线y b =对称（b 为常数），则a b += 2

解析：b x g x f 2)()(=+b x a ax a a 2)2(log )2(log =+-+⇒，2,1;0,1====a x b x 6. 已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. 若

对任意的[0,1]x ∈，不等式组2

2

(2)(4)

()(3)

F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩均成立，则实数k 的取值范围是 .(3,2)-

解析：0)0(=F ，令x y -=得)(x F 奇函数，设)()()(,121221x F x F x x F x x -+=-<

0)()(12<-=x F x F ，)(x F 减函数，

⎪⎩⎪⎨⎧->-->-3

422

2

k kx x k x kx ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<⇒≤≤-+=++<<<-⇒⎩⎨⎧<<⇒<-+-⇒2)21(2413430)1(0

)0(0)4(222k t t t x x k k F f k kx x 7. 已知函数31++-=

x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则

M

m 的值为_____22

解析：法一：平方 ； 法二：向量)3,1(),1,1(+-x x 数量积 8. 设函数3

1

()12x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，1234()f x x x x =+++ .

19

解析：令)0(2)(,13≥-==-t t t g t x t

画出t

y t y 2,3

==图象，它们在第一象限有两个交

点，则,11t x =-21t x =-242312111,1,1,1t x t x t x t x -=+=-=+=⇒

,44321=+++x x x x 19)4(=f

9. 定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足

1212

()()

0f x f x x x -<-，且y

x ,

满足不等式22

(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立.函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当 14x ≤≤时，

y x 的取值范围为________]12

1-[， 解析：)(22

2

y x y x -≥-，（1）0=-y x 时，

1=x y 成立；（2）121-2

0≤≤⇒⎩⎨⎧≥+≥-x y

y x y x

（3）⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤+<-4120

x y x y x 无解

10. 已知1,0≠>a a ，若函数)(log )(2

x ax x f a -=在]4,3[是增函数，则a 的取值范围是

________),1(+∞

解析：x ax x g -=2

)(对称轴是a x 21=，当321≤a 时，10

)3(161>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥a g a a ；

当421≥a 时， φ⇒⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧><<≤0)4(1081g a a 11. 若直角坐标平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一

个“友好点对”）.已知函数⎪⎩⎪

⎨⎧≥<++=0,20

,142)(2x e

x x x x f x ，则)(x f 的“友好点对”有____

个 2个

解析：数形结合，即看0,2≥=

x e

y x

关于原点对称函数0,2≤-=x e y x

与