第三章微分中值定理应用教学设计及习题

第三章 微分中值定理与导数的应用

教学目的和要求：

1、 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，并会使用这些定理；了解柯西中值定理的条件和结论

2、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法

3、 了解泰勒定理以及用多项式逼近的思想

4、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用

5、 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）

重点：

1、 应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题

2、 用洛必达法则求各种未定式的极限

3、 极值的应用

难点：

1、 应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法

2、 极值的应用

课时安排：16学时

第一节 微分中值定理

教学目的和要求：

微分中值定理是导数应用的理论基础，本节主要讲三个中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，学生要理解这些定理的条件和结论，并会使用这些定理证明等式、不等式等有关问题。培养学生利用辅助函数证明有关问题的能力。

重点：

应用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明一些等式、不等式和根等问题

难点：

应用中值定理证明一些等式或不等式时辅助函数的作法

教学过程：

一、罗尔定理

1、费马引理

注：

（1）导数等于零的点称为函数的驻点。曲线)(x f y 在其驻点处有水平的切线。

（2）为罗尔定理的证明打下基础

2、罗尔定理

3、几何解释

注意问题：

（1）罗尔定理中如果有一个条件不满足，结论可能不成立

（2）罗尔定理的条件是充分的但不是必要的。即满足条件，结论一定成立。不满足条件，结论可能成立，也可能不成立。

3、例题分析

例1 不求)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个根，并指出所在的区间．

注：本题考察对罗尔定理的理解和运用．

例２ 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 ξξξ)

()(f f -='．

注：本题考察应用罗尔定理证明抽象函数等式时，辅助函数的构造方法．

例３ 证明方程0155

=+-x x 有且仅有小于１的正实根．

注：本题考察零点定理和罗尔定理的联合应用，当证明有根时用罗尔定理，证明仅有一个根时采用反证法用罗尔定理． 二、拉格朗日中值定理

1、拉格朗日中值定理

2、几何解释

3、推论1、推论2

注意问题：

（1） 定理的条件是充分条件而非必要条件．

（2） 应用广泛且非常灵活: (a)可用它的变形形式，(b)可用于证明一些等式或不等式,

(c)可在任何一个满足定理条件的区间上应用．

4、例题分析

例４ 证明：2arccos arcsin π

=+x x )11(≤≤-x ．

注意：本题考察如何利用推论１证明一些恒等式．

例５ 证明当0>x 时，x x x

x <+<+)1ln(1． 注意：本题考察如何利用拉格朗日中值定理证明一些不等式．

例６ 设0lim >=∞→a a n n ，证明a a n n n n ln )1(lim =-∞

→． 注意：本题考察利用拉格朗日中值定理如何求极限．

三、柯西中值定理

1、柯西中值定理

2、几何解释

3、例题分析

例7 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导．证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使

)]0()1([2)(f f f -='ξξ．

注意：本题考察如何利用柯西中值定理证明一些等式．

四、小结

罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系：

注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式和不等式的步骤．关键是利用逆向思维设辅助函数．

五、课外练习

1、思考题：试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

2、练习

（１）试证至少存在一点),1(e ∈ξ，使ξln cos 1sin =．

提示：令x x f ln sin )(=，x x F ln )(=，用柯西中值定理证明；

令x x x f ln 1sin ln sin )(⋅-=，用罗尔定理证明．

（２）设],0[)(π∈x f ，且在),0(π内可导，证明至少存在一点),0(πξ∈，使ξξξcos )()(f f -='．

提示：令x x f x F sin )()(=，用罗尔定理证明．

（３）若)(x f 可导，试证在其两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点．

提示：设2121,0)()(x x x f x f <==．

欲证：),(21x x ∈∃ξ使0)()(='+ξξf f ，

只要证 0)()(='+ξξξξf e f e ，亦即 0])([='

=ξx x x f e ． 作辅助函数)()(x f e x F x =，验证函数)(x F 在],[21x x 满足罗尔定理的条件．

六、练习题

１、填空题：

(１) 函数4

)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.

(２) 设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____________个根，它们分别在

区间_____________上.

(３) 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________.

(４) 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的

_______之间的关系.