数学分析74 不变子空间详解

A ar1

0
ar 2 arr1

ar
1,n





0
00
an,r1 ann


A11 O
A12 A22

由此可见，如果线性变换 有一个非
平凡子空间，那么适当选取V 的基，可 以使与 对应的矩阵中有一些元素是
例3、令 F[x] 是数域 F 上的一切一元 多项式所成的向量空间， : f (x) f (x) 是求导数运算。令 Fn[x] 表示一切次数不 超过 n 的多项式连同零多项式所成的 子空间。证明：Fn[x] 在 之下不变。
现在看一看，不变子空间和简化线 性变换的矩阵有什么关系。
设 V 是数域 F 上的一个 n 维向量空 间， 是 V 的一个线性变换。假设 有一个非平凡的子空间W ，那么取 W 的一个基 {1,2,,r} ，再补充成为 V 的 一个基 。 {1, 2 ,, r , r1,, n}

( n ) a1n1 a2n 2 arn r ar1,n r1 ann n
关于基{1,2 ,,n}的矩阵为：
a11 a12 a1r a21 a22 a2r
a1,r1 a1n a2,r1 a2n
零。特别地，若 V 可以表成两个非平 凡子空间 W1 与W2 的 直和：W W1 W2 ， 那么选取 W1 的一个基 {1,2,,r} 和 W2 的 一个基 {r1,,n}，凑成 V 的一个基 。当 {1,2 ,,n} W1与 W2 在 之下不变时，
关于这样选取的基的矩阵是
W 在 之下不变
(1, 2 ,, r ) W
所以，
(1) a111 a21 2 ar1 r ( 2 ) a121 a22 2 ar2 r

( r ) a1r1 a2r 2 arr r ( r1 ) a1,r11 a2,r1 2 ar,r1 r a r1,r1 r1 an,r1 n
7.4 不变子空间
定义：设 W 是V 的一个子空间， 是 V 的一个线性变换。若 (W) W ，则称 W 在线性变换 之下不变。
若W在 之下不变，则W叫做 的 一个不变子空间。
例1、V 本身和零空间{0}在任意线性 变换下不变，称为平凡不变子空间。
例2、令 是V 的一个线性变换。证 明：Ker( ) 和Im( ) 在 之下不变。
。
A1 O
O A2

一般地，若向量空间V 可表成s个不
变子空间 W1,W2 ,,Ws 的直和，那么在每一 个子空间中选一个基，凑成 V 的一个 基，则 关于这个基的矩阵就有形状
A1 O O
。 O A2 O
O
O

As

因此，给了 n 维向量空间V 的一个线 性变换，只要能够将 V 分解成一些在 之下不变的子空间的直和，那么就可 以适当地选取 V 的基，使得 关于这 个基的矩阵有较简单的形状。显然， 这些不变子空间的维数越小，相应的 矩阵的形状就越简单。特别，如果能 够将 V 分解成 n 个在 之下不变的一 维子空间的直和，那么与 对应的矩 阵就有对角形式。